Числовая окружность на координатной плоскости. Числовая окружность

Урок «Числовая окружность на координатной плоскости»

Краткое описание документа:

Числовой окружности в 10 классе уделяется достаточно много времени. Это связано со значимостью этого математического объекта для всего курса математики.

Огромное значение для хорошего усвоения материала имеет правильная подборка средств обучения. К наиболее эффективным таким средствам относятся видеоуроки. В последнее время они достигают пика популярности. Поэтому автор не стал отставать от современности и разработал в помощь учителям математики столь замечательное пособие – видеоурок по теме «Числовая окружность на координатной плоскости».

Данный урок по длительности занимает 15:22 минут. Это практически максимальное время, которое может затратить учитель на самостоятельное объяснение материала по теме. Так как на объяснение нового материала уходит столько много времени, то на закрепление необходимо подобрать самые эффективные задания и упражнения, а также выделить еще один урок, где обучающиеся будут решать задания по данной теме.

Урок начинается с изображения числовой окружности в системе координат. Автор строит эту окружность и поясняет свои действия. Затем автор называет точки пересечения числовой окружности с осями координат. Далее поясняется, какие координаты будут иметь точки окружности в разных четвертях.

После этого автор напоминает, как выглядит уравнение окружности. И вниманию слушателей представляется два макета с изображением некоторых точек на окружности. Благодаря этому, на следующем шаге автор показывает, как находятся координаты точек окружности, соответствующие определенным числам, отмеченным на шаблонах. Так получается таблица значений переменных xи y в уравнении окружности.

Далее предлагается рассмотреть пример, где необходимо определить координаты точек окружности. Перед тем, как начинать решать пример, вводится некоторое замечание, которое помогает при решении. А затем на экране появляется полное, четко структурированное и наполненное иллюстрациями решение. Здесь также присутствуют таблицы, которые облегчают понимание сущность примера.

Затем рассматриваются еще шесть примеров, которые менее трудоемкие, чем первый, но не менее важные и отражающие главную идею урока. Здесь решения представлены в полном объеме, с подробным рассказом и с элементами наглядности. А именно, в решении присутствуют рисунки, иллюстрирующие ход решения, и математическая запись, формирующая математическую грамотность обучающихся.

Учитель может ограничиться и теми примерами ,которые рассмотрены в уроке, но этого может быть недостаточно для качественного усвоения материала. Поэтому подобрать задания для закрепления просто крайне важно.

Урок может быть полезен не только учителям, время которых постоянно ограничено, но и обучающимся. Особенно тем, кто получает семейное образование или занимается самообразованием. Материалами могут пользоваться те обучающиеся, которые пропустили урок по данной теме.

Тема нашего урока «ЧИСЛОВАЯ ОКРУЖНОСТЬ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ»

Мы уже знакомы с декартовой прямоугольной системой координат xOy ( икс о игрек). В этой системе координат расположим числовую окружность так, чтобы центр окружности был совмещен с началом координат, а ее радиус примем за масштабный отрезок.

Начальная точка А числовой окружности совмещена с точкой с координатами (1;0) , В – с точкой (0;1), С – с ( -1;0)( минус один, нуль), а D – с (0; -1)( нуль, минус один).

Так как каждая точка числовой окружности имеет в системе xOy (икс о игрек) свои координаты, то для точек первой четверти икх больше нуля и игрек больше нуля;

Во-второй четверти икх меньше нуля и игрек больше нуля,

для точек третьей четверти икх меньше нуля и игрек меньше нуля,

а для четвертой четверти икх больше нуля и игрек меньше нуля

Для любой точки E (x;y)(с координатами икс, игрек) числовой окружности выполняются неравенства -1≤ х≤ 1, -1≤у≤1 ( икс больше либо равно минус один, но меньше либо равно один ; игрек больше либо равно минус один, но меньше либо равно один).

Читать еще:  Наузы на богатство и привлечение денег. Узелковая магия

Вспомним, что уравнение окружности радиусом R c центром в начале координат имеет вид х 2 + у 2 =R 2 ( икс квадрат плюс игрек квадрат равно эр квадрат). А для единичной окружности R =1, поэтому получаем х 2 + у 2 = 1

( икс квадрат плюс игрек квадрат равно один).

Найдем координаты точек числовой окружности, которые представлены на двух макетах (см. рис 2, 3)

Пусть точка E, которая соответствует

( пи на четыре) — середина первой четверти изображенная на рисунке. Из точки E опустим перпендикуляр EK на прямую ОА и рассмотрим треугольник ОEK. Угол АОЕ =45 0 , так как дуга АЕ составляет половину дуги АВ. Следовательно, треугольник ОЕК – равнобедренный прямоугольный, у которого ОК = ЕК. Значит, абсцисса и ордината точки Е равны, т.е. икс равно игрек. Чтобы найти координаты точки Е , решим систему уравнений: (икс равно игрек- первое уравнение системы и икс квадрат плюс игрек квадрат равно один – второе уравнение системы).Во второе уравнение системы вместо х подставим у, получим 2у 2 =1( два игрек квадрат равно единице), откуда у= = ( игрек равно один деленное на корень из двух равно корень из двух деленное на два) ( ордината положительна).Это значит, что точка Е в прямоугольной системе координат имеет координаты( , )( корень из двух деленное на два, корень из двух деленное на два).

Рассуждая аналогично, найдем координаты для точек, соответствующих другим числам первого макета и получим: соответствует точка с координатами (– , ) ( минус корень из двух деленное на два, корень из двух деленное на два); для — (– ,– ) ( минус корень из двух деленное на два, минус корень из двух деленное на два); для (семь пи на четыре) ( , )( корень из двух деленное на два, минус корень из двух деленное на два).

Пусть точка D соответствует (рис.5). Опустим перпендикуляр из DР(дэ пэ) на ОА и рассмотрим треугольник ОDР. Гипотенуза этого треугольника OD равна радиусу единичной окружности, то есть единице, а угол DОР равен тридцати градусам, так как дуга АD = диги АВ( а дэ равно одной трети а бэ), а дуга АВ равна девяносто градусов. Следовательно, DР = (дэ пэ равно одной второй О дэ равно одной второй) Так как катет, лежащий против угла в тридцать градусов равен половине гипотенузы, то есть у = ( игрек равно одной второй). Применяя теорему Пифагора, получим ОР 2 = ОD 2 – DР 2 ( о пэ квадрат равно о дэ квадрат минус дэ пэ квадрат), но ОР = х ( о пэ равно икс) . Значит, х 2 = ОD 2 – DР 2 =

значит, х 2 = (икс квадрат равно трем четвертым) и х = ( икс равно корень из трех на два).

Икс положительное, т.к. находится в первой четверти. Получили, что точка D в прямоугольной системе координат имеет координаты ( , ) корень из трех деленное на два, одна вторая.

Рассуждая аналогичным образом, найдем координаты для точек, соответствующих другим числам второго макета и все полученные данные запишем в таблицы:

ПРИМЕР1. Найдите координаты точек числовой окружности: а) С1( );

б) С2( ); в) С3(41π); г) С4( — 26π). (цэ один соответствующая тридцать пять пи на четыре, цэ два соответствующая минус сорока девяти пи на три, цэ три соответствующая сорок одному пи, цэ четыре соответствующая минус двадцати шести пи).

Решение. Воспользуемся утверждение, полученным ранее: если точка D числовой окружности соответствуют числу t, то она соответствует и любому числу вида t + 2πk( тэ плюс два пи ка), где ка –любое целое число, т.е. kϵZ (ка принадлежит зэт).

а) Получим = ∙ π = ( 8 + ) ∙π = + 2π ∙ 4.( тридцать пять пи на четыре равно тридцать пять на четыре, умноженное на пи равно сумме восьми и трех четвертых, умноженной на пи равно три пи на четыре плюс произведение двух пи на четыре).Это значит, что числу тридцать пять пи на четыре соответствует та же точка числовой окружности, что и числу три пи на четыре. Используя таблицу 1, получим С1( ) = С1(- 😉 .

Читать еще:  Огурцы посольские рецепт. Соленые огурцы (засолка на зиму)

б) Аналогично координаты С2: = ∙ π = — (16 + ∙π = + 2π ∙ ( — 8 ). Значит, числу

соответствует та же точка числовой окружности, что и числу . А числу соответствует на числовой окружности та же точка, что и числу

( показать второй макет и таблицу 2). Для точки имеем х = , у =.

в) 41π = 40π + π = π + 2π ∙ 20.Значит, числу 41π соответствует та же точка числовой окружности, что и числу π – это точка с координатами ( -1 ; 0).

г) — 26π = 0 + 2π ∙ ( — 13), то есть числу — 26π соответствует та же точка числовой окружности, что и числу ноль, — это точка с координатами ( 1;0).

ПРИМЕР 2. Найти на числовой окружности точки с ординатой у = и записать, каким числам t они соответствуют.

Решение. Прямая у = пересекает числовую окружность в двух точках. Одна точка соответствует числу , вторая точка соответствует числу ,

Следовательно все точки получаем прибавляя полный оборот 2πk где k показывает сколько полных оборотов делает точка , т.е. получаем ,

а любому числу все числа вида + 2πk. Часто в таких случаях говорят, что получили две серии значений : + 2πk, + 2πk.

ПРИМЕР 3. Найти на числовой окружности точки с абсциссой х = и записать, каким числам t они соответствуют.

Решение. Прямая х = пересекает числовую окружность в двух точках. Одна точка соответствует числу ( смотри второй макет),

а значит и любому числу вида + 2πk. А вторая точка соответствует числу , а значит, и любому числу вида + 2πk. Эти две серии значений можно охватить одной записью : ± + 2πk( плюс минус два пи на три плюс два пи ка).

ПРИМЕР 4. Найти на числовой окружности точки с ординатой у > и записать, каким числам t они соответствуют.

Прямая у = пересекает числовую окружность в двух точках M и P. А неравенству у > соответствуют точки открытой дуги МР, это значит дуги без концов (то есть без и ) , при движении по окружности против часовой стрелки , начиная с точки М, а заканчивая в точке Р. Значит, ядром аналитической записи дуги МР является неравенство и записать, каким числам t они соответствуют.

Прямая х = пересекает числовую окружность в двух точках М и Р. Неравенству х > соответствуют точки открытой дуги РМ при движении по окружности против часовой стрелки с началом в точке Р, которая соответствует ,и концом в точке М, которая соответствует . Значит, ядром аналитической записи дуги РМ является неравенство 27.07.2014

Декартовы координаты точек плоскости. Уравнение окружности

Числовая ось

Определение 1 . Числовой осью ( числовой прямой, координатной прямой ) Ox называют прямую линию, на которой точка O выбрана началом отсчёта (началом координат) (рис.1), направление

указано в качестве положительного направления и отмечен отрезок, длина которого принята за единицу длины.

Определение 2 . Отрезок, длина которого принята за единицу длины, называют масштабом .

Каждая точка числовой оси имеет координату , являющуюся вещественным числом. Координата точки O равна нулю. Координата произвольной точки A , лежащей на луче Ox , равна длине отрезка OA . Координата произвольной точки A числовой оси, не лежащей на луче Ox , отрицательна, а по абсолютной величине равна длине отрезка OA .

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Определение 3 . Прямоугольной декартовой системой координат Oxy на плоскости называют две взаимно перпендикулярных числовых оси Ox и Oy с одинаковыми масштабами и общим началом отсчёта в точке O , причём таких, что поворот от луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении против хода часовой стрелки (рис.2).

Замечание . Прямоугольную декартову систему координат Oxy , изображённую на рисунке 2, называют правой системой координат , в отличие от левых систем координат , в которых поворот луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении по ходу часовой стрелки. В данном справочнике мы рассматриваем только правые системы координат, не оговаривая этого особо.

Читать еще:  Кто муж плетневой. Муж анны плетневой

Если на плоскости ввести какую-нибудь систему прямоугольных декартовых координат Oxy , то каждая точка плоскости приобретёт две координатыабсциссу и ординату, которые вычисляются следующим образом. Пусть A – произвольная точка плоскости. Опустим из точки A перпендикуляры AA1 и AA2 на прямые Ox и Oy соответственно (рис.3).

Определение 4 . Абсциссой точки A называют координату точки A1 на числовой оси Ox , ординатой точки A называют координату точки A2 на числовой оси Oy .

Обозначение . Координаты (абсциссу и ординату) точки A в прямоугольной декартовой системе координат Oxy (рис.4) принято обозначать A (x ; y) или A = (x ; y).

Замечание . Точка O , называемая началом координат , имеет координаты O (0 ; 0) .

Определение 5 . В прямоугольной декартовой системе координат Oxy числовую ось Ox называют осью абсцисс , а числовую ось Oy называют осью ординат (рис. 5).

Определение 6 . Каждая прямоугольная декартова система координат делит плоскость на 4 четверти ( квадранта ), нумерация которых показана на рисунке 5.

Определение 7 . Плоскость, на которой задана прямоугольная декартова система координат, называют координатной плоскостью .

Замечание . Ось абсцисс задаётся на координатной плоскости уравнением y = 0 , ось ординат задаётся на координатной плоскости уравнением x = 0.

Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости

Утверждение 1 . Расстояние между двумя точками координатной плоскости

Презентация по алгебре на тему Числовая окружность на координатной плоскости

Устанавливая рекомендуемое программное обеспечение вы соглашаетесь
с лицензионным соглашением Яндекс.Браузера и настольного ПО Яндекса .

Эмоциональное выгорание педагогов. Профилактика и способы преодоления

Как отличить простую усталость от профессионального выгорания?

Можно ли избежать переутомления?

Международные дистанционные олимпиады «Эрудит III»

Доступно для всех учеников
1-11 классов и дошкольников

Рекордно низкий оргвзнос

по разным предметам школьной программы (отдельные задания для дошкольников)

Идёт приём заявок

Описание презентации по отдельным слайдам:

Занимательная математика Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. Урок на тему: Числовая окружность на координатной плоскости.

Числовая окружность на координатной плоскости. Что будем изучать: Определение. Важные координаты числовой окружности. Как искать координату числовой окружности? Таблица основных координат числовой окружности. Примеры задач.

Определение. Числовая окружность на координатной плоскости. Расположим числовую окружность в координатной плоскости так, чтобы центр окружности совместился с началом координат, а её радиус принимаем за единичный отрезок. Начальная точка числовой окружности A совмещена с точкой (1;0). Каждая точка числовой окружности имеет в координатной плоскости свои координаты х и у, причем: x > 0, у > 0 в первой четверти; х 0 во второй четверти; х 0, у

Устанавливая рекомендуемое программное обеспечение вы соглашаетесь
с лицензионным соглашением Яндекс.Браузера и настольного ПО Яндекса .

Добавляйте авторские материалы и получите призы от Инфоурок

Еженедельный призовой фонд 100 000 Р

  • Поцелуева Елена Владимировна
  • Написать
  • 1891
  • 20.10.2017

Номер материала: ДБ-775498

Международные дистанционные олимпиады «Эрудит III»

Доступно для всех учеников
1-11 классов и дошкольников

Рекордно низкий оргвзнос

по разным предметам школьной программы (отдельные задания для дошкольников)

Идёт приём заявок

Устанавливая рекомендуемое программное обеспечение вы соглашаетесь
с лицензионным соглашением Яндекс.Браузера и настольного ПО Яндекса .

  • 20.10.2017
  • 1370
  • 20.10.2017
  • 403
  • 19.10.2017
  • 1227
  • 19.10.2017
  • 252
  • 19.10.2017
  • 226
  • 19.10.2017
  • 236
  • 19.10.2017
  • 760
  • 18.10.2017
  • 1843

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов.

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако редакция сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Источники:

http://urokimatematiki.ru/urok-chislovaya-okruzhnost-na-koordinatnoy-ploskosti-833.html

http://www.resolventa.ru/demo/him/diagege.htm

http://infourok.ru/urok-na-temu-chislovaya-okruzhnost-na-koordinatnoy-ploskosti-2197437.html

Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector