Калькулятор рядов фурье с подробным решением. Ряд Фурье
Разложение в ряд Фурье онлайн
Разложение некоторой функции f ( x ) в тригонометрический ряд Фурье на отрезке [- k , k ] имеет вид:
В качестве примера, разложим в ряд Фурье функцию f ( x ) = x на отрезке [ -1 , 1 ]. В этом случае коэффициенты a n и b n определяются по формулам:
Таким образом, разложение функции f ( x ) = x в ряд Фурье на отрезке [ -1 , 1 ] имеет вид:
На рисунке ниже приведено два графика: f ( x ) = x (желтым цветом) и , (синим цветом) для которого мы взяли порядок разложения функции в ряд Фурье равным 25.
Стоит отметить, что в приведенном выше примере, коэффициенты a n равны нулю не случайно. Дело в том, что функция f ( x ) = x является нечетной на интервале [ -1 , 1 ]. Функция – напротив является чётной. Произведение чётной функции на нечетную является нечётной функцией, поэтому согласно свойствам , интеграл от нечётной функции на симметричном интервале равен нулю.
В случае, если бы мы раскладывали в ряд Фурье на симметричном интервале какую-нибудь чётную функцию, например x 2 , коэффициенты b n равнялись бы нулю, поскольку в этом случае, подинтегральное выражение – являлось бы нечётной функцией.
Исходя из приведённых выше рассуждений можно сделать следующие выводы:
- Разложение в ряд Фурье нечётной функции на симметричном интервале будет содержить только слагаемые с синусами.
- Разложение в ряд Фурье чётной функции на симметричном интервале будет содержить только слагаемые с косинусами.
- Если нам необходимо получить разложение в ряд Фурье некоторой произвольной функции на интервале [ 0 , b ] , то у нас есть две возможности. Мы можем продолжить эту функцию на интервал [ -b , 0 ] нечётным образом и тогда в разложении получим только синусы. Или же мы можем продолжить её в указанный интервал чётным образом и тогда получим в разложении только косинусы.
Стоит также отметить, что используя приведённые выше формулы и соответствующую замену переменной, можно получить формулы для коэффициентов разложения функции в ряд Фурье на произвольном интервале [ p , q ]:
Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha раскладывает произвольную функцию в ряд Фурье на интервале [-π π]. В принципе, это не накладывает существенных ограничений, поскольку, используя соответствующую замену переменной, мы можем получить разложение на произвольном интервале [ p , q ].
Ряд Фурье. Разложение функции в ряд Фурье. Разложение функции в ряд синусов и косинусов.
Ряд Фурье. Разложение функции в ряд Фурье. Разложение функции в ряд синусов и косинусов. Вариант для печати.
- Ряд Фурье периодических функций с периодом 2π.
- Четные и нечетные функции.
- Разложение в ряд Фурье по синусам.
- Ряд Фурье для произвольного интервала.
- Ряд Фурье непериодических функций с периодом 2π.
- Разложение в ряд Фурье по косинусам.
- Ряд Фурье на полупериоде.
- Ряд Фурье на полупериоде для функций, заданных на интервале L≠2π.
Ряд Фурье периодических функций с периодом 2π.
Ряд Фурье позволяет изучать периодические (непериодические) функции, разлагая их на компоненты. Переменные токи и напряжения, смещения, скорость и ускорение кривошипно-шатунных механизмов и акустические волны – это типичные практические примеры применения периодических функций в инженерных расчетах.
Разложение в ряд Фурье основывается на предположении, что все имеющие практическое значение функции в интервале -π ≤x≤ π можно выразить в виде сходящихся тригонометрических рядов (ряд считается сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов):
Стандартная (=обычная) запись через сумму sinx и cosx
(1)
Где для диапазона от -π до π коэффициенты ряда Фурье рассчитываются по формулам:
Коэффициенты ao,an и bn называются коэффициентами Фурье, и если их можно найти, то ряд (1) называется рядом Фурье, соответствующим функции f(x). Для ряда (1) член (a1cosx+b1sinx) называется первой или основной гармоникой,
Другой способ записи ряда – использование соотношения acosx+bsinx=csin(x+α)
Для ряда (1) член (a1cosx+b1sinx) или c1sin(x+α1) называется первой или основной гармоникой, (a2cos2x+b2sin2x) или c2sin(2x+α2) называется второй гармоникой и так далее.
Для точного представления сложного сигнала обычно требуется бесконечное количество членов. Однако во многих практических задачах достаточно рассмотреть только несколько первых членов.
Ряд Фурье непериодических функций с периодом 2π.
Разложение непериодических функций в ряд Фурье.
Если функция f(x) непериодическая, значит, она не может быть разложена в ряд Фурье для всех значений х. Однако можно определить ряд Фурье, представляющий функцию в любом диапазоне шириной 2π.
