Виды квадратных уравнений. Решение неполных квадратных уравнений
Решение квадратных уравнений
Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a , b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.
Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:
- Не имеют корней;
- Имеют ровно один корень;
- Имеют два различных корня.
В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант.
Дискриминант
Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b 2 − 4 ac .
Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:
- Если D 0, корней будет два.
Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:
Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:
- x 2 − 8 x + 12 = 0;
- 5 x 2 + 3 x + 7 = 0;
- x 2 − 6 x + 9 = 0.
Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16
Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.
Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.
Дискриминант равен нулю — корень будет один.
Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.
Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.
Корни квадратного уравнения
Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:
Основная формула корней квадратного уравнения
Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D
Задача. Решить квадратные уравнения:
- x 2 − 2 x − 3 = 0;
- 15 − 2 x − x 2 = 0;
- x 2 + 12 x + 36 = 0.
Первое уравнение:
x 2 − 2 x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.
D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:
Второе уравнение:
15 − 2 x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.
D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их
Наконец, третье уравнение:
x 2 + 12 x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.
D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:
Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.
Неполные квадратные уравнения
Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:
Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:
Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением , если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.
Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид a x 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.
Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:
Решение неполного квадратного уравнения
Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (− c / a ) ≥ 0. Вывод:
- Если в неполном квадратном уравнении вида ax 2 + c = 0 выполнено неравенство (− c / a ) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
- Если же (− c / a ) 2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.
Теперь разберемся с уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:
Вынесение общего множителя за скобку
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:
Задача. Решить квадратные уравнения:
- x 2 − 7 x = 0;
- 5 x 2 + 30 = 0;
- 4 x 2 − 9 = 0.
x 2 − 7 x = 0 ⇒ x · ( x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.
5 x 2 + 30 = 0 ⇒ 5 x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.
4 x 2 − 9 = 0 ⇒ 4 x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.
Квадратные уравнения (способы решения)
Разделы: Математика
Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.
Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры в Вавилоне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их книгописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, как полные квадратные уравнения.
Определение
Уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a, b, c – действительные числа, причем a ≠ 0, называют квадратным уравнением.
Если a = 1 , то квадратное уравнение называют приведенным; если a ≠ 1, то неприведенным .
Числа a, b, c носят следующие названия: a – первый коэффициент, b – второй коэффициент, c – свободный член.
Выражение D = b 2 – 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения.
- если D 0, то уравнение имеет два действительных корня.
В случае, когда D = 0, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.
Формулы
Полное квадратное уравнение
Неполные квадратные уравнения
Если в квадратном уравнении ax 2 + bx + c = 0 второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным.
Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения – проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.
Способы решения неполных квадратных уравнений:
Решение неполного квадратного уравнения
Квадратные уравнения с комплексными переменными
Сначала рассмотрим простейшее квадратное уравнение z 2 = a, где a-заданное число, а z-неизвестное. На множестве действительных чисел это уравнение:
- имеет один корень z = 0, если а = 0;
- имеет два действительных корня z1, 2 = ±√a
- Не имеет действительных корней, если a 2 + x + 1 = 0.
Решим уравнение. Для этого построим два графика y = x 2 ; y = x + 1.
y = x 2 , квадратичная функция, график парабола.
y = x + 1, линейная функция, график прямая.
Графики пересекаются в двух точках, уравнение имеет два корня.
Ответ: x ≈ -0,6; x ≈ 2,6.
Решение задач с помощью квадратных уравнений
Неполные квадратные уравнения
Содержание
- Неполные квадратные уравнения
- Виды неполных квадратных уравнений
- Первый случай
- Второй случай
- Третий случай
- Что мы узнали?
Бонус
- Тест по теме
Неполные квадратные уравнения
Неполные квадратные уравнения – это квадратные уравнения, у которых коэффициент в или коэффициент с равен нулю. Возможно три варианта неполных уравнений:
- Коэффициент b=0
- Коэффициент с=0
- Коэффициенты b=0 и с=0
Рассмотрим каждый из вариантов и решим несколько примеров.
Виды неполных квадратных уравнений
Каждый подвид уравнения решается быстро и просто. Главное владеть навыком преобразования выражения, а именно переносом чисел из одной части тождества в другую и выносом общего множителя за скобку.
Первый случай
Если коэффициент b=0. Тогда формула неполного квадратного уравнения принимает вид:
В таком случае, решение принимает следующий вид:
$$x_2= -sqrt<-сover а>$$- обратите внимание, что под корнем может оказаться как положительное, так и отрицательное число. Знак минуса в данном случае просто указывает на противоположность. В случае, если под корнем в результате получится отрицательное число, то действительных корней уравнение не имеет.
$$7x^2-28=0 $$– перенесем 28 в правую часть выражения.
$$7x^2=28 $$ – разделим обе части выражения на 7.
Вот и все решение.
Второй случай
Во втором случае нулю равен будет коэффициент с. Тогда уравнение примет вид:
В этом случае, решение будет выглядеть немного иначе:
Решим небольшой пример.
Этот способ иногда используется и при решении полных квадратных уравнений. Если уравнение можно свернуть по любой из формул сокращенного умножения, то потом каждую из скобок-множителей можно приравнять к нулю и решить уравнение гораздо быстрее, чем через дискриминант.
Третий случай
Третий случай самый простой, когда b и с равны нулю. В этом случае, оба корня всегда равны 0.
Обратите внимание на то, что в любом случае, для корней квадратного уравнения необходима проверка. Каждый из получившихся корней нужно подставить в исходное уравнение и подсчитать результат.
Для неполных уравнений это особенно важно, потому что все считают их легкими и не акцентируют внимание на подсчетах. Это может привести к разного рода ошибкам. Чаще всего, ученики путают знаки. Вместо + получается – и наоборот. Помните, что знаки это очень важно и за ними нужно следить при переносе и делении чисел. Проверить себя можно и подставив значения в приведенные в статье формулы.
Иногда коэффициент а может быть отрицательным. В этом случае, вам придется делить на отрицательное число. А значит – все знаки выражения поменяются на противоположные. Будьте внимательны в этих скользких моментах.
Что мы узнали?
Мы дали определение неполного квадратного уравнения. Разобрали виды неполных квадратных уравнений и пути их решения, привели примеры для каждого из них. Поговорили о скользких моментах, на которых часто случаются ошибки.
Источники:
http://www.berdov.com/docs/equation/quadratic_equations/
http://urok.1sept.ru/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/538074/
http://obrazovaka.ru/algebra/nepolnye-kvadratnye-uravneniya-formula.html