Числовые ряды основные определения. Сумма ряда на практике

Основные понятия. Запись нескольких первых членов ряда. Свойства числовых рядов.

Понятие числового ряда. Общий член ряда.

Пусть задана некая бесконечная последовательность чисел: $$: $u_1$, $u_2$, $u_3$. $u_n$. .

Числа $u_1$, $u_2$, $u_3$ и т.д. именуют членами ряда. Например, $u_1$ – первый член ряда, $u_2$ – второй член ряда, $u_<78>$ – семьдесят восьмой член ряда. Выражение $u_n$ называют общим членом ряда.

Для примера рассмотрим последовательность $left<5n+9>right>$ и составим соответствующий числовой ряд. Чтобы не разрывать изложение, данный пример я скрыл под примечание.

Пример числового ряда: показатьскрыть

Пусть нам задана последовательность $left<5n+9>right>$. Общий член этой последовательности $u_n=frac<3^n><5n+9>$. Запишем для начала несколько первых членов. Подставляя $n=1$ в равенство $u_n=frac<3^n><5n+9>$, получим первый член данной последовательности:

Аналогично, подставляя $n=2$ и $n=3$ получим второй и третий члены последовательности:

Этот процесс можно продолжать, находя $u_4$, $u_5$ и т.д. Теперь запишем бесконечную сумму, состоящую из элементов данной последовательности:

Выражение $frac<3><14>+frac<9><19>+ldots+frac<3^n><5n+9>+ldots$ и будет числовым рядом. Числа $u_1=frac<3><14>$, $u_2=frac<9><19>$ – это первый и второй члены числового ряда; а $u_n=frac<3^n><5n+9>$ – это общий член данного ряда.

Однако чаще всего развёрнутую запись: $u_1+u_2+ldots+u_n+ldots$ не используют. Её сокращают в такую форму: $sumlimits_^u_n$. Обе записи эквивалентны:

Если для вас знак $sum$ требует пояснений, то советую развернуть примечание.

Что обозначает знак $sum$? показатьскрыть

Допустим, мы хотим найти сумму $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$. Какой фразой можно охарактеризовать запись $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$? Можно сказать так: это сумма единицы в квадрате, двойки в квадрате, тройки в квадрате, четвёрки в квадрате и пятёрки в квадрате. А можно сказать покороче: это сумма квадратов целых чисел от 1 до 5. Чтобы выражать сумму более коротко и служит запись с помощью буквы $sum$ (это греческая буква «сигма»).

Вместо $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$ мы можем использовать такую запись: $sumlimits_^<5>i^2$. Буква $i$ именуется индексом суммирования, а числа 1 (начальное значение $i$) и 5 (конечное значение $i$) называются нижним и верхним пределами суммирования соответственно.

Расшифруем запись $sumlimits_^<5>i^2$ подробно. Если $i=1$, то $i^2=1^2$, поэтому первым слагаемым данной суммы будет число $1^2$:

Следующее целое число после единицы – двойка, поэтому подставляя $i=2$, получим: $i^2=2^2$. Сумма теперь станет такой:

После двойки следующее число – тройка, поэтому подставляя $i=3$ будем иметь: $i^2=3^2$. И сумма примет вид:

Осталось подставить лишь два числа: 4 и 5. Если подставить $i=4$, то $i^2=4^2$, а если подставить $i=5$, то $i^2=5^2$. Значения $i$ достигли верхнего предела суммирования, поэтому слагаемое $5^2$ будет последним. Итак, окончательно сумма теперь такова:

Эту сумму можно и вычислить, банально сложив числа: $sumlimits_^<5>i^2=55$.

Для практики попробуйте записать и вычислить следующую сумму: $sumlimits_^<8>(5k+2)$. Индекс суммирования здесь – буква $k$, нижний предел суммирования равен 3, а верхний предел суммирования равен 8.

Вовсе не обязательно нижний предел суммирования будет равен единице. Он может равняться любому целому числу, просто в большинстве случаев начальное значение индекса суммирования берут равным $n=1$. Впрочем, нижний предел суммы всегда можно изменить (см. пример №3).

Записать первые четыре члена ряда $sumlimits_^frac<3^n>>$. Указать общий член ряда.

Чтобы записать несколько первых членов ряда, достаточно подставить в выражение $frac<3^n>>$, расположенное под знаком суммы, числа $n=1$, $n=2$, $n=3$ и т.д.:

А можно просто написать, что $u_1=3$, $u_2=frac<9><2sqrt<2>>$, $u_3=frac<9>>$, $u_4=frac<81><8>$.

Мы имеем ряд вида $sumlimits_^u_n$. Нижний предел суммирования нашего ряда равен $1$, поэтому общий член ряда записан под знаком суммы. Вот он: $u_n=frac<3^n>>$.

Полагаю, сразу же возникнет вопрос: а что будет, если нижний предел суммирования не равен единице? Совпадёт ли выражение под знаком суммы с общим членом ряда? Ответ в общем случае отрицательный: скорее всего, не совпадёт. Советую глянуть пример №2, чтобы выяснить, что же будет в этом случае. Впрочем, в подавляющем большинстве учебных примеров нижний предел суммирования берут равным именно единице.

Подставляя в равенство $u_n=frac<3^n>>$ вместо $n$ любой номер, мы получим соответствующий член ряда. Например, подставляя $n=4$, получим четвёртый член ряда, а подставляя $n=31$ – тридцать первый член ряда:

Как видите, если известен общий член ряда, то легко записать член ряда с каким угодно номером, – достаточно лишь подставить вместо $n$ требуемый номер. Гораздо сложнее обратная задача: по нескольким заданным первым членам ряда записать общий член, однако этому вопросу посвящена иная тема.

Кстати сказать, нам совершенно неважно, задан ли номер члена ряда числом или выражением. Например, член ряда с номером $n=k^2+3k-1$ будет таким:

А член ряда с номером $n+1$ будет таким:

Записать первые пять членов ряда $sumlimits_^frac<1><(n-1)ln(n-1)>$. Указать общий член ряда.

Суммирование в нашем случае начинается при $n=3$ (т.е. нижний предел суммирования равен 3), поэтому чтобы записать первые пять членов ряда нужно подставить $n=3$, $n=4$, $n=5$, $n=6$, $n=7$ в выражение $frac<1><(n-1)ln(n-1)>$:

Теперь нужно указать общий член ряда. Казалось бы, всё просто: вот он, этот общий член – стоит под знаком суммы. Просто перепишем и всё:

Однако такая формула некорректна. Чтобы это проиллюстрировать, давайте подставим в формулу $u_n=frac<1><(n-1)ln(n-1)>$ число $n=4$. Мы получим следующее:

Мы получили вовсе не то, что нужно! Четвёртый член ряда был найден ранее: $u_4=frac<1><5ln 5>$. Формула $u_n=frac<1><(n-1)ln(n-1)>$ дала сбой. Почему? Ответ на данный вопрос прост: дело в том, что значение индекса суммирования (т.е. значение переменной $n$) не совпадает с номером члена ряда. И это неудивительно, ибо нумерация членов ряда начинается с единицы, а первое значение индекса $n=3$. Поэтому под знаком суммы стоит вовсе не общий член ряда:

Заметьте, что число, которое мы подставляем в выражение $frac<1><(n-1)ln(n-1)>$, на 2 больше, чем номер члена ряда. Т.е. если номер равен $n$, то в выражение $frac<1><(n-1)ln(n-1)>$ пойдёт число $n+2$. Соответственно, общий член ряда имеет такой вид:

Вот теперь общий член ряда записано верно. Например, для $n=4$ согласно формуле $u_n=frac<1><(n+1)ln(n+1)>$ получим:

Можно, кстати, и исходный ряд переписать по-иному, начав суммирование при $n=1$:

Изменение нижнего предела суммирования (т.е. начального значения $n$) никоим образом не влияет на сам ряд. Изменяется лишь форма записи, но не содержание суммы. Можно было вообще изменить значение нижнего предела суммирования в самом начале решения.

Ну, а теперь немного о реалиях: нередко на такие «мелочи» внимания не обращают. И автор книги или методички по высшей математике так и пишет: $u_n=frac<1><(n-1)ln(n-1)>$, ничуть не озаботясь тем, что эта формула даёт неверные результаты (а при $n=1$ и $n=2$ значение выражения $frac<1><(n-1)ln(n-1)>$ вообще не определено). И это может привести к печальным ошибкам: например, к сбоям в программе. Поэтому с нумерацией желательно обращаться крайне внимательно. При необходимости нижний предел суммирования можно поменять в самом начале решения.

Для ряда $sumlimits_^frac<7n+5><2^<4n-1>cdot n>$ изменить нижний предел суммирования на 1. Указать общий член ряда.

Нижний предел суммирования равен 4, т.е. начальное значение индекса $n$ равно четырём. Введём новый индекс таким образом, чтобы его начальное значение равнялось 1. Этот новый индекс суммирования обозначим буквой $t$.

Итак, если $n=4$, то $t=1$, т.е. $n=t+3$. Подставляем в $frac<7n+5><2^<4n-1>cdot n>$ вместо $n$ выражение $t+3$. При этом не забываем, что новый индекс $t$ изменяется с 1:

В принципе, полученное выражение $sumlimits_^frac<7t+26><2^<4t+11>cdot (t+3)>$ можно так и оставить. Однако обычно новую букву $t$ не вводят, а продолжают работать со «старым» обозначением индекса, т.е. с $n$. В самом деле, разве что-то изменится, если вместо одной буквы подставить иную?

Если пропустить все промежуточные выкладки, то мы приходим к простому равенству:

Можете проверить этот результат, найдя несколько первых членов суммы в левой и правой частях равенства.

Так как нижний предел суммы $sumlimits_^frac<7n+26><2^<4n+11>cdot (n+3)>$ равен 1, то под знаком суммы расположен общий член ряда, т.е. $u_n=frac<7n+26><2^<4n+11>cdot (n+3)>$.

Частичная сумма ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Остаток ряда.

Пусть задан числовой ряд

Например, сумма первых пяти членов ряда (1) есть пятая частичная сумма ряда, т.е. $S_5$:

Например, если мы отбросим первые три члена ряда (1), то получим третий остаток $r_3$:

Теперь перейдём к понятию суммы ряда. Пусть $S_n$ – n-я частичная сумма ряда (1).

Вопрос вычисления суммы числового ряда рассмотрен в соответствующей теме.

Задан ряд $sumlimits_^frac<4n+3><2^n>$. Записать первую, вторую, третью и четвёртую частичную суммы. Указать первый, второй и третий остатки.

Нижний предел суммирования равен 1, поэтому под знаком суммы стоит общий член ряда: $u_n=frac<4n+3><2^n>$.

Первая частичная сумма $S_1$ совпадает с первым членом ряда:

Вторая частичная сумма $S_2$ – это сумма первых двух членов ряда:

Третья частичная сумма $S_3$ – это сумма первых трёх членов ряда:

Четвёртая частичная сумма $S_4$ – это сумма первых четырёх членов ряда:

Естественно, что любую частичную сумму можно вычислить, просто сложив элементы. Например, $S_2=frac<7><2>+frac<11><4>=frac<71><14>$.

Теперь перейдём к остаткам. Отбрасывая первый член, получим первый остаток ряда:

Отбрасывая первые два члена, запишем второй остаток ряда:

Отбрасывая первые три члена, запишем третий остаток ряда:

В принципе, при желании остатки можно записать в сжатой форме:

Понятие числового ряда. Сумма ряда;

Лекция 8.1 Числовые ряды.

Пусть задана бесконечная последовательность чисел: .

Определение. Числовым рядом называется выражение: (1),
где — члены ряда, образующие известную числовую последовательность, — общий член ряда.

1) ;

2) ;

3) .

Основное понятие, связанное с рядом чисел – сумма ряда. Было бы бессмысленно определять сумму ряда как сумму всех его членов (понятие суммы чисел в элементарной математике рассматривается только для конечного числа слагаемых). Определяя сумму ряда как сумму бесконечно большого числа слагаемых, необходимо использовать другой подход. Введём понятие так называемой частичной суммы ряда

Определение. n-ой частичной суммой ряда называется сумма конечного числа n первых членов ряда: .

Таким образом, можно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S₁, S₂, …,S_n, …

Определение. Суммой S ряда (1) называют предел последовательностей его частичных сумм при , т.е. .

Сумма существует не у каждого ряда, например, у ряда сумма не существует, т.к. .

Определение. Ряд (1) называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм: .

Определение. Если последовательность частичных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы.

Например: — ряд сходящийся , — ряд расходящийся.

Постановка двух основных задач теории рядов:

1) Исследовать ряд на сходимость;

2) Если ряд сходится – найти его сумму (точно и приблизительно).

Поэтому следующий вопрос посвящён исследованию рядов на сходимость – признакам сходимости.

Основные определения

Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом.

При этом числа будем называть членами ряда, а un — общим членом ряда.

Определение. Суммы , n = 1, 2, … называются частными (частичными) суммами ряда.

Таким образом, возможно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S1, S2, …,Sn, …

Определение. Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частных сумм. Сумма сходящегося ряда — предел последовательности его частных сумм.

Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы.

Свойства рядов

1) Сходимость или расходимость ряда не нарушится если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда.

2) Рассмотрим два ряда и , где С — постоянное число.

Теорема. Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд тоже сходится, и его сумма равна СS. (C 0)

3) Рассмотрим два ряда и . Суммой или разностью этих рядов будет называться ряд , где элементы получены в результате сложения (вычитания) исходных элементов с одинаковыми номерами.

Теорема. Если ряды и сходятся и их суммы равны соответственно S и , то ряд тоже сходится и его сумма равна S + .

Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом.

Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом.

О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.

При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда.

(необходимые и достаточные условия сходимости ряда)

Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовал такой номер N, что при n > N и любом p > 0, где р — целое число, выполнялось бы неравенство:

Пусть , тогда для любого числа найдется номер N такой, что неравенство

выполняется при n>N. При n>N и любом целом p>0 выполняется также неравенство . Учитывая оба неравенства, получаем:

Необходимость доказана. Доказательство достаточности рассматривать не будем.

Сформулируем критерий Коши для ряда.

Для того, чтобы ряд был сходящимся необходимо и достаточно, чтобы для любого существовал номер N такой, что при n>N и любом p>0 выполнялось бы неравенство

Однако, на практике использовать непосредственно критерий Коши не очень удобно. Поэтому, как правило, используются более простые признаки сходимости:

1) Если ряд сходится, то необходимо, чтобы общий член un стремился к нулю. Однако, это условие не является достаточным. Можно говорить только о том, что если общий член не стремится к нулю, то ряд точно расходится. Например, так называемый гармонический ряд является расходящимся, хотя его общий член и стремится к нулю.

Пример. Исследовать сходимость ряда

• — необходимый признак сходимости не выполняется, значит ряд расходится.
• 2) Если ряд сходится, то последовательность его частных сумм ограничена.

Однако, этот признак также не является достаточным.

Например, ряд 1-1+1-1+1-1+ … +(-1)n+1+… расходится, т.к. расходится последовательность его частных сумм в силу того, что

Однако, при этом последовательность частных сумм ограничена, т.к. при любом n.

Источники:

http://math1.ru/education/num_series/terms.html

http://studopedia.su/9_64153_ponyatie-chislovogo-ryada-summa-ryada.html

http://vuzlit.ru/892792/osnovnye_opredeleniya