2 простое число. Простые числа

Числа. Простые числа.

Простое число — это целое число (положительное) из разряда натуральных чисел, которое имеет только 2 разных натуральных делителя. Если сказать по-другому, число p тогда будет простым, когда оно больше единицы и может быть разделено лишь на единицу и на себя самого – p.

Натуральные числа, большие единицы и числа, которые не являются простыми, называют составными числами. Т.о., все натуральные числа делятся на 3 класса: единица (имеет 1 делитель), простые числа (имеют 2 делителя) и составные числа (имеют больше 2-х делителей).

Начало последовательности простых чисел выглядит так:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, …

Если представить натуральные числа как произведение простых, то это будет называться разложение на простые либо факторизация числа.

Самое большое простое число, которое известно.

Самое большое известное простое число – это 2 57885161 – 1. Это число состоит из 17 425 170 десятичных цифр и называется простое число Мерсенна (M_57885161).

Некоторые свойства простых чисел.

Допустим, p — простое, и p делит ab, тогда p делит a либо b.

Кольцо вычетов Z_n будет называться полем только в случае, если n — простое.

Характеристика всех полей — это нуль либо простое число.

Когда p — простое, а a — натуральное, значит, a p -a можно поделить на p (малая теорема Ферма).

Когда G — конечная группа, у которой порядок |G| делят на p, значит, у G есть элемент порядка p (теорема Коши).

Когда G — конечная группа, и p n — самая высокая степень p, делящая |G|, значит, у G есть подгруппа порядка p n , которая называется силовская подгруппа, кроме того, число силовских подгрупп соответствует pk+1 для некоего целого k (теоремы Силова).

Натуральное p > 1 будет простым лишь в случае, если (p-1)! + 1 можно подулить на p (теорема Вильсона).

Когда n > 1 — натуральное, значит, есть простое p: n 1 — целые взаимно простые числа, содержит нескончаемое число простых чисел (Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии).

Любое простое число, которое большее тройки, можно представить как 6k+1 либо 6k-1, где k — натуральное число. Исходя из этого, когда разность нескольких последовательных простых чисел (при k>1) одинаковая, значит, она точно делится на шесть — к примеру: 251-257-263-269; 199-211-223; 20183-20201-20219.

Когда p > 3 — простое число, значит, p 2 -1 делится на 24 (работает и на нечётных чисел, которые не делятся на три).

Теорема Грина-Тао. Есть бесконечные арифметические прогрессии, которые состоят из простых чисел.

Ни одно простое число нельзя представить как n k -1, где n>2, k>1. Другими словами, число, которое следует за простым, не может быть квадратом либо более высокой степенью с основанием, которое больше двух. Можно сделать вывод, что когда простое число представлено как 2 k -1, значит k — простое.

Ни одно простое число нельзя представить как n 2k+1 +1, где n>1, k>0. Другими словами, число, которое предшествует простому, не может быть кубом либо более высокой нечётной степенью с основанием, которое больше единицы.

Есть многочлены, у которых множество неотрицательных значений при положительных значениях переменных совпадает с множеством простых чисел. Пример:

Этот многочлен содержит 26 переменных, имеет 25. Самая низкая степень для известных многочленов представленного вида — пять при 42 переменных; самое маленькое количество переменных — десять при степени приблизительно 1,6·10 45 .

Простые и составные числа, определения, примеры, таблица простых чисел, решето Эратосфена

В статье рассматриваются понятия простых и составных чисел. Даются определения таких чисел с примерами. Приводим доказательство того, что количество простых чисел неограниченно и произведем запись в таблицу простых чисел при помощи метода Эратосфена. Будут приведены доказательства того, является ли число простым или составным.

Простые и составные числа – определения и примеры

Простые и составные числа относят к целым положительным. Они обязательно должны быть больше единицы. Делители также подразделяют на простые и составные. Чтобы понимать понятие составных чисел, необходимо предварительно изучить понятия делителей и кратных.

Простыми числами называют целые числа, которые больше единицы и имеют два положительных делителя, то есть себя и 1 .

Составными числами называют целые числа, которые больше единицы и имеют хотя бы три положительных делителя.

Единица не является ни простым ни составным числом. Она имеет только один положительный делитель, поэтому отличается от всех других положительных чисел. Все целые положительные числа называют натуральными, то есть используемые при счете.

Простые числа – это натуральные числа, имеющие только два положительных делителя.

Составное число – это натуральное число, имеющее более двух положительных делителей.

Любое число, которое больше 1 является либо простым, либо составным. Из свойства делимости имеем, что 1 и число а всегда будут делителями для любого числа а , то есть оно будет делиться само на себя и на 1 . Дадим определение целых чисел.

Натуральные числа, которые не являются простыми, называют составными.

Простые числа: 2 , 3 , 11 , 17 , 131 , 523 . Они делятся только сами на себя и на 1 . Составные числа: 6 , 63 , 121 , 6697 . То есть число 6 можно разложить на 2 и 3 , а 63 на 1 , 3 , 7 , 9 , 21 , 63 , а 121 на 11 , 11 , то есть его делители будут 1 , 11 , 121 . Число 6697 разложится на 37 и 181 . Заметим, что понятия простых чисел и взаимно простых чисел – разные понятия.

Таблица простых чисел

Для того, чтобы было проще использовать простые числа, необходимо использовать таблицу:

Таблица для всех существующих натуральных чисел нереальна, так как их существует бесконечное множество. Когда числа достигают размеров 10000 или 1000000000 , тогда следует задуматься об использовании решета Эратосфена.

Рассмотрим теорему, которая объясняет последнее утверждение.

Наименьший положительный и отличный от 1 делитель натурального числа, большего единицы, является простым числом.

Возьмем, что а является натуральным числом, которое больше 1 , b является наименьшим отличным от единицы делителем для числа а . Следует доказать, что b является простым числом при помощи метода противного.

Допустим, что b – составное число. Отсюда имеем, что есть делитель для b , который отличен от 1 как и от b . Такой делитель обозначается как b 1 . Необходимо, чтобы условие 1 b 1 b было выполнено.

Из условия видно, что а делится на b , b делится на b 1 , значит, понятие делимости выражается таким образом: a = b · q и b = b 1 · q 1 , откуда a = b 1 · ( q 1 · q ) , где q и q 1 являются целыми числами. По правилу умножения целых чисел имеем, что произведение целых чисел – целое число с равенством вида a = b 1 · ( q 1 · q ) . Видно, что b 1 – это делитель для числа а . Неравенство 1 b 1 b не соответствует, потому как получим, что b является наименьшим положительным и отличным от 1 делителем а .

Простых чисел бесконечно много.

Предположительно возьмем конечное количество натуральных чисел n и обозначим как p 1 , p 2 , … , p n . Рассмотрим вариант нахождения простого числа, отличного от указанных.

Примем на рассмотрение число р, которое равняется p 1 , p 2 , … , p n + 1 . Оно не равняется каждому из чисел, соответствующих простым числам вида p 1 , p 2 , … , p n . Число р является простым. Тогда считается, что теорема доказана. Если оно составное, тогда нужно принять обозначение p n + 1 и показать несовпадение делителя ни с одним из p 1 , p 2 , … , p n .

Если это было бы не так, тогда, исходя из свойства делимости произведения