Квадратичная функция вершина параболы. Квадратичная функция и ее график

Квадратичная функция. Парабола

Прежде чем перейти к разбору квадратичной функции рекомендуем вспомнить, что называют функцией в математике.

Если вы прочно закрепите общие знания о функции (способы задания, понятие графика) дальнейшее изучение других видов функций будет даваться значительно легче.

Что называют квадратичной функцией

Квадратичная функция — это функция вида

Другими словами можно сказать, что если в функции старшая (то есть самая большая) степень, в которой стоит « x » — это « 2 », то перед нами квадратичная функция.

Рассмотрим примеры квадратичных функций и определим, чему в них равны коэффициенты « a », « b » и « с ».

  • a = 2
  • b = −7
  • с = 9
  • a = 3
  • b = 0
  • с = −1
  • a = −3
  • b = 2
  • с = 0

Как построить график квадратичной функции

График квадратичной функции называют параболой.

Парабола выглядит следующим образом.

Также парабола может быть перевернутой.

Существует четкий алгоритм действий при построении графика квадратичной функции. Рекомендуем при построении параболы всегда следовать этому порядку действий, тогда вы сможете избежать ошибок при построении.

Чтобы было проще понять этот алгоритм, сразу разберем его на примере.

Построим график квадратичной функции « y = x 2 −7x + 10 ».

    Направление ветвей параболы

Если « a > 0 », то ветви направлены вверх.

Если « a 2 −7x + 10 ».

Теперь нам нужно найти « y » (координату вершины по оси « Oy »). Для этого нужно подставить найденное значение « x » в исходную функцию. Вспомнить, как найти значение функции можно в уроке «Как решать задачи на функцию» в подразделе «Как получить значение функции».

Выпишем полученные координаты вершины параболы.

(·) A (3,5; −2,25) — вершина параболы.

Отметим вершину параболы на системе координат. Проведем через отмеченную точку ось симметрии, так как парабола — это симметричный график относительно оси « Oy ».

Для начала давайте разберемся, что называют нулями функции.

Нули функции — это точки пересечения графика функции с осью « Ox » (осью абсцисс).

Наглядно нули функции на графике выглядят так:

Свое название нули функции получили из-за того, что у этих точек координата по оси « Oy » равна нулю.

Теперь давайте разберемся, как до построения графика функции рассчитать координаты точек нулей функции.

Чтобы найти координаты точек нулей функции, нужно в исходную функцию подставить вместо « y = 0 ».

Подставим в заданную функцию « y = x 2 −7x + 10 » вместо « y = 0 » и решим полученное квадратное уравнение относительно « x » .

Квадратичная функция.

Квадратным трёхчленом называется многочлен 2-ой степени, то есть выражение вида ax 2 + bx + c, где a ≠ 0, b, c — (обычно заданные) действительные числа, называемые его коэффициентами, x — переменная величина.

Обратите внимание: коэффициент a может быть любым действительным числом, кроме нуля. Действительно, если a = 0, то ax 2 + bx + c = 0·x 2 + bx + c = 0 + bx + c = bx + c. В этом случае в выражении не остаётся квадрата, поэтому его нельзя считать квадратным трёхчленом. Однако, такие выражения-двучлены как, например, 3x 2 − 2x или x 2 + 5 можно рассматривать как квадратные трёхчлены, если дополнить их недостающими одночленами с нулевыми коэффициентами: 3x 2 − 2x = 3x 2 − 2x + 0 и x 2 + 5 = x 2 + 0x + 5.

Читать еще:  12 10 г конец света отменяется. Возможные сценарии армагеддона

Если стоит задача, определить значения переменной х, при которых квадратный трёхчлен принимает нулевые значения, т.е. ax 2 + bx + c = 0, то имеем квадратное уравнение.

Если существуют действительные корни x1 и x2 некоторого квадратного уравнения, то соответствующий трёхчлен можно разложить на линейные множители: ax 2 + bx + c = a(xx1)(xx2)

Замечание: Если квадратный трёхчлен рассматривать на множестве комплексных чисел С, которое, возможно, вы еще не изучали, то на линейные множители его можно разложить всегда.

Когда стоит другая задача, определить все значения, которые может принимать результат вычисления квадратного трёхчлена при различных значениях переменной х, т.е. определить y из выражения y = ax 2 + bx + c, то имеем дело с квадратичной функцией.

При этом корни квадратного уравнения являются нулями квадратичной функции.

Квадратный трёхчлен также можно представить в виде

Это представление удобно использовать при построении графика и изучении свойств квадратичной функции действительного переменного.

Квадратичной функцией называется функция, заданная формулой y = f(x), где f(x) — квадратный трёхчлен. Т.е. формулой вида

где a ≠ 0, b, c — любые действительные числа. Или преобразованной формулой вида

.

Графиком квадратичной функции является парабола, вершина которой находится в точке .

Обратите внимание: Здесь не написано, что график квадратичной функции назвали параболой. Здесь написано, что графиком функции является парабола. Это потому, что такую кривую математики открыли и назвали параболой раньше (от греч. παραβολή — сравнение, сопоставление, подобие), до этапа подробного изучения свойств и графика квадратичной функции.

Парабола — линия пересечения прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через вершину конуса и параллельной одной из образующих этого конуса.

Парабола обладает еще одним интересным свойством, которое также используется как её определение.

Парабола представляет собой множество точек плоскости, расстояние от которых до определенной точки плоскости, называемой фокусом параболы, равно расстоянию до определенной прямой, называемой директрисой параболы.

Построить эскиз графика квадратичной функции можно по характерным точкам.
Например, для функции y = x 2 берем точки

Соединяя их от руки, строим правую половинку параболы. Левую получаем симметричным отраженим относительно оси ординат.

Для построения эскиза графика квадратичной функции общего вида в качестве характерных точек удобно брать координаты её вершины, нули функции (корни уравнения), если они есть, точку пересечения с осью ординат (при x = 0, y = c) и симметричную ей относительно оси параболы точку (−b/a; c).

Но в любом случае по точкам можно построить только эскиз графика квадратичной функции, т.е. приблизительный график. Чтобы построить параболу точно, нужно использовать её свойства: фокус и директрису.
Вооружесь бумагой, линейкой, угольником, двумя кнопками и крепкой нитью. Прикрепите одну кнопку примерно в центре листа бумаги — в точке, которая будет фокусом параболы. Вторую кнопку прикрепите к вершине меньшего угла угольника. На основаниях кнопок закрепите нить так, чтобы её длина между кнопками равнялась большому катету угольника. Начертите прямую линию, непроходящую через фокус будущей параболы, — директрису параболы. Приложите линейку к директрисе, а угольник к линейке так, как показано на рисунке. Перемещайте угольник вдоль линейки, одновременно прижимая карандаш к бумаге и к угольнику. Следите за тем, чтобы нить была натянута.

Измерьте расстояние между фокусом и директрисой (напоминаю — расстояние между точкой и прямой определяется по перпендикуляру). Это фокальный параметр параболы p. В системе координат, представленной на правом рисунке, уравнение нашей параболы имеет вид: y = x 2 /2p. В масштабе моего рисунка получился график функции y = 0,15x 2 .

Замечание: чтобы построить заданную параболу в заданном масштабе, делать нужно всё то же самое, но в другом порядке. Начинать нужно с осей координат. Затем начертить директрису и определить положение фокуса параболы. И только потом конструировать инструмент из угольника и линейки. Например, чтобы на клетчатой бумаге построить параболу, уравнение которой у = x 2 , нужно расположить фокус на расстоянии 0,5 клеточки от директрисы.

Читать еще:  Как обжарить куриную грудку на сковороде. Жареная куриная грудка

Свойства функции у = x 2

  1. Область определения функции — вся числовая прямая: D(f) = R = (−∞; ∞).
  2. Область значений функции — положительная полупрямая: E(f) = [0; ∞).
  3. Функция у = x 2 четная: f(−x) = (−x) 2 = x 2 = f(x) .
    Ось ординат является осью симметрии параболы.
  4. На промежутке (−∞; 0) функция монотонно убывает.
    На промежутке (0; + ∞) функция монотонно возрастает.
  5. В точке x = 0 достигает минимального значения.
    Точка с координатами (0;0) является вершиной параболы.
  6. Функция непрерывна на всей области определения.
  7. Асимптот не имеет.
  8. Нули функции: y = 0 при x = 0.

Свойства квадратичной функции общего вида.

  1. Область определения функции — вся числовая прямая: D(f) = R = (−∞; ∞).
  2. Область значений функции зависит от знака коэффициента a.
    При a > 0 ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее (ymin), но не имеет наибольшего значения: E(f) = [ ymin; ∞) ;
    при a 2 + bx + c не является ни четной, ни нечетной.
    Осью симметрии параболы является прямая x = −b/2a .
    Функция будет четной только в случае, когда эта прямая совпадает с осью Oy, т.е. при b = 0.
  3. При a > 0 функция монотонно убывает на промежутке (−∞; −b/2a) и монотонно возрастает на промежутке (−b/2a; ∞).
    При a 0 — минимум функции.

Оба значения определяются по формуле y = − b 2 − 4ac _______ . 4a

Точка с координатами является вершиной параболы.

  • Функция непрерывна на всей области определения.
  • Асимптот не имеет.
  • Парабола пересекает ось ординат в точке (0;c).
    Если квадратный трёхчлен имеет дейтсивтельные корни x1x2, то парабола пересекает ось абсцисс в точках (x1;0) и (x2;0).
    При x1 = x2 парабола касается оси абсциcс в точке (x1;0).
  • Производная квадратичной функции вычисляется по формуле (ax 2 + bx + c)’ = 2ax + b.

    График квадратичной функции, заданной общей формулой, лучше всего строить и изучать пользуясь Правилами преобразования графиков функций.
    Для этого нужно сначала перейти от формулы y = ax 2 + bx + c к виду, удобному для преобразований, y = m(kx + l) 2 + n, где k, l, m, n — числа, зависящие от a, b, c, т.е. к виду
    .
    Затем взять за основу параболу y = x 2 и применить к ней следующие преобразования:

    • Параллельный перенос (сдвиг) исходной параболы на l = b/2a единиц влево (если l 2 − 4ac)/4a единиц вверх или вниз в зависимости от знака n (при n >0 вверх).

    Формулы для такого перехода можно выучить наизусть, а можно научиться выделять полный квадрат из трёхчлена с заданными коэффициентами. Это умение весьма полезно также для решения некоторых уравнений и неравенств, для вычисления интегралов и т.д.

    Рассмотрим пример:
    Пусть y = 3x 2 − 5x + 2
    1) Объединяем в скобки первые два слагаемых и выносим за скобки коэффициент при х 2 .
    2) В скобках умножим и одновременно разделим на 2 коэффициент при x.
    3) Сравним с формулой возведения двучлена в квадрат: имеем внутри скобок квадрат числа x, удвоенное произведение x на дробь 5/6. Чтобы применить эту формулу не хватает второго квадрата, поэтому добавим недостающее слагаемое 5 2 /6 2 и одновременно вычтем его, чтобы сохранилось исходное значение выражения.
    4) Сворачиваем квадрат по формуле и раскрываем большую скобку.
    5) Оставшиеся числовые дроби приводим к общему знаменателю и складываем.

    Итак, чтобы построить график функции y = 3x 2 − 5x + 2 из графика y = x 2 нужно последний сдвинуть по оси Ox вправо на 5/6 ≈ 0,83 единицы. Затем растянуть вдоль оси Oy в 3 раза и, наконец, опустить по оси Oy на 1/12 ≈ 0,08 единицы.
    Посмотрите, что получилось.

    Если Вы являетесь моим учеником или подписчиком, то можете поработать с интерактивными версиями этих графиков.

    Упражнение:
    Постройте по характерным точкам эскиз графика функции y = x 2 .
    Методом преобразования получите эскиз графика функции y = −x 2 + 4x + 6 .
    Посмотрите в каких точках график этой функции пересекает ось Ox и сравните их координаты (абсциссы) с корнями уравнения −x 2 + 4x + 6 = 0 , вычисленными через дискриминант. Насколько точным оказалось ваше графическое решение уравнения?

    Преобразуем выражение с выделением полного квадрата:

    Строим график функции
    .

    Для этого применяем следующие шаги: сдвиг на 2 клетки вправо, разворот ветвей вниз (вершина — точка, относительно которой поворачиваем), поднимаем вершину и, соответственно, всю параболу вверх на 10 клеточек. Вот что должно получиться
    .

    Визуально определяем корни. Парабола пересекает ось Ox примерно на одну пятую часть клетки левее минус единицы и настолько же правее пятерки, т.е. x1 ≈ −1,2 , x2 ≈ 5,2 .

    Решение по формулам нахождения корней квадратного уравнения дает ответы x1 = 2 − √10 __ , x2 = 2 + √10 __ .
    С помощью калькулятора вычисляем x1 = −1,162277660. , x2 = 5,162277660.

    Парабола — очень интересная кривая, квадратичная функция часто встречается при описании различных природных явлений, экономических процессов.

    Видеоуроки с параболой.

    Графики квадратичной функции и коэффициенты квадратного трёхчлена.

    Положение и вид параболы в зависимости от знака и значения коэффициента а — коэффициента при х 2 .

    Положение и вид параболы в зависимости от знака и значения коэффициента b — коэффициента при х.

    Положение и вид параболы в зависимости от знака и значения параметра c.

    Задачи на анализ графика квадратичной функции.

    Задания вида «Установить соответствие между коэффициентами квадратного трёхчлена и приведенными графиками квадратичной функции» встречаются в ОГЭ по математике в 9-ом классе, а также необходимы сдающим ЕГЭ за 11 класс в качестве промежуточного действия.

    Есть вопросы? пожелания? замечания? Обращайтесь — mathematichka@yandex.ru

    Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено.

    Квадратичная функция. Как построить параболу?

    Квадратичная функция – это функция вида (y=ax^2+bx+c). График квадратичной функции – парабола.

    «Анатомия» квадратичной функции:

    (x_в) и (y_в) – координаты вершины параболы. (x_в) можно найти с помощью формулы: (x_в=frac<-b><2a>). (y_в) можно найти подставив в формулу квадратичной функции вместо (x) значение (x_в: y_в=ax_в^2+bx_в+с)
    Ось симметрии проходит через вершину параболы и параллельна оси (y) (ординат). (x_1) и (x_2) – нули функции. Их можно найти, приравняв формулу функции к нулю и решив соответствующее квадратное уравнение .

    3 параметра позволяющих сопоставить формулу квадратичной функции и график:

    (a>0) — ветви параболы направлены вверх

    (a 0,c=1) – по этим параметрам нам определить их функции. Тогда найдем (x_в) функций под буквой А и Б:

    А. (y=x^2-5x+1) (x_в=frac<5><2>=2,5) так же как на графике 1
    Б. (y=x^2+5x+1) (x_в= frac<-5><2>=-2,5) так же как на графике 3

    Как построить график квадратичной функции (параболу)?

    Квадратичную функцию можно строить, как и все остальные, выбирая точки наугад (подробнее можно прочитать здесь ). Но есть способ позволяющий строить параболу быстрее, выбирая точки осмысленно.

      Найдите координаты вершины параболы. Поставьте точку вершины на координатной плоскости и проведите через неё ось симметрии параболы.

    Найдите точку пересечения графика с осью (y): (x=0;y=c). Постройте точку симметричную точке ((0;c)) относительно оси параболы.

  • Найдите координату целой точки, лежащей вблизи оси параболы. Отметьте симметричную ей точку на плоскости.
  • Соедините точки плавной линией.

    Источники:

    http://math-prosto.ru/?page=pages/quadratic_function/quadratic_function_how_to_draw_parabola.php

    http://mathematichka.ru/school/functions/quadratic.html

    http://cos-cos.ru/math/71/

  • Ссылка на основную публикацию
    Статьи на тему:

    Adblock
    detector