Построение взаимно перпендикулярных прямой и плоскости. Прямых и плоскостей

Построение взаимно перпендикулярных прямой и плоскости. Прямых и плоскостей

Контрольные задания по теме: Рабочая тетрадь задача 44, задача 45

Построение взаимно перпендикулярных прямых и плоскостей является важной графической операцией при решении метрических задач.

Построение перпендикуляра к прямой или плоскости основывается на свойстве прямого угла, которое формулируется следующим образом: если одна из сторон прямого угла параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей, то угол проецируется в натуральную величину на эту плоскость.


Рисунок 28

Сторона ВС прямого угла АВС, изображенного на рисунке 28, параллельна плоскости П1. Следовательно, проекция угла АВС на эту плоскость будет представлять прямой угол А1В1С1=90.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. При построении перпендикуляра из множества прямых принадлежащих плоскости, выбирают прямые уровня — горизонталь и фронталь. В этом случае горизонтальную проекцию перпендикуляра проводят перпендикулярно горизонтали, а фронтальную -перпендикулярно фронтали. На примере, изображенном на рисунке 29, показано построение перпендикуляра к плоскости, заданной треугольником АВС, из точки К. Для этого сначала проводим горизонталь и фронталь в плоскости. Затем из фронтальной проекции точки К проводим перпендикуляр к фронтальной проекции фронтали, а из горизонтальной проекции точки – перпендикуляр к горизонтальной проекции горизонтали. Затем строим точку пересечения данного перпендикуляра с плоскостью при помощи вспомогательной секущей плоскости Σ. Искомая точка – F. Таким образом, полученный отрезок КF является перпендикуляром к плоскости АВС.


Рисунок 29

На рисунке 29 изображено построение перпендикуляра КF к плоскости АВС.

Две плоскости перпендикулярны, если прямая, лежащая в одной плоскости, перпендикулярна двум пересекающимся прямым другой плоскости. Построение плоскости перпендикулярной данной плоскости АВС показано на рисунке 30. Через точку М проводится прямая МN, перпендикулярная плоскости АВС. Горизонтальная проекция этой прямой перпендикулярна АС, так как АС является горизонталью, а фронтальная проекция перпендикулярна АВ, так как АВ – фронталь. Затем через точку М проводится произвольная прямая EF. Таким образом, плоскость перпендикулярна АВС и задана двумя пересекающимися прямыми EF и MN.


Рисунок 30

Этот способ применяется для определения натуральных величин отрезков общего положения, а также углов наклона их к плоскостям проекций. Для того, чтобы определить натуральную величину отрезка этим способом, необходимо достроить прямоугольный треугольник к одной из проекций отрезка. Другим катетом будет являться разность высот или глубин конечных точек отрезка, а гипотенуза – натуральной величиной.

Рассмотрим пример: на рисунке 31 дан отрезок АВ общего положения. Требуется определить его натуральную величину и углы его наклона к фронтальной и горизонтальной плоскостям проекций.

Читать еще:  Парижские катакомбы франция. Катакомбы в париже

Проводим перпендикуляр к одному из концов отрезка на горизонтальной плоскости. Откладываем на нем разность высот (ZA-ZB) концов отрезка и достраиваем прямоугольный треугольник. Гипотенуза его является натуральной величиной отрезка, а угол между натуральной величиной и проекцией отрезка – натуральной величиной угла наклона отрезка к плоскости П1. Порядок построений на фронтальной плоскости тот же самый. По перпендикуляру откладываем разность глубин концов отрезка (YA-YB). Полученный угол между натуральной величиной отрезка и его фронтальной проекцией – это угол наклона отрезка к плоскости П2.


Рисунок 31

1. Сформулируйте теорему о свойстве прямого угла.

2. В каком случае прямая перпендикулярна плоскости?

3. Сколько прямых и сколько плоскостей, перпендикулярных данной плоскости, можно провести через точку пространства?

4. Для чего применяется способ прямоугольного треугольника?

5. Как при помощи этого способа определить угол наклона отрезка общего положения к горизонтальной плоскости проекций?

Построение взаимно перпендикулярных прямой и плоскости

Из всех возможных положений прямой, пересекающей плоскость, отметим случай, когда прямая перпендикулярна к плоскости, и рассмотрим свойства проекций такой прямой.

На рисунке 145 задана плоскость, определяемая двумя пересекающимися прямыми AN и AM, причем AN является горизонталью, а AM — фронталью этой плоскости. Прямая АВ, изображенная на том же чертеже, перпендикулярна к AN и к AM и, следовательно, перпендикулярна к определяемой ими плоскости.

