Функция называется нечетной. Четность функции

Нечетная функция

Нечётная фу́нкция — функция, меняющая знак при изменении знака независимого переменного.

Чётная фу́нкция — это функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимого переменного.

Нечётная фу́нкция — функция, симметричная относительно центра координат, а чётная — функция, симметричная относительно оси ординат.

Содержание

Определения

Функция называется нечётной, если справедливо равенство

Функция f называется чётной, если справедливо равенство

Если не выполняется ни одно из этих равенств, то функция называется функцией общего вида.

Свойства

График нечётной функции симметричен относительно начала координатO .
График чётной функции симметричен относительно оси ординат Oy .
Произвольная функция может быть представлена в виде суммы нечётной и чётной функций:

f(x) = g(x) + h(x),

Функция — единственная функция, одновременно являющаяся нечётной и чётной.
Сумма, разность и вообще любая линейная комбинация чётных функций чётна, а нечётных — нечётна.
Произведение или дробь двух нечётных функций чётно.
Произведение или дробь двух чётных функций чётно.
Произведение или дробь нечётной и чётной функций нечётно.
Композиция двух нечётных функция нечётна.
Композиция двух чётных функций чётна.
Композиция чётной функции с нечётной чётна.
Композиция любой функции с чётной чётна (но не наоборот).
Функция, обратная чётной, чётна, а нечётной — нечётна.
Производная чётной функции нечётна, а нечётной — чётна.
- То же верно про производную третьего, пятого и вообще любого нечётного порядка.
Производная чётного порядка сохраняет чётность.

Примеры

Нечётные функции

Нечётная степеньгде — произвольное целое число.
Синус.
Тангенс.

Чётные функции

Чётная степень где — произвольное целое число.
Косинус.

Вариации и обобщения

Понятие чётности и нечётности функций естественно обобщаются на случай отображений между векторными пространствами.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое “Нечетная функция” в других словарях:

НЕЧЕТНАЯ ФУНКЦИЯ — функция, удовлетворяющая равенству f( x) = f(x) при всех х … Большой Энциклопедический словарь

нечетная функция — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN odd function … Справочник технического переводчика

НЕЧЕТНАЯ ФУНКЦИЯ — функция, меняющая знак при изменении знака независимого переменного, т. е. функция, удовлетворяющая условию . График Н. ф. симметричен относительно начала координат … Математическая энциклопедия

нечётная функция — функция, удовлетворяющая равенству f(–х) = f(х) при всех х. * * * НЕЧЕТНАЯ ФУНКЦИЯ НЕЧЕТНАЯ ФУНКЦИЯ, функция, удовлетворяющая равенству f( x) = f(x) при всех х … Энциклопедический словарь

Читать еще: Значение имени саша для девочки. Значение имени: Александра

Единичная функция Хевисайда — Функция Хевисайда, единичная ступенчатая функция, ступенька положения специальная математическая функция, чьё значение равно нулю для отрицательных аргументов и единице для положительных аргументов … Википедия

Единичная Хевисайда — Единичная функция Хевисайда Функция Хевисайда, единичная ступенчатая функция, ступенька положения специальная математическая функция, чьё значение равно нулю для отрицательных аргументов и единице для положительных аргументов … Википедия

Многочлены Лежандра — Многочлен Лежандра многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов, на отрезке по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов… … Википедия

ОБРАТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ — (обратный оператор) к однозначному отображению (оператору) однозначное отображение gтакое, что где нек рые множества. Если gудовлетворяет лишь условию (1), то оно наз. правым обратным отображением к f, если лишь (2) левым обратным отображением к… … Математическая энциклопедия

ЯКОБИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — эллиптические функции, возникшие при непосредственном обращении эллиптических интегралов в нормальной форме Лежандра. Эта задача обращения была решена в 1827 независимо К. Якоби (С. Jacobi) и, в несколько иной форме, Н. Абелем (N. Abel).… … Математическая энциклопедия

ВЕИЕРШТРАССА ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — ф>тнкции, положенные К. Вейерштрассом в основу его общей теории эллиптических функций, излагавшейся им с 1862 на лекциях в Берлинском университете (см. [1], [2]). В отличие от более раннего построения теории эллиптич. функций, связанного с… … Математическая энциклопедия

Четность и нечетность функции. Период функции. Экстремумы функции

Содержание

Способы задания функции

Пусть функция задается формулой: y=2x^<2>-3 . Назначая любые значения независимой переменной x , можно вычислить, пользуясь данной формулой соответствующие значения зависимой переменной y . Например, если x=-0,5 , то, пользуясь формулой, получаем, что соответствующее значение y равно y=2 cdot (-0,5)^<2>-3=-2,5 .

Взяв любое значение, принимаемое аргументом x в формуле y=2x^<2>-3 , можно вычислить только одно значение функции, которое ему соответствует. Функцию можно представить в виде таблицы:

Пользуясь данной таблицей, можно разобрать, что для значения аргумента −1 будет соответствовать значение функции −3 ; а значению x=2 будет соответствовать y=0 и т.д. Также важно знать, что каждому значению аргумента в таблице соответствует лишь одно значение функции.

Читать еще: Как побороть тягу к сладкому и вредным перекусам.

Еще функции возможно задать, используя графики. С помощью графика устанавливается какое значение функции соотносится с определенным значением x . Наиболее часто, это будет приближенное значение функции.

Четная и нечетная функция

Функция является четной функцией, когда f(-x)=f(x) для любого x из области определения. Такая функция будет симметрична относительно оси Oy .

Функция является нечетной функцией, когда f(-x)=-f(x) для любого x из области определения. Такая функция будет симметрична относительно начала координат O (0;0) .

Функция является ни четной, ни нечетной и называется функцией общего вида, когда она не обладает симметрией относительно оси или начала координат.

Исследуем на четность нижеприведенную функцию:

D(f)=(-infty ; +infty ) с симметричной областью определения относительно начала координат. f(-x)= 3 cdot (-x)^<3>-7 cdot (-x)^<7>= -3x^<3>+7x^<7>= -(3x^<3>-7x^<7>)= -f(x) .

Значит, функция f(x)=3x^<3>-7x^ <7>является нечетной.

Периодическая функция

Функция y=f(x) , в области определения которой для любого x выполняется равенство f(x+T)=f(x-T)=f(x) , называется периодической функцией с периодом T neq 0 .

Повторение графика функции на любом отрезке оси абсцисс, который имеет длину T .

Промежутки, где функция положительная, то есть f(x) > 0 – отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих выше оси абсцисс.

f(x) > 0 на (x_<1>; x_<2>) cup (x_<3>; +infty )

Промежутки, где функция отрицательная, то есть f(x) 0 , для которого выполняется неравенство left | f(x) right | neq K для любого x in X .

Пример ограниченной функции: y=sin x ограничена на всей числовой оси, так как left | sin x right | neq 1 .

Возрастающая и убывающая функция

О функции, что возрастает на рассматриваемом промежутке принято говорить как о возрастающей функции тогда, когда большему значению x будет соответствовать большее значение функции y=f(x) . Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значения аргумента x_ <1>и x_ <2>, причем x_ <1>> x_ <2>, будет y(x_<1>) > y(x_<2>) .

Функция, что убывает на рассматриваемом промежутке, называется убывающей функцией тогда, когда большему значению x будет соответствовать меньшее значение функции y(x) . Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значений аргумента x_ <1>и x_ <2>, причем x_ <1>> x_ <2>, будет y(x_<1>) 0 четная функция возрастает, то убывает она при x 0 четная функция убывает, то возрастает она при x 0 нечетная функция возрастает, то возрастает она и при x 0 , то она будет убывать и при x f(x_<0>) . y_ – обозначение функции в точке min.

Читать еще: Алексей и мария совместимость имен. Мария совместимость

Точкой максимума функции y=f(x) принято называть такую точку x=x_ <0>, у которой ее окрестность будет иметь остальные точки (кроме самой точки x=x_ <0>), и для них тогда будет выполняется неравенство f(x)

Четные и нечётные функции.

Область определения функции называется симметричной, если для любого х из области определения функции существует ( -х ) тоже принад-лежащий этой области.

Функция у = f(х) называется четной, если она имеет симметричную область определения и для всех х из этой области выполняется равенство

Функция у = f(х) называется нечетной, если она имеет симметричную область определения и для всех х из этой области выполняется равенство

Графики четных функции симметричны относительно оси ординат, гра-фики нечетных функций симметричны относительно начала координат.

Например: функции у = х 2 , y = x 4 – четные ( рис 1.1 ), а функции у = х 3 , у = х – нечетные ( рис 1.2 ).

Периодические функции.

Функция у = f(х) называется периодической, если существует такое число Т ≠ 0, что вместе с любым х из области определения функции точки (х + кТ) тоже принадлежат этой области и при этом выполняется неравенство

f(х) = f(х + кТ ). Число Т называется периодом функции.

Например у = sin x периодическая функция с периодом Т = 2π. (рис 1.9 ).

Ограниченные функции.

Функция у = f(х) называется ограниченной сверху в некоторой области значений аргумента, если существует такое число М, что для всех х из этой области f(х) ≤ М.

Функция у = f(х) называется ограниченной снизу в некоторой области, если существует такое число N, что для всех х из этой области f(х) ≥ N.

Функция называется ограниченной, если она ограничена снизу и сверху.

Например: функция у = ограничена снизу числом 0 (рис. 1.3 )

функция у = 2 –х 2 ограничена сверху числом 2

функция у = sin x ограниченная │sin x│≤ 1 (рис. 1.9 ).

109.201.137.33 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Источники:

http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/1060605

http://academyege.ru/page/chetnost-i-nechetnost-funkcii-period-funkcii-ehkstremumy-funkcii.html

http://studopedia.ru/19_328949_chetnie-i-nechetnie-funktsii.html