Стоя́чая волна. Электромагнитные волны

Стоячие электромагнитные волны без узлов и пучностей Текст научной статьи по специальности «Физика»

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Ильин Вадим Сергеевич, Скляр Алексей Николаевич

Показана возможность существования и реализации одномерных одночастотных стоячих волн без узлов и пучностей.The opportunity of existence and realization of one-dimensional single-frequency standing waves without nodes and crests is shown here.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Ильин Вадим Сергеевич, Скляр Алексей Николаевич

Текст научной работы на тему «Стоячие электромагнитные волны без узлов и пучностей»

ЭНЕРГЕТИКА И ЭЛЕКТРОТЕХНИКА

В.С. Ильин, А.Н. Скляр СТОЯЧИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ БЕЗ УЗЛОВ И ПУЧНОСТЕЙ

Показана возможность существования и реализации одномерных одночастотных стоячих волн без узлов и пучностей.

V.S. Il’in, A.N. Sklyar STANDING ELECTROMAGNETIC WAVES WITHOUT NODES AND CRESTS

The opportunity of existence and realization of one-dimensional singlefrequency standing waves without nodes and crests is shown here.

Традиционное описание стоячих электромагнитных волн сводится к рассмотрению суперпозиции векторнык полей Ё = Ё1 + Ё11 = n0 (Ё1 (z, t) + ЁП (z, t)), Й = Й1 + Й11 =

= ((z, t) + Й” (z, t)), двух встречный плоских, плоскополяризованнык бегущих волн I и

II, с равными частотами и амплитудами. Как известно, в этом случае в плоскостях

z2n = z0 + 2nk/ 4 будут располагаться пучности (max| Ё|), а в плоскостях

z2n+1 = z0 + (2n +1)^/4 – узлы (Ё| = 0) напряжённости электрического поля (n = 0, ± 1, ±2. ) . Соответственно, в z2n будут узлы (Й| = о), а в z2n+1 – пучности (max|Й|) напряжённости магнитного поля.

В электродинамике поверхности, на который тангенциальные компоненты вектора E обращаются в ноль, принято называть Э-стенками, а поверхности обнуления

тангенциальнык компонент вектора Й – М-стенками. В обсуждаемой стоячей волне, очевидно, плоскости z2n+1 будут Э-стенками, а плоскости z2n – М-стенками.

Электрические стенки без возмущения поля допускают «материализацию» хорошо проводящими металлами. Вводя в плоскостях z2n+1 и z2n+1 (n^n’) проводящие «зеркала», можно пространственно ограничить объём электромагнитного поля. Это эквивалентно рассмотрению одномерного по z резонатора с двумя плоскими зеркалами, промежуток между которыми L = |n – n’ |^/ 2 = 2| n – n’ Х/ 4 равен чётному числу четвертей длины волны.

Переход к резонаторной системе фактически означает рассмотрение уже не волновых, а колебательных состояний поля. По этой причине исторически принятый термин «стоячие волны» (одномерные или, в обобщённом подходе, двумерные и трёхмерные) нельзя признать удачным.

Возможность легкореализуемого пространственно-ограниченного «удержания» поля плоской, плоскополяризованной стоячей волны двумя плоскоизотропными ЭЭ-

зеркалами, по-видимому, затормозила появление более расширенных представлений о возможных типах стоячих волн. Во всяком случае в учебной и научной литературе под «стоячими волнами» обычно понимаются узлопучностные полевые образования. В настоящей статье демонстрируется возможность существования и реализации одномерных одночастотных стоячих волн без узлопучностного пространственного распределения.

1. Винтовые бегущие волны

Рассмотрим в бездисперсной среде с проницаемостями в ид электромагнитное поле с напряжённостями

Ех (г, г) = Е08т Ф(г, г), Е (г, г) = -эрЕ0оов Ф(г, г), Ег (г, г) = 0,

-E0 cos Ф(г, t), H (z, t) = p

-E0 sin Ф(z, t), Hz (z, t) = 0,

где Ф(1,t) = 0(z,t) + 00 =(pkz-шt) + 00 – фазовый аргумент; к(ш) = Шд/еД – волновое число (ш > 0, s > 0, д > 0); p = +1, s = +1.

Векторы (1) и (2) удовлетворяют уравнениям Максвелла:

rot E(z, t ) = -ддН(,^), rot H (z, t ) = +s-dE(zt), div sE (z, t) = 0, div дН (z, t ) = 0. (3)

Выражения (1) и (2) описывают бегущую волну круговой (циркулярной) поляризации. При индексе направления движения p=+1 волна распространяется в направлении оси z, а при р= -1 – против z. В случае s=+1 в произвольной фиксированной плос кости наблюдения z=const вращение взаимно ортогональных

векторов E и H (, H)= о) при «взгляде навстречу волне», будет происходить по часовой стрелке, а при Í= -1 – против часовой стрелки.

При начальных условиях z=0 и t=0, вектор (1) принимает вид

Ex (z = 0, t = 0) = E0sin 00, Ey (z = 0, t = 0) = -spE0cos 00, Ez (z = 0, t = 0) = 0. (4)

Электрический вектор (1) представим как результат действия на вектор (4) унитарной вещественной матрицей поворота вокруг оси z на угол sp0(z, t) = sp(pkz -rat) :

cos sp0(z, t), – sin sp0(z, t) 0

sin sp0(z, t), cos sp0(z, t) 0

– spE0 cos(0(z, t) + 00)

– spE0 cos Ф^, t) 00

Унитарная матрица поворота на угол sp0(z,t) = sp(pkz) + (-sprat), представима в

виде произведения двух унитарных коммутирующих матриц углы (- &р га г) и sp(pkz) = skz, т.е. в виде

* Здесь ввиду sp = +1 имеют место соотношения cos sp0 = cos 0, sin sp0 = sp sin 0.

cos sp©( z, t), – sin sp©(z, t) 0

sin sp©(z, t), cos sp©(z, t) 0

cos(- sprat), – sin(- sprat) 0″ cos skz, – sin skz 0

sin(- sprat), cos(- sprat) 0 sin skz, cos skz 0

Унитарный оператор T, ответственный за развитие электрического поля во

времени, следует определить как эволюционный. В плоскости наблюдения z=const T поворачивает вектор E на угол (-sprat) с угловой скоростью ш = -n0spra (со > 0).

При действии унитарного оператора поворота Z на начальный вектор (4), имеем

cosskz, – sin skz 0

sin skz, cos skz 0

Результат (7) указывает на пространственное вращение E на угол, равный параметру z-осевого сдвига pkz.

Это означает, что E-поверхность поляризации является винтовой (шнековой) поверхностью. Ввиду cospkz=cos kz, sinpkz=p sin kz характер винтовой поверхности зависит только от индекса спиральности s = +1. В правой системе координат (x,y,z), значение s=+1 определяет правовинтовую, а s= -1 – левовинтовую поверхности r *

Действие матричного оператора

на начальный магнитный вектор

приводит к (2). Вектор Н также будет поляризован по винтовой поверхности, ортогональной, ввиду Н ± Е, к винтовой Е-поверхности. Электромагнитную волну с поляризованными по винтовым поверхностям векторами напряжённостей (1) и (2) иногда называют бегущей винтовой электромагнитной волной [1]. Если необходимо подчеркнуть ещё и геометрический характер поверхностей фронтов, то применяют термин «постоянная, поляризованная по винтовой поверхности (по винту) волна». Использование термина «винтовая волна» физически целесообразно, ибо в нём подчеркиваются внутренние поляризационные свойства волны – её винтовая симметрия, спиральности 5. Действительно, поскольку векторы Е и Н находятся на линиях пересечения Е ^ Н винтовых поверхностей поляризации с плоскостями фазовых фронтов, при непрерывном последовательном прохождении со скоростью Уфаз = П0Уфаз фазовых фронтов через выбранную плоскость наблюдения z=const в последней, как уже отмечалось, будут

* При графическом построении функций Е = п0 Ех (г, ї) + п° Еу (г, ї) и

И = п0 Их (г, ї) + п0 Иу (г, ї) необходимо использовать правую систему ортогональных декартовых

координат, в которой и записаны уравнения Максвелла (3). Выбор правой системы координат удобно производить по правилу «правой руки»: большой палец – по х, указательный – по у, средний – по г.

наблюдаться вращения с угловой скоростью ш = -n0spo . Подобное вращение векторов E

и H в плоскости z=const можно «организовать» и на плоской, плоскополяризованной волне, если вращать линейно-поляризованный источник излучения относительно оси z со скоростью ш.

Таким образом, традиционный термин «плоская, поляризованная по кругу волна», введённый «по способу наблюдения», а не на основе учёта внутренней симметрии волнового объекта, может приводить не только к неоднозначностям в логическом описании, но и к затруднениям в идентификации результатов соответствующих наблюдений.

Важным, непосредственно устанавливаемым из (1) и (2) свойством

напряжённостей E(z, t) и H (z, t) винтовых волн является их подчинение условиям:

rot E + skE = 0, rot H + skH = 0, (9)

т.е. E и H являются собственными функциями оператора rot, с собственными значениями (-sk).

Очевидно, «обычные» уравнения второго порядка Гельмгольца

V 2E + k 2E = 0, V 2H + k2 H = 0, (k2 =ш2в|д), (10)

можно получить из (9), повторно действуя на них оператором rot, с использованием тождества rotrot = graddiv-V2 при divE = 0, divH = 0. Сравнение (9) с уравнениями Максвелла (3) приводит к важным соотношениям между электрическими и магнитными векторами винтовых волн:

где Ё = -у/s/ 2 E, H = -у/д/2H.

2. Плотности энергии, потока энергии и импульса поля бегущей винтовой волны

Для определения плотностей электрической, магнитной и полной

электромагнитной энергий поля (1), (2) будем использовать классические рекомендации :

WE (f, t ) = 2 E 2 (r , t ^ WH (r , t ) = 2 H 2 ^ t), w(r, t ) = WE (r, t) + WH (7, t). (12)

Подстановка (1) и (2) в (12) приводит к равенству wE=wH:

2 EX +-| К = 2 E02 sin2 ф(z, t)+2 E02 cos” ф(z, t) = WE (z, t)+WE (z, t) = 2-

Wh = д H2 +f H = 2 E2cos2 Ф^, ,)+| E0 sin2 ф(г, t ) = WE (z, t)+WE (z, t ) = 2 E2. (14)

В [2, 3] приведены следующие формулы

^ dovt ’ 5ov’t yy v – индекс, нумерующий выбор

волны. Эти формулы отвечают современным кинематическим требованиям описания консервативных динамических систем. Заметим, что для векторов ‘Еу = ‘Еу’ = ‘Е = у/е/2 • Е, Н4 = Н= ‘Н = 4^/2 • Н винтовой волны использование этих формул приводит к результату (13), (14).

Для определения скорости движения энергетических плотностей рассмотрим линии уровня функции чЕ (г, I), определяемые условием

Выбор численного значения постоянной а параметризует конкретную линию уровня.

Очевидно, что через любую точку (г,1) проходит соответствующая ей линия уровня с соответствующим значением а.

Полный дифференциал от (15) равен нулю:

ч (, ) = ¿ф(2>,) = & + дф(£>£) Л | = 0.

ЕУ ; ¿Ф(г, I) ¿Ф(г, I )1 дг Ы

Отсюда для скорости движения фазовых фронтов имеем

где 1Д/ё0;0 = с – скорость света в вакууме, п =

80;0 – показатель преломления.

Как видно, скорость Уфаз оказалась постоянной и не зависящей от численного выбора

Интегрируя Уфаз=ёг!&, получаем уравнение для линий уровня в виде

г = VI + Ь = р—t + Ь. к

Постоянная интегрирования Ь, параметризующая линии уровня, связана с а соотношением

а = чхЕ (г, 0 = — Е28т21 рк ■ р—t + кЬ-шt + 0О | = — Е02 Бт2 (кЬ + 0О). (19)

Конкретный числовой выбор Ь соответствует одной определённой линии уровня -прямой на плоскости чхЕ(г, t) = а, координатного пространства (, t, чхЕ) (см. рис. 1). Из рисунка видно, что при изменении параметра движения t происходит перемещение функции чЕ (г, t) вдоль оси г (или против г – при (р= -1)) с постоянной скоростью

Аналогично устанавливаем, что wE = (s/2)E02 cos2 Ф(z, t) движется по z с такой же скоростью V. К такому же результату приводит и рассмотрение слагаемых wH (z, t) и wH (z, t) плотности магнитной энергии wH (z, t). Это означает, что постоянные плотности wE и wH в (13) и (14) движутся с фазовой скоростью V = n0p(ш/к) = ПОp(c/n). С этой же скоростью перемещается и функция полной плотности энергии электромагнитного поля винтовой волны w = wE + wH = sE2

Таким образом, в бездисперсном приближении найденная скорость V = ПОv

является скоростью движения электромагнитном энергии.

Кинематически правильное определение плотности импульса [3, 4] формулируется

где м>!с =о – массовая плотность поля.

Соответствующее (20) определение плотности потока энергии записывается

Для поля бегущей винтовой волны из (20) и (21) находим

S = 1 П0р- IsE2. n) c V n )

Рассмотрим классический вектор Пойнтинга от полей (1)-(2):

Как видно из (22) и (23), П = £. Это означает, что для рассматриваемого конкретного поля, описываемого (1) и (2), использование вектора Пойнтинга приводит к кинематически правильной зависимости между плотностью энергии и плотностью её потока.

3. Стоячая винтовая волна

Рассмотрим теперь простейший пакет Е = Е1 + Е11 и И = И1 + И11, составленный из двух бегущих винтовых волн I и II, напряжённости полей которых описываются соотношениями:

5.9. Определение стоячих электромагнитных волн

В линиях без потерь при холостом ходе, коротком замыкании, а также при чисто реактивных нагрузках возникают стоячие электромагнитные волны.

Стоячая электромагнитная волна представляет собой электромаг­нитную волну, полученную в результате наложения движущихся навстречу падающей и отраженной электромагнитных волн одинаковой интенсивности.

Стоячая электромагнитная волна образована стоячими волнами напряжения и тока. Математически такие волны описываются произ­ведением двух периодических (в нашем случае – тригонометрических) функций. Одна из них – функция координаты текущей точки на линии (в нашем случае bу), другая – функция времени (wt). Стоячие волны напряжения и тока всегда сдвинуты по отношению друг к другу в пространстве и во времени.

Сдвиг во времени между стоячими волнами напряжения и тока равен 90°, сдвиг в пространстве-четверти длины волны. Точки линии, где периодическая функция координаты проходит через нуль, называют узлами, а точки линии, в которых периодическая функция координаты прини­мает максимальные значения, – пучностями.

При возникновении стоя­чих волн электромагнитная энергия от начала к концу линии не передается. Однако на каждом отрезке линии, равном четверти длины вол­ны, запасена некоторая элек­тромагнитная энергия. Эта энергия периодически переходит из одного вида (энергии электрического поля) в другой (энергию магнитного поля).

В моменты времени, когда ток вдоль всей линии оказы­вается равным нулю, а напря­жение достигает максималь­ного значения, вся энергия переходит в энергию электри­ческого поля.

В моменты времени, когда напряжение вдоль всей линии равно нулю, а ток достигает максимального значения, вся энергия переходит в энергию магнитного поля.

Стоячие волны в линии без потерь при холостом ходе линии

Из формул (5.42) и (5.43) следует, что при холостом ходе

(5.46)

.

Для перехода к функциям времени умножим правые части формул (5.46) и (5.47) на и от полученных произведений возьмем мнимые части:

(5.48)

(5.49)

Угол 90° в аргументе у синуса в формуле (5.49) соответствует множителю j в формуле (5.47). В точках by = kp, где k = 0, 1, 2, …, будут узлы тока и пучности напряжения.

График стоячих волн напряжения и тока для трех смежных моментов времени

wt₁ = 0, wt₂ = p/2 и wt₃ = 3p/2 показан на (рис. 5.8).

Сплошными линиями обозначена волна при wt₁ = 0, тонкими – при wt₂ = p/2, штриховыми – при wt₃ = p для напряжения и при wt₃ = p для тока.

Стоячие волны в линии без потерь при коротком замы­кании на конце линии

Из формул (5.42) и (5.43) следует, что при коротком замыкании на конце линии

;

.

Для перехода к мгновенным значениям напряжения и тока умножим правые части формул (5.50) и (5.51) на и от произведений возьмем мни­мые части:

; (5.52)

.

В правой части формулы для напряжения (5.52) есть множитель sin by sin (wt + 90°), как и в формуле (5.49) для тока i.

Следовательно, картина стоячей волны напряжения при коротком замыкании на конце линии качественно повторяет картину стоячей волны тока при холостом ходе линии.

Аналогично, картина стоячей волны тока в короткозамкнутой линии качественно повторяет картину стоячей волны напряжения при холостом ходе линии.

Стоячая волна: так ли все просто

Любая волна представляет собой колебание. Колебаться может жидкость, электромагнитное поле или любая другая среда. В повседневной жизни каждый человек ежедневно сталкивается с тем или иным проявлением колебаний. Но что такое стоячая волна?

Представьте себе вместительную емкость, в которую налита вода – это может быть тазик, ведро или ванна. Если теперь по жидкости похлопать ладонью, то от центра соударения во все стороны побегут волнообразные гребни. Кстати, они так и называются – бегущие волны. Их характерный признак – перенос энергии. Однако, изменяя частоту хлопков, можно добиться практически полного видимого их исчезновения. Возникает впечатление, что масса воды становится желеобразной, а движение происходит только вниз и вверх. Стоячая волна – это и есть данное смещение. Данное явление возникает потому, что каждая ушедшая от центра удара волна достигает стенок емкости и отражается обратно, где пересекается (интерферирует) с основными волнами, идущими в противоположном направлении. Стоячая волна появляется лишь в том случае, если отраженные и прямые совпадают по фазе, но различны по амплитуде. В противном случае вышеуказанной интерференции не происходит, так как одно из свойств волновых возмущений с разными характеристиками – это способность сосуществовать в одном и том же объеме пространства, не искажая друг друга. Можно утверждать, что стоячая волна является суммой двух встречно направленных бегущих, что приводит к падению их скоростей до нуля.

Почему же в приведенном примере вода продолжает колебаться в вертикальном направлении? Очень просто! При наложении волн с одинаковыми параметрами в определенные моменты времени колебания достигают своего максимального значения, называемые пучностями, а в другие полностью гасятся (узлы). Изменяя частоту хлопков, можно как полностью погасить горизонтальные волны, так и усилить вертикальные смещения.

Стоячие волны представляют интерес не только для практиков, но и для теоретиков. В частности, одна из моделей строения Вселенной гласит, что любая материальная частица характеризуется какой-то определенной частотой колебаний (вибрацией): электрон колеблется (дрожит), нейтрино колеблется и т.д. Далее, в рамках гипотезы, предположили, что упомянутая вибрация – следствие интерференции каких-то, пока еще не открытых возмущений среды. Другими словами, авторы утверждают, что там, где те удивительные волны формируют стоячую, возникает материя.

Не менее интересно явление Резонанса Шумана. Оно заключается в том, что при некоторых условиях (ни одна из предложенных гипотез пока не принята за единственно верную) в пространстве между земной поверхностью и нижней границей ионосферы возникают стоячие электромагнитные волны, частоты которых лежат в низком и сверхнизком диапазонах (от 7 до 32 герц). Если образовавшаяся в промежутке «поверхность – ионосфера» волна обогнет планету и попадет в резонанс (совпадение фаз), то сможет существовать продолжительное время без затухания, самоподдерживаясь. Резонанс Шумана представляет особый интерес потому, что частота волн практически совпадает с естественными альфа-ритмами человеческого мозга. К примеру, исследованиями данного явления в России занимаются не только физики, но и такая крупная организация, как «Институт мозга человека».

На стоячие электромагнитные волны обратил внимание еще гениальный изобретатель Никола Тесла. Считается, что он мог использовать это явлене интерференции волн в некоторых своих устройствах. Одним из источников их появления в атмосфере принято считать грозы. Электрические разряды возбуждают электромагнитное поле и генерируют волны.

Источники:

http://cyberleninka.ru/article/n/14870875

5.9. Определение стоячих электромагнитных волн

http://fb.ru/article/49101/stoyachaya-volna-tak-li-vse-prosto