Бесконечная геометрическая. Геометрическая прогрессия на примерах

Геометрическая прогрессия в задачах ЕГЭ по математике

Геометрическая прогрессия — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен произведению предыдущего члена и некоторого фиксированного числа q:

Фиксированное число q называется знаменателем геометрической прогрессии.

Формула n-го члена геометрической прогрессии:

Формула суммы первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению соседних:

1. На поверхности озера растут водоросли. За сутки каждая водоросль делится пополам, и вместо одной водоросли появляются две. Ещё через сутки каждая из получившихся водорослей делится пополам и так далее. Через 30 суток озеро полностью покрылось водорослями. Через какое время озеро было заполнено наполовину?

Ответ парадоксальный: через 29 суток.

Эту задачу лучше всего решать «с конца». Вот перед вами заполненное водорослями озеро. Что было сутки назад? Очевидно, водорослей было в два раза меньше, то есть озеро было покрыто ими наполовину.

Каждый день водорослей в озере становилось в два раза больше, то есть их число увеличивалось в геометрической прогрессии.

2. ЕГЭ) Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?

Невелика была прибыль Бубликова в 2000 году. Зато каждый год прибыль увеличивалась на 300%, то есть в 4 раза по сравнению с предыдущим годом. Геометрическая прогрессия! Ищем ее четвертый член:

3. (Задача ЕГЭ) Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 3000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 100% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 6000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 200% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?

Определим основные понятия задачи.

Капитал компании – совокупность всех средств, имеющихся у компании.

Прибыль – разница между доходом и расходом (затратами).

Если в 2002 году прибыль компании «Альфа» составляет 100% от капитала прошлого года, значит, за год капитал компании «Альфа» удвоился. Аналогично, капитал компании «Альфа» удваивается в 2003, 2004, 2005 и 2006 годах, то есть в 2006 году он составил тысяч долларов.

Капитал компании «Бета» ежегодно увеличивается в 3 раза. В 2006 году он увеличился в раз по сравнению с 2003 годом и составил долларов.

Читать еще:  Самые загадочные истории исчезновения людей. Самые загадочные исчезновения

Это на 66 тысяч долларов больше, чем капитал компании «Альфа».

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия, знаменатель которой |q| +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Геометрическая прогрессия

Что нужно знать

  • Арифметическая прогрессия
  • Проценты
  • Простейшие алгебраические уравнения

Что вы узнаете

  • Что такое геометрическая прогрессия и чем она отличается от арифметической
  • Как найти любой член геометрической прогрессии
  • Что такое знаменатель геометрической прогрессии и как его найти
  • Чему равна сумма первых n n n членов геометрической прогрессии
  • Когда можно вычислить сумму бесконечной геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия

Если в арифметической прогрессии каждый член больше (или меньше) предыдущего на определенное число, то в геометрической прогрессии каждый следующий член получается умножением на одно и то же число q q q .

Знаменатель может быть и отрицательным числом. Например, последовательность 1 1 1 , − 1 -1 − 1 , 1 1 1 , − 1 -1 − 1 , 1 1 1 — это геометрическая прогрессия со знаменателем − 1 -1 − 1 .

Выберите из перечисленных ниже последовательностей геометрическую прогрессию:

Задачи на геометрические прогрессии во многом аналогичны задачам на арифметические прогрессии. В формулах сложение заменяется умножением, а умножение на k k k — возведением в степень k k k . В частности, выполняется равенство:

Из этой формулы следует такое равенство:

​ = ( b 1 ​ b k ​ ​ ) k − 1 1 ​ .

А теперь ответьте на вопрос на понимание. К какому типу относится такая последовательность, в которой первый член равен 1 0 0 100 1 0 0 , а каждый следующий член последовательности больше предыдущего на 2 0 % 20% 2 0 % ?

Не арифметическая и не геометрическая прогрессия

Решите теперь следующую задачу:

Сумма первых n n n членов геометрической прогрессии

Среди заданий 11 ЕГЭ не бывает задач на сумму геометрической прогрессии. Однако эту тему полезно знать для решения более сложных экзаменационных и практических задач.

Формула суммы геометрической прогрессии оказывается очень полезной для решения практических задач, особенно в области финансов.

Например, если выручка компании увеличивается каждый год на определенный процент, то суммарная выручка за 1 0 10 1 0 лет — это сумма геометрической прогрессии.

Сумму геометрической прогрессии со знаменателем q ≠ 1 qneq 1 q ≠ 1 можно найти по формуле:

Доказать эту формулу несколько сложнее, чем формулу суммы арифметической прогрессии. Тем не менее полезно познакомиться с ее доказательством.

Докажем утверждение по индукции.

Метод математической индукции позволяет доказывать и значительно более сложные утверждения.

Решите задачу с помощью этой формулы:

Дисконтированный денежный поток (дополнительно)

Еще одно важное применение геометрической прогрессии в финансах — расчет суммы приведенных (дисконтированных) денежных потоков. Если вы усвоите этот принцип, вам будет понятно, как финансисты рассчитывают справедливую стоимость актива (не важно, какого: акции, слитка золота, выданного кредита или даже коровы, которая дает молоко).

Мы называем денежным потоком любую сумму денег, которую получает (или планирует получить) человек или фирма в определенный период времени (например, в течение 2 0 1 5 2015 2 0 1 5 года). Будем называть человека, который ожидает получить денежный поток, инвестором.

Читать еще:  Большая энциклопедия нефти и газа. Обобщение опыта

Конечно же, прямо сейчас! Даже если вам не на что тратить эти деньги прямо сейчас, вы можете положить их в банк под процент и через год получить уже больше, чем 1 0 0 0 1000 1 0 0 0 рублей. Например, если банк принимает депозиты под 1 0 % 10% 1 0 % годовых, через год у вас будет 1 1 0 0 1100 1 1 0 0 рублей.

Рассмотрим еще один пример:

Бесконечная геометрическая прогрессия

Если бы рудник из предыдущей задачи приносил деньги вечно, то мы бы получили бесконечную геометрическую прогрессию . Сумма бесконечной геометрической прогрессии будет конечной, если каждый следующий член меньше предыдущего, то есть знаменатель прогрессии по модулю меньше 1 1 1 .

Получается, что дисконтированный денежный поток от “вечного» рудника составит D 1 + d ⋅ 1 1 − 1 1 + d = D 1 + d ⋅ 1 + d d = D d . frac<1+d>cdot frac<1><1-frac<1> <1+d>>=frac<1+d>cdot frac<1+d>=frac. 1 + d D ​ ⋅ 1 − 1 + d 1 ​ 1 ​ = 1 + d D ​ ⋅ d 1 + d ​ = d D ​ .

Чему будет равен дисконтированный денежный поток, если в условиях предыдущей задачи ежегодный доход равен 1 0 0 100 1 0 0 млн. рублей в год, а ставка дисконтирования равна 1 0 % 10% 1 0 % ?

Заключение

Задачи с арифметическими и геометрическими прогрессиями часто встречаются на практике. Если в условии говорится об увеличении на одну и ту же величину, то речь идет об арифметической прогрессии. Если же происходит увеличение в одно и то же число раз, либо на одно и то же число процентов, то речь идет о геометрической прогрессии.

Следующие формулы позволяют решить практически любую задачу на прогрессии:

Арифметрическая прогрессия

Бесконечная геометрическая. Геометрическая прогрессия на примерах

  • Осознать содержание теоретического материала, его значение в жизни человека. Учиться применять теоретический материал в решении задач.
  • Развивать навыки самообразования, самоконтроля, взаимоконтроля, умение работать индивидуально, в парах, в группах, умение работать на доверии, по уровням.
  • Воспитывать ответственность, умение доводить начатое до конца, желание достигнуть наилучшего результата.

Организационный момент.
Вступительное слово учителя. Сегодня у тебя необычный урок математики. Сегодня ты еще раз убедишься в том, что математика не только интересна сама по себе, но она необычайно полезна. В ходе сегодняшнего урока тебя ожидает большая радость творчества и огромное поле приложения математических знаний и умений. Желаю тебе успехов и творческих радостей на уроке!

Проверка домашнего задания.
Проверить выборочно у тех, кто будет вызывается к доске во время урока. Повторить определения и формулы Арифметической прогрессии.

Новый материал. Решение задач.

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность заданная соотношениями

q – знаменатель прогрессии

Геометрическая последовательность является возрастающей, если b1 > 0, q > 1,

Например, 1, 3, 9, 27, 81.

Геометрическая последовательность является убывающей, если b1 > 0, 0 n-1

Характеристическое свойство геометрической прогрессии.

Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего, в случае конечной последовательности), равен произведению предшествующего и последующего членов.

Читать еще:  Форсирование маныч 28 й армией в 1943г. Бой под манычской

Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна

Сумма n первых членов, бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна

Основные определения и данные для геометрической прогрессии сведенные в одну таблицу:

Определение геометрической прогрессии

Знаменатель геометрической прогрессии

Известно, что b1 = 2/3, q = — 3. Найти b6

Решение. В этом случае в основе решения лежит формула n-го члена геометрической прогрессии.

Подставив в эту формулу n = 6 получим:

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 12, 4, 4/3 , …

S = 12 / (1 — 1/3) = 12 / (2/3) = 12 · 3 / 2 = 18

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 150.

Найти b1, если q = 1/3

Решение по карточкам.
Карточки готовит учитель разного уровня и учащиеся сразу знают на какую максимальную оценку они работают. Карточки заготовить в достаточном количестве, чтобы удовлетворить желания всех учащихся, решать на определенную оценку.
Оценка «3»:

2. Найдите и для геометрической прогрессии , у которой .

3. Найдите пятый член геометрической прогрессии , если .

4. Найдите седьмой член геометрической прогрессии , если .

5. Является ли число А = 64 членом геометрической прогрессии 0,5; 1; …? Если да, то укажите его номер.

6. Является ли число А = членом геометрической прогрессии 3; 1; …? Если да, то укажите его номер.

7. Найдите четвертый член геометрической прогрессии
8, -4, …

8. Найдите пятый член геометрической прогрессии
10, -5, …

9. Дана геометрическая прогрессия 8, -4, … . Найдите номер члена этой прогрессии, равного .

10. Дана геометрическая прогрессия 10, -5, … . Найдите номер члена этой прогрессии, равного 0,1.

2. Дана геометрическая прогрессия . Найдите , если .

3. Найдите такие значения переменной , при которых числа образуют геометрическую прогрессию.

4. Найдите такие значения переменной , при которых числа образуют геометрическую прогрессию.

5. Найдите сумму первых десяти членов геометрической прогрессии, заданной формулой .

6. Найдите сумму первых четырех членов геометрической прогрессии, заданной формулой .

7.Сколько членов геометрической прогрессии 18, -6, … больше числа 0,01?

8.Сколько членов геометрической прогрессии 18, -6, … меньше числа -0,01?

Оценка «5» ставится тем учащимся, кто уже справился с несколькими заданиями на оценку «4» и решил карточку на оценку «5»:

2. Найдите сумму третьего, четвертого, пятого и шестого членов геометрической прогрессии .

3. Сумма второго и третьего членов геометрической прогрессии равна 6, а знаменатель прогрессии равен 2. Найдите первый член прогрессии.

4.Сумма второго и четвертого членов геометрической прогрессии равна 120, а знаменатель прогрессии равен 2. Найдите первый член прогрессии.

5. Разность между вторым и первым членами геометрической прогрессии равна -3, а разность между третьим и вторым ее членами равна -6. Чему равна сумма первых пяти членов прогрессии?

6. Разность между вторым и первым членами геометрической прогрессии равна -1, а разность между вторым и третьим ее членами равна 4. Чему равна сумма первых шести членов прогрессии?

Источники:

Геометрическая прогрессия в задачах ЕГЭ по математике

http://lampa.io/p/%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F-%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%8F-0000000058435e1dbf6ea22bd1bea541

http://www.sites.google.com/site/tch5464/materialy-s-uroka/9-klass/geometriceskaa-progressia

Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector