Стандартным видом одночлена 2x y x является. Понятие одночлена

Определение одночлена: сопутствующие понятия, примеры

Одночлены являются одним из основных видов выражений, изучаемых в рамках школьного курса алгебры. В этом материале мы расскажем, что это за выражения, определим их стандартный вид и покажем примеры, а также разберемся с сопутствующими понятиями, такими как степень одночлена и его коэффициент.

Что такое одночлен

В школьных учебниках обычно дается следующее определение этого понятия:

К одночленам относятся числа, переменные, а также их степени с натуральным показателем и разные виды произведений, составленные из них.

Исходя из этого определения, мы можем привести примеры таких выражений. Так, все числа 2 , 8 , 3004 , 0 , – 4 , – 6 , 0 , 78 , 1 4 , – 4 3 7 будут относиться к одночленам. Все переменные, например, x , a , b , p , q , t , y , z тоже будут по определению одночленами. Сюда же можно отнести степени переменных и чисел, например, 6 3 , ( − 7 , 41 ) 7 , x 2 и t 15 , а также выражения вида 65 · x , 9 · ( − 7 ) · x · y 3 · 6 , x · x · y 3 · x · y 2 · z и т.д. Обратите внимание, что в состав одночлена может входить как одно число или переменная, так и несколько, причем они могут быть упомянуты несколько раз в составе одного многочлена.

Такие виды чисел, как целые, рациональные, натуральные тоже относятся к одночленам. Также сюда можно включить действительные и комплексные числа. Так, выражения вида 2 + 3 · i · x · z 4 , 2 · x , 2 · π · x 3 тоже будут одночленами.

Что такое стандартный вид одночлена и как привести выражение к нему

Для удобства работы все одночлены сначала приводят к особому виду, называемому стандартным. Сформулируем конкретно, что же это значит.

Стандартным видом одночлена называют такой его вид, в которой он представляет из себя произведение числового множителя и натуральных степеней разных переменных. Числовой множитель, также называемый коэффициентом одночлена, обычно записывают первым с левой стороны.

Для наглядности подберем несколько одночленов стандартного вида: 6 (это одночлен без переменных), 4 · a , − 9 · x 2 · y 3 , 2 3 5 · x 7 . Сюда же можно отнести выражение x · y (здесь коэффициент будет равен 1 ), − x 3 (тут коэффициент равен – 1 ).

Теперь приведем примеры одночленов, которые нужно привести к стандартному виду: 4 · a · a 2 · a 3 (здесь нужно объединить одинаковые переменные), 5 · x · ( − 1 ) · 3 · y 2 (тут нужно объединить слева числовые множители).

Обычно в случае, когда одночлен имеет несколько переменных, записанных буквами, буквенные множители записывают в алфавитном порядке. Например, предпочтительнее запись 6 · a · b 4 · c · z 2 , чем b 4 · 6 · a · z 2 · c . Однако порядок может быть и другим, если этого требует цель вычисления.

Привести к стандартному виду можно любой одночлен. Для этого нужно выполнить все необходимые тождественные преобразования.

Понятие степени одночлена

Очень важным является сопутствующее понятие степени одночлена. Запишем определение данного понятия.

Степенью одночлена, записанного в стандартном виде, является сумма показателей степеней всех переменных, которые входят в его запись. Если ни одной переменной в нем нет, а сам одночлен отличен от 0 , то его степень будет нулевой.

Сам нуль принято считать одночленом с неопределенной степенью.

Приведем примеры степеней одночлена.

Так, одночлен a имеет степень, равную 1 , поскольку a = a 1 . Если у нас есть одночлен 7 ,то он будет иметь нулевую степень, поскольку в нем нет переменных и он отличен от 0 . А вот запись 7 · a 2 · x · y 3 · a 2 будет одночленом 8 -й степени, ведь сумма показателей всех степеней переменных, включенных в него, будет равна 8 : 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .

Одночлен, приведенный к стандартному виду, и исходный многочлен будут иметь одинаковую степень.

Покажем, как подсчитать степень одночлена 3 · x 2 · y 3 · x · ( − 2 ) · x 5 · y . В стандартном виде его можно записать как − 6 · x 8 · y 4 . Вычисляем степень: 8 + 4 = 12 . Значит, степень исходного многочлена также равна 12 .

Понятие коэффициента одночлена

Если у нас есть одночлен, приведенный к стандартному виду, который включает в себя хотя бы одну переменную, то мы говорим о нем как о произведении с одним числовым множителем. Этот множитель называют числовым коэффициентом, или коэффициентом одночлена. Запишем определение.

Коэффициентом одночлена называют числовой множитель одночлена, приведенного к стандартному виду.

Возьмем для примера коэффициенты различных одночленов.

Так, в выражении 8 · a 3 коэффициентом будет число 8 , а в ( − 2 , 3 ) · x · y · z им будет − 2 , 3 .

Особое внимание надо уделить коэффициентам, равным единице и минус единице. Как правило, в явном виде их не указывают. Считается, что в одночлене стандартного вида, в котором нет числового множителя, коэффициент равен 1 , например, в выражениях a , x · z 3 , a · t · x , поскольку их можно рассматривать как как 1 · a , x · z 3 – как 1 · x · z 3 и т.д.

Точно так же в одночленах, в которых нет числового множителя и которые начинаются со знака минус, мы можем считать коэффициентом – 1 .

Например, такой коэффициент будет у выражений − x , − x 3 · y · z 3 , поскольку они могут быть представлены как − x = ( − 1 ) · x , − x 3 · y · z 3 = ( − 1 ) · x 3 · y · z 3 и т.д.

Если у одночлена вообще нет ни одного буквенного множителя, то говорить о коэффициенте можно и в этом случае. Коэффициентами таких одночленов-чисел будут сами эти числа. Так, например, коэффициент одночлена 9 будет равен 9 .

Одночлен. Подобные одночлены. Степень одночлена.

Одночленом является выражение, содержащее числа, натуральные степени переменных и их произведения, причем оно не должно содержать любых действий с этими числами и переменными.

Одночлен (или моном) — простое выражение в математике, которое рассматривается и используется в элементарной алгебре. Если точнее, произведение, которое состоит из числового множителя и 1-ной либо нескольких переменных, каждая из которых взята в положительной степени.

К примеру, 5a 2 x, 2a 3 (-3)x 2 , b 2 x − одночлены, а выражения − не являются одночленами.

Стандартный вид одночлена – когда одночлен представлен как произведение числового множителя на 1-ом месте и степеней разных переменных.

Или другими словами:

Стандартным видом одночлена является одночлен как произведение числового множителя, который стоит на 1-ом месте, и степеней разных переменных. Каждый одночлен возможно привести к стандартному виду методом перемножения всех переменных и чисел, которые входят в него.

Приведение одночлена к стандартному виду:

4x 2 y 4 (-5)yx 3 = 4(-5)x 2 x 3 y 4 y = -20x 5 y 5­­­­ .

Числовой множитель у одночлена стандартного вида является коэффициентом одночлена, сумма показателей степени переменных – степень одночлена.

Произведение одночленов тоже является одночленом.

Одночлен в некоторой натуральной степени тоже оказывается одночленом.

Результаты таких действий (умножение одночленов и возведение одночлена в степень) обычно приводятся к стандартному виду.

Число 0 является нулевым одночленом.

Подобные одночлены.

2 одночлена, которые приведены к стандартному виду, являются подобными, когда они совпадают либо отличаются лишь числовым коэффициентом.

Сложение и вычитание подобных одночленов является приведением подобных слагаемых.

Одночлены, у которых произведения переменных одинаковы (порядок их может отличаться) называются подобными одночленами.

Подобными одночленами являются и ; и ; и ; 5 и −3; и .

Подобными одночленами не являются и .

Если у подобных одночленов коэффициенты равны, то они являются равными (одинаковыми) одночленами.

Подтвердить это можно, записав одночлены в стандартном виде:

8xy 3 ; xy 3 ; 8y 3 x; 2⋅4xyyy; 8x 3 y => 8xy 3 ; xy 3 ; 8xy 3 ; 8xy 3 ; 8x 3 y;

Если у подобных одночленов коэффициенты оказываются противоположными числами, то такие одночлены являются противоположными.

Умножение одночленов. Возведение одночленов в степень.

При умножении одночленов и возведении одночленов в степень пользуются правилом умножения степеней с одинаковым основанием и правилом возведения степени в степень. При этом получают одночлен, представляемый обычно в стандартном виде.

4x 3 y 2 (-3)x 2 y = 4(-3)x 3 x 2 y 2 y = -12x 5 y 3 ;

((-5)x 3 y 2 ) 3 = (-5) 3 x 3*3 y 2*3 = -125x 9 y 6 .

Для того, чтобы умножить одночлен на одночлен, необходимо умножить их коэффициенты и степени с равными основаниями.

Что бы возвести одночлена в степень, необходимо возвести его коэффициент в эту степень и умножить показатель степени всех букв на показатель степени, в которую возводится одночлен.

Для того, чтобы поделить одночлен на одночлен, необходимо поделить коэффициенты делимого на коэффициент делителя, к найденной части дописать множителями все буквы делимого с показателем, который равен разнице показателей этой буквы в делимом и делителе.

Складывая и вычитая многочлены используют правило раскрытия скобок.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, необходимо все члены многочлена умножить на этот одночлен и одночлены, которые получены, сложить.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, необходимо все члены 1-го многочлена домножить на все члены второго многочлена и члены, которые получены, сложить.

Чтобы разделить многочлен на одночлен, необходимо все члены многочлена разделить на этот одночлен и результаты, которые получены, сложить.

Одночлены

Одночлен – это алгебраическое выражение, представляющее собой число, переменную, их степени с натуральным показателем, а также любые произведения, составленные из них.

Пример. 12, , m, (-2) 3 , a 2 , 5abc, a 3 x, 3,7c(-2ab 2 ) – одночлены.

Выражения x + 2 или не являются одночленами, так как представляют сумму или частное переменных и числа.

Число 0 называют нулевым одночленом.

Буквы и числа одночлена, представляющего собой произведение, называют множителями данного одночлена. При этом числа называют числовыми множителями одночлена, а буквы – буквенными множителями одночлена.

Пример. Назовите числовые и буквенные множители одночлена 5abc.

Множителями данного одночлена являются число 5 и буквы a, b, c:

Числовой множитель: 5.
Буквенные множители: a, b, c.

Стандартный вид одночлена

Стандартный вид одночлена – это запись одночлена, представляющая собой число, степень переменной или произведение, в котором только один числовой множитель, записанный на первом месте, а каждая его буква участвует в его записи лишь один раз, при этом буквы записаны в алфавитном порядке.

Пример. 7, a, -3xy 2 , 1abс – одночлены стандартного вида.

А вот следующие одночлены записаны не в стандартном виде:

так как первый содержит одинаковые буквы, а во втором два числовых множителя и буквенные множители записаны не в алфавитном порядке.

Стандартный вид нулевого одночлена есть 0.

Коэффициент одночлена

Коэффициент одночлена – это числовой множитель в одночлене стандартного вида, который содержит хотя бы одну переменную. Понятие коэффициент также относят к одночленам стандартного вида, представляющим собой числа без буквенных множителей. Коэффициентами таких одночленов считаются сами числа.

-7ab 3 , , -1x, 15

записаны в стандартном виде. Их коэффициенты соответственно равны числам -7, , -1, 15.

Коэффициент одночлена, равный 1 или -1 обычно не пишут.

Если одночлен имеет только буквенные множители, то условились считать, что его коэффициент равен +1 или -1, в зависимости от знака, который стоит (или подразумевается) перед одночленом.

записаны в стандартном виде. Коэффициент первого из них равен 1, второго -1, так как

Целый положительный коэффициент означает, сколько раз повторяется слагаемым то буквенное выражение, перед которым он стоит.

Дробный положительный коэффициент означает, какая часть берётся от буквенного выражения, к которому он относится.

Пример. В одночлене коэффициент означает, что от x 2 берётся , потому что , а умножить на значит взять от множимого.

Отрицательный коэффициент означает, что буквенное выражение, перед которым он стоит, умножается на абсолютную величину этого коэффициента и результат берётся с противоположным знаком.

Приведение одночлена к стандартному виду

С одночленами удобнее работать, когда они записаны в стандартном виде. Любой одночлен можно привести к стандартному виду путём тождественных преобразований. Процесс таких преобразований называют приведением одночлена к стандартному виду.

Привести одночлен к стандартному виду – значит выполнить с ним такие тождественные преобразования, чтобы он принял стандартный вид.

Чтобы привести одночлен к стандартному виду надо:

1. Выполнить группировку числовых множителей (если их несколько), а также одинаковых буквенных множителей и их степеней.
2. Вычислить произведение числовых множителей и по свойству степеней с одинаковыми основаниями перемножить буквенные множители.
3. Поставить на первое место числовой множитель, а после него расположить буквенные множители в алфавитном порядке.

Пример 1. Запишите одночлен -2b(-3)x 3 4ab 2 x 2 в стандартном виде.

Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, сгруппируем по отдельности числовые и одинаковые буквенные множители. В результате исходный одночлен примет вид:

Перемножаем числовые множители и степени с одинаковыми основаниями. Произведение числовых множителей равно 24. Произведение степеней b равно b · b 2 = b 3 . Произведение степеней x равно x 3 · x 2 = x 5 :

Записываем на первом месте числовой множитель, а после него располагаем буквенные множители в алфавитном порядке. В итоге получаем одночлен стандартного вида:

Пример 2. Представить одночлен -2a 4 cb в стандартном виде.

Среди своих множителей, данный одночлен имеет множитель 0, значит всё произведение в результате будет равно 0. Стандартный вид нулевого одночлена есть 0:

Источники:

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vyrazhenija/opredelenie-odnochlena/

http://www.calc.ru/Odnochlen-Podobnyye-Odnochleny-Stepen-Odnochlena.html

http://izamorfix.ru/matematika/algebra/odnochlen.html