Если задана непериодическая функция, можно составить новую функцию, выбирая значения f(x) в определенном диапазоне и повторяя их вне этого диапазона с интервалом 2π. Поскольку новая функция является периодической с периодом 2π, ее можно разложить в ряд Фурье для всех значений х. Например, функция f(x)=x не является периодической. Однако, если необходимо разложить ее в ряд Фурье на интервале от о до 2π, тогда вне этого интервала строится периодическая функция с периодом 2π (как показано на рис. ниже) .
Для непериодических функций, таких как f(x)=х, сумма ряда Фурье равна значению f(x) во всех точках заданного диапазона, но она не равна f(x) для точек вне диапазона. Для нахождения ряда Фурье непериодической функции в диапазоне 2π используется все таже формула коэффициентов Фурье.
Четные и нечетные функции.
Говорят, функция y=f(x) четная, если f(-x)=f(x) для всех значений х. Графики четных функций всегда симметричны относительно оси у (т.е. являются зеркально отраженными). Два примера четных функций: у=х 2 и у=cosx.
Говорят, что функция y=f(x) нечетная, если f(-x)=-f(x) для всех значений х. Графики нечетных функций всегда симметричны относительно начала координат.
Многие функции не являются ни четными, ни нечетными.
Разложение в ряд Фурье по косинусам.
Ряд Фурье четной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с косинусами (т.е. не содержит членов с синусами) и может включать постоянный член. Следовательно,
где коэффициенты ряда Фурье,
Разложение в ряд Фурье по синусам.
Ряд Фурье нечетной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с синусами (т.е. не содержит членов с косинусами).
где коэффициенты ряда Фурье,
Ряд Фурье на полупериоде.
Если функция определена для диапазона, скажем от 0 до π, а не только от 0 до 2π, ее можно разложить в ряд только по синусам или тольо по косинусам. Полученный ряд Фурье называется рядом Фурье на полупериоде.
Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по косинусам функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить четную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=х, построенная на интервале от х=0 до х=π. Поскольку четная функция симметрична относительно оси f(x), проводим линию АВ, как показано на рис. ниже. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученная треугольная форма является периодической с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показ. на рис. ниже. Поскольку требуется получить разложение Фурье по косинусам, как и ранее, вычисляем коэффициенты Фурье ao и an
Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по синусам функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить нечетную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=x, построенная на интервале от от х=0 до х=π. Поскольку нечетная функция симметрична относительно начала координат, строим линию CD, как показано на рис. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученный пилообразный сигнал является периодическим с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показанный на рис. Поскольку требуется получить разложение Фурие на полупериоде по синусам, как и ранее, вычисляем коэффициент Фурье. b
Ряд Фурье для произвольного интервала.
Разложение периодической функции с периодом L.
Периодическая функция f(x) повторяется при увеличении х на L, т.е. f(x+L)=f(x). Переход от рассмотренных ранее функций с периодом 2π к функциям с периодом L довольно прост, поскольку его можно осуществить с помощью замены переменной.
Чтобы найти ряд Фурье функции f(x) в диапазоне -L/2≤x≤L/2, введем новую переменную u таким образом, чтобы функция f(x) имела период 2π относительно u. Если u=2πх/L, то х=-L/2 при u=-π и х=L/2 при u=π. Также пусть f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Ряд Фурье F(u) имеет вид
Где коэффициенты ряда Фурье,
Однако чаще приведенную выше формулу приводят к зависимости от х. Поскольку u=2πх/L, значит, du=(2π/L)dx, а пределы интегрирования – от -L/2 до L/2 вместо – π до π. Следовательно, ряд Фурье для зависимости от х имеет вид
где в диапазоне от -L/2 до L/2 коэффициенты ряда Фурье,
(Пределы интегрирования могут быть заменены на любой интервал длиной L, например, от 0 до L)
Ряд Фурье на полупериоде для функций, заданных в интервале L≠2π.
Для подстановки u=πх/L интервал от х=0 до х=L соответствует интервалу от u=0 до u=π. Следовательно, функцию можно разложить в ряд только по косинусам или только по синусам, т.е. в ряд Фурье на полупериоде.
Разложение по косинусам в диапазоне от 0 до L имеет вид
Ряды Фурье с примерами решений
Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.
Понятие ряда Фурье
Тригонометрическим рядом Фурье называется ряд вида
где числа a 0 , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , . a n , b n , . – коэффициенты Фурье.
Более сжатая запись ряда Фурье с символом “сигма”:
.
Как мы только что установили, в отличие от степенного ряда, в ряде Фурье вместо простейших функций взяты тригонометрические функции
Коэффициенты Фурье вычисляются по следующим формулам:
,
,
.
Все вышеперечисленные функции в ряде Фурье являются периодическими функциями с периодом 2π . Каждый член тригонометрического ряда Фурье является периодической функцией с периодом 2π .
Поэтому и любая частичная сумма ряда Фурье имеет период 2π . Отсюда следует, что если ряд Фурье сходится на отрезке [-π, π] , то он сходится на всей числовой прямой и его сумма, будучи пределом последовательности периодических частичных сумм, является периодической функцией с периодом 2π .
Вышеупомянутое свойство видно на графике внизу: здесь график суммы ряда для функции f(x) = x . Вне отрезка [-π, π] сумма ряда является периодическим продолжением данной функции: график функции бесконечно повторяется справа и слева.
Сходимость ряда Фурье и сумма ряда
Пусть функция F(x) , определённая на всей числовой прямой и периодическая с периодом 2π , является периодическим продолжением функции f(x) , если на отрезке [-π, π] имеет место F(x) = f(x)
Если на отрезке [-π, π] ряд Фурье сходится к функции f(x) , то он сходится на всей числовой прямой к её периодическому продолжению.
Ответ на вопрос о том, при каких условиях ряд Фурье функции f(x) сходится к этой функции, даёт следующая теорема.
Теорема. Пусть функция f(x) и её производная f ‘ (x) – непрерывные на отрезке [-π, π] или же имеют на нём конечное число точек разрыва 1-го рода. Тогда ряд Фурье функции f(x) сходится на всей числовой прямой, причём в каждой точке x , принадлежащей отрезку [-π, π] , в которой f(x) непрерывна, сумма ряда равна f(x) , а в каждой точке x 0 разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому пределов функции f(x) справа и слева:
,
где и
.
На концах отрезка [-π, π] сумма ряда равна среднему арифметическому значений функции в крайней левой и крайней правой точках периода разложения:
.
В любой точке x , принадлежащей отрезку [-π, π] , сумма ряда Фурье равна F(x) , если x – точка непрерывности F(x) , и равна среднему арифметическому пределов F(x) слева и справа:
,
Пример 1. Периодическая функция f(x) с периодом 2π определена следующим образом:
Проще эта функция записывается как f(x) = |x| . Разложить функцию в ряд Фурье, определить сходимость ряда и сумму ряда.
Решение. Определим коэффициенты Фурье этой функции:
Теперь у нас есть всё, чтобы получить ряд Фурье данной функции:
Этот ряд сходится во всех точках, и его сумма равна данной функции.
Решить задачу на ряды Фурье самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 2. Дана периодическая функция с периодом 2π :
Определить коэффициенты Фурье.
Ряды Фурье для чётных и нечётных функций
Пусть функция f(x) определена на отрезке [-π, π] и является чётной, т. е. f(- x) = f(x) . Тогда её коэффициенты b n равны нулю. А для коэффициентов a n верны следующие формулы:
,
.
Пусть теперь функция f(x) , определённая на отрезке [-π, π] , нечётная, т.е. f(x) = – f( – x) . Тогда коэффициенты Фурье a n равны нулю, а коэффициенты b n определяется формулой
.
Как видно из формул, выведенных выше, если функция f(x) чётная, то ряд Фурье содержит только косинусы, а если нечётная, то только синусы.
Пример 3. Разложить в ряд Фурье функцию .
Решение. Это нечётная функция, поэтому её коэффициенты Фурье , а чтобы найти
, нужно вычислить определённый интеграл:
Получаем ряд Фурье данной функции:
.
Это равенство справедливо для любого . В точках
сумма ряда Фурье по приведённой во втором параграфе теореме не совпадает со значениями функции
, а равна
. Вне отрезка
сумма ряда является периодическим продолжением функции
, её график приводился выше в качестве иллюстрации суммы ряда.
Пример 4. Разложить в ряд Фурье функцию .
Решение. Это чётная функция, поэтому её коэффициенты Фурье , а чтобы найти
, нужно вычислить определённые интегралы:
Получаем ряд Фурье данной функции:
.
Это равенство справедливо для любого , так как в точках
сумма ряда Фурье в данном случае совпадает со значениями функции
, поскольку
.
Ряды Фурье с периодом 2l
Пусть функция f(x) определена на отрезке [– l, l] ( l – произвольное положительное число). Тогда формула ряда Фурье этой функции принимает вид
,
где коэффициенты Фурье определяются по следующим формулам:
,
,
.
Пример 5. Разложить в ряд Фурье с периодом 2l функцию f(x) , которая на отрезке [– l, l] задаётся формулой .
Решение. Это чётная функция, поэтому её коэффициент Фурье , а чтобы найти
, нужно вычислить определённые интегралы:
Ряд Фурье данной функции:
.
Это равенство справедливо для любого , а это значит, что ряд сходится на всей числовой прямой.
Решить задачу на ряды Фурье самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 6. Разложить в ряд Фурье с периодом 4 периодическую функцию ,
.
Источники:
http://mathforyou.net/online/calculus/series/fourier/
http://dpva.ru/guide/guidemathematics/seriesoftaylormaklorenfourier/fourierseries/
http://function-x.ru/rows5.html