Перпендикуляр к плоскости перпендикулярен к любой прямой, проведенной в этой плоскости. Но чтобы при этом проекция перпендикуляра к плоскости общего положения оказалась перпендикулярной к одноименной проекции какой-либо прямой этой плоскости, прямая должна быть горизонталью, или фронталью, или профильной прямой плоскости. Поэтому, желая построить перпендикуляр к плоскости, берут в общем случае две такие прямые (например, горизонталь и фрон- таль, как это показано на рисунке 145).

Итак, у перпендикуляра к плоскости его горизонтальная проекция перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали, фронтальная проекция перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали, профильная проекция перпендикулярна к профильной проекции профильной прямой этой плоскости.

Очевидно, в случае, когда плоскость выражена следами (рисунок 146), мы получаем следующий вывод: если прямая перпендикулярна к плоскости, то горизонтальная проекция этой прямой перпендикулярна к горизонтальному следу плоскости, а фронтальная проекция перпендикулярна к фронтальному следу плоскости.

На рисунке 146 из точки А проведен перпендикуляр к плоскости а (А»С» —L/o», A’C’Lh’^) и показано построение точки Е, в которой

перпендикуляр АС пересекает плоскость а. Построение выполнено с помощью горизон- тально-проецирующей плоскости р, проведенной через перпендикуляр АЕ.

На рисунке 147 показано построение перпендикуляра к плоскости, определяемой треугольником АВС. Перпендикуляр проведен через точку А.

Так как фронтальная проекция перпендикуляра к плоскости должна быть перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали плоскости, а его горизонтальная проекция перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали, то в плоскости через точку А проведены фронталь с проекциями A»D» и A’D’ и горизонталь А»Е», А’Е’. Конечно, эти прямые не обязательно проводить именно через точку А.

Читать еще:  Как будет по польски добрый день. Польский

Далее проведены проекции перпендикуляра: М»N» ±A»D», M’N’ 1 А’Е’. Почему проекции на рисунке 147 на участках A»N” и А’М’ показаны штриховыми линиями? Потому, что здесь рассматривается плоскость, заданная треугольником АВС, а не только этот треугольник: перпендикуляр находится частично перед плоскостью, частично за ней.

Построение взаимно параллельных прямой линии и плоскости и двух плоскостей

Построение взаимно параллельных прямой линии и плоскости. Известно, что если прямая линия (АВ, рис. 4.14) параллельна прямой KL, лежащей в плоскости, то она параллельна этой плоскости.

Для построения прямой, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной плоскости, достаточно провести прямую, параллельную любой прямой, принадлежащей плоскости.

При этом возможно бесчисленное множество решений. Дополнительные требования могут обусловить единственное решение.

В качестве примера на рис. 4.15 показано построение проекций прямой линии, проходящей через точку с проекциями К», К’, параллельной плоскости треугольника с проекциями Д «В»С», А ‘В’С’ и параллельной плоскости π2 – дополнительное требование. В плоскости треугольника проведена фронталь с проекциями A»I», А ‘ 1 Проекции искомой прямой проведены через проекции К», К’ точки параллельно проекциям фронтали:

Для того чтобы проверить, параллельна ли прямая заданной плоскости, можно попробовать провести в этой плоскости прямую, параллельную заданной. Если такую прямую в плоскости построить не удается, то заданные прямая и плоскость не параллельны между собой. Можно также попытаться найти точку пересечения данной прямой с данной плоскостью. Если такая точка не может быть найдена, то заданные прямая и плоскость взаимно параллельны.

Построение взаимно параллельных плоскостей. Для такого построения используют известное свойство: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны. Так, например, на рис. 4.16 построена плоскость, проходящая через точку с проекциями К», К’, параллельная плоскости, заданной проекциями А «В», А’В’ и А «С», A ‘C пересекающихся прямых. Для этого через фронтальную проекцию К” проведены фронтальные проекции и через горизонтальную

проекцию К’ – горизонтальные проекции

Построенная плоскость, определяемая проекциями К «D», К»F» и К’D’, К’F’, параллельна заданной плоскости.

Построение параллельных плоскостей на чертеже удобно выполнять с помощью главных линий плоскости – горизонталей и фронталей. На рис. 4.17 проекции плоскости а заданы проекциями А «В «, CD» и A’B’, CD’ параллельных прямых. Параллельная ей плоскость γ должна проходить через точку с проекциями К», К’. Проекции плоскости у построены с помощью фронтальных проекций K»F» фронтали и К»G» горизонтали и горизонтальных проекций К’G’ горизонтали и K1F’ фронтали. При этом

Проверку параллельности двух плоскостей на чертеже удобно выполнять путем проверки параллельности фронтальных проекций фрон- талей и горизонтальных проекций горизонталей этих плоскостей.

Построение взаимно перпендикулярных прямой и плоскости, двух плоскостей и двух прямых

Важное практическое значение при решении задач имеют построения прямой линии, перпендикулярной плоскости, или плоскости, перпендикулярной прямой линии, и двух взаимно перпендикулярных плоскостей.

Читать еще:  Что значит полное имя Лана? Значение женского имени лана.

Перпендикуляр к плоскости перпендикулярен любой прямой, проведенной в этой плоскости – на рис. 4.18 (АВ) 1а, (АВ) ± (DC), (АВ) 1 (EF). Из множества этих прямых при построении перпендикуляра к плоскости на чертеже выбирают фронталь и горизонталь плоскости. В этом случае на чертеже фронтальную проекцию перпендикуляра проводят под углом 90° к фронтальной проекции фронтали, а горизонтальную проекцию перпендикуляра – под углом 90° к горизонтальной проекции горизонтали (см. § 1.3).

Пример построения проекций А «М «, А ‘М’ прямой, перпендикулярной плоскости треугольника с проекциями А «В «С», А ‘В ‘С, приведен на рис. 4.19. Фронтальная проекция А»М» прямой построена перпендикулярно фронтальной проекции А»2″ фронтали, горизонтальная проекция А ‘М’ – перпендикулярно горизонтальной проекции А’]’ горизонтали треугольника.

Пример построения на чертеже плоскости, перпендикулярной заданной прямой, приведен на рис. 4.20. Из проекций К», К’ точки

прямой построены проекции фронтали и проекции горизонтали. Они и определяют положение плоскости.

Построение двух взаимно перпендикулярных плоскостей. Как известно, плоскости перпендикулярны, если прямая, принадлежащая одной плоскости, перпендикулярна другой плоскости (рис. 4.21, ). Построение проекций плоскости а, проходящей через прямую с проекциями и перпендикулярную плоскости, заданной проекциями А «В «С», А’В’С’ треугольника, показано на рис. 4.22. Для построения на чертеже плоскости через проекции Е»,Е’ точки прямой проведены проекции E»F», E’F’ перпендикуляра к плоскости треугольника. Две пересекающиеся прямые определяют положение искомой плоскости, перпендикулярной заданной. Заметим, что построение проек-

ций E»F» и E’F’ перпендикуляра к заданной плоскости облегчено тем, что стороны треугольника с проекциями А «В», А’ В’ – фронталь, – горизонталь.

На рис. 4.23 показано построение плоскости а, перпендикулярной плоскости треугольника с проекциями . Плоскость а, заданная следами построена перпендикулярно горизонтали с проекциями треугольника . В этом случае плоскость а перпендикулярна и плоскости , так как горизонталь с проекциями параллельна ей.

Построение двух перпендикулярных прямых общего положения выполняют с помощью плоскости, перпендикулярной одной из них. Через точку пересечения прямой и перпендикулярной ей плоскости проводят в плоскости любую прямую, которая и будет перпендикулярна заданной прямой.

Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью определяется углом между этой прямой и ее проекцией на плоскость (см., например, угол φ на рис. 4.24). Для построения угла между прямой и плоскостью в общем случае требуется: найти точку пересечения прямой с плоскостью, провести из некоторой точки прямой перпендикуляр на плоскость; определить точку пересечения перпендикуляра с плоскостью; полученные точки пересечения прямой и перпендикуляра с плоскостью соединить прямой линией.

Угол между прямой и построенной линией будет искомым.

Для определения величины угла φ между прямой и плоскостью на практике поступают так. Определяют угол между прямой и перпендикуляром из точки прямой к плоскости (рис. 4.24). Искомый угол определяют вычитанием из 90° угла между прямой и перпендикуляром к плоскости:

Источники:

http://www.kgau.ru/distance/2013/m5/003/tema05.htm

http://m.studref.com/545900/prochie/postroenie_vzaimno_perpendikulyarnyh_pryamoy_ploskosti

http://studme.org/84066/tehnika/postroenie_vzaimno_parallelnyh_pryamoy_linii_ploskosti_dvuh_ploskostey

Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector