Разложение функции в ряд. Ряд маклорена и разложение некоторых функций

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций

1. y = e x .

Имеем f(x) = f'(x) = f»(x) =…= f (n) (x) = e x ;

e x = 1 + х + .

Область сходимости ряда (-∞; ∞).

2. y = sin x.

Очевидно, что производные чётного порядка f (2n) (0) = 0, а нечётного порядка f (2n-1) (0) = (-1) n -1 , i = 1, 2… . По формуле

sin x = x.

Область сходимости ряда (-∞; ∞).

3. y = cos x.

Рассматривая аналогично, получим

сos x = 1 — .

Область сходимости ряда (-∞; ∞).

4. y = (1+x) m , где m — любое действительное число.

(1+x) m = 1 + mx + .

Интервала сходимости ряда (-1; 1).

Ряд называется биномиальным. Если m — целое положительное число, то биномиальный ряд представляет формулу бинома Ньютона, так как при n = m+1 m-n+1 = 0, n-й член ряда и все последующие равны нулю, т.е. ряд обрывается, и вместо бесконечного разложения получается конечная сумма.

Рассмотрим геометрический ряд

= 1 — x + x 2x 3 +…+(-1) n x n +…

со знаменателем q = —х, который сходится при | q | = | —x |

109.201.137.33 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Разложение элементарных функций в ряд Маклорена;

Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, т.е. функцию представлять в виде суммы степенного ряда.

Рядом Тейлора для функции называется степенной ряд вида

.

Если , то получим частный случай ряда Тейлора

Читать еще:  Rocket League - Решение проблем.

,

который называется рядом Маклорена.

Степенной ряд внутри его промежутка сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать сколько угодно раз, причем полученные ряды имеют тот же промежуток сходимости, что и исходный ряд.

Два степенных ряда можно почленно складывать и умножать по правилам сложения и умножения многочленов. При этом промежуток сходимости полученного нового ряда совпадает с общей частью промежутков сходимости исходных рядов.

Для разложения функции в ряд Маклорена необходимо:

Вычислить значения функции и ее последовательных производных в точке , т.е. , , ,…, ;

Составить ряд Маклорена, подставив значения функции и ее последовательных производных в формулу ряда Маклорена;

Найти промежуток сходимости полученного ряда по формуле

, .

Таблица, содержащая разложения в ряд Маклорена некоторых элементных функций:

.

.

.

.

.

.

Пример 9. Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение. Так как , то, заменяя на в разложении , получим:

, .

Пример 10. Выписать ряд Маклорена функции .

Решение. Так как , то воспользовавшись формулой , в которой заменим на , получим:

,

,

, т.е. .

Пример 11. Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение. Воспользуемся формулой . Так как

, то заменив на получим:

, или

,

где , т.е. .

Задание для практической работы по теме «Выделение знакоположительного, знакочередующегося и степенного ряда. Разложение элементарных функций по формуле Тейлора»

1. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд.

2. Найти промежутки сходимости нижеследующих рядов и выяснить вопрос об их сходимости на концах промежутков сходимости.

3. Используя разложения в ряд Маклорена функции , , , , разложить степенные ряды функции.

Раздел 3. оСНОВЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ.

Практическое занятие №14

Тема 3.1:«Выполнение операций над множествами».

Цель: Выполнять операций над множествами.

Теоретический материал:

Множество – совокупность некоторых объектов. Примерами множеств являются множества чисел, множества точек прямой, множество линий и др. Каждое отдельное множество задается правилом или законом, позволяющим судить, принадлежит объект данному множеству или нет.

Читать еще:  Наказание крепостных крестьян. Барские забавы

Множества обозначаются прописными буквами латинского или готического алфавита: A, B, . M, K. . Если множество A состоит из элементов a,b,c. это обозначается с помощью фигурных скобок: A= . Если a есть элемент множества A , то это записывают следующим образом: a Î A. Если же a не является элементом множества A , то пишут a Ï A. Одним из важных множеств является множество N всех натуральных чисел N= <1,2,3. >. Существует также специальное, так называемое пустое множество, которое не содержит ни одного элемента. Пустое множество обозначается символом Æ.

Условимся вводить определение, когда это будет удобно, посредством следующего символа : = (равенства по определению), двоеточие ставится со стороны определяемого объекта.

Множества А и B равны, если они состоят из одних и тех же элементов, то есть, если из x Î A следует x Î B и обратно, из x Î B следует x Î A. Формально равенство двух множеств записывается следующим образом:

это означает, что для любого объекта x соотношения xÎ A и xÎ B равносильны. Здесь » – квантор всеобщности (» x читается как «для каждого x«).

Множество А является подмножествоммножества В, если любое х принадлежащее множеству А, принадлежит множеству В.

Если AÌ B, но A¹ B, то A – собственное подмножество множества В.

Пример 1. Множество <2,4,6. 2n. >является собственным подмножеством множества натуральных чисел. Пустое множество является подмножеством любого множества.

Операции над множествами.Для наглядного представления операций над множествами применяются диаграммы.

1. Объединение.C=A È B: = <x: x Î A или x Î B>

2. Пересечение. C=A Ç B:= <x: x Î A и x Î B >

3. Вычитание. A B: = <x:x Î A и x Ï B>

4. Дополнение (до U) множества A называется .
Пусть U — универсальное множество ( все остальные множества принадлежат U)

: = <x:x Î U и x Ï A> = U A

Ряд Тейлора. Ряды Маклорена.

Ряд Тейлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Читать еще:  Fallout new vegas коды на 308. Коды Fallout New Vegas

Ряд Тейлора применяют для апроксимации функции многочленами. То есть, линеаризация уравнений проходит путем разложения в ряд Тейлора и отсечения каждого члена старше 1-го порядка.

Определение ряда Тейлора.

Функция f(x) бесконечно дифференцируется в некоторой окрестности т.a:

Этот ряд называется рядом Тейлора функции f в т.a.

Т.е., рядом Тейлора функции f(x) в окрестности точки a является степенной ряд относительно двучлена x — a типа:

Свойства ряда Тейлора.

Если f есть аналитическая функция во всякой точке a, то ряд Тейлора этой функции во всякой точке a области определения f сходится к f в некоторой окрестности a.

Есть бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, однако, при этом отличается от функции во всякой окрестности a. Вариант, предложенный Коши:

У этой функции каждые производные в 0 равны нулю, поэтому коэффициенты ряда Тейлора в точке a=0 равны 0.

Если у функция f(x) есть непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то эту функцию можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:

где Rn − остаточный член в форме Лагранжа определяют так:

Если это разложение сходится в некотором интервале x, т.е. , значит, оно является рядом Тейлора, который представляет разложение функции f (x) в т.a.

Если a = 0, значит, это разложение является рядом Маклорена:

Ряды Маклорена некоторых функций.

1. Экспонента: ,

2. Натуральный логарифм:

3. Биномиальное разложение: для всех |x|

Источники:

http://studopedia.ru/3_15763_razlozhenie-v-ryad-maklorena-nekotorih-funktsiy.html

http://studopedia.su/14_76150_razlozhenie-elementarnih-funktsiy-v-ryad-maklorena.html

http://www.calc.ru/Ryad-Teylora-Ryady-Maklorena.html

Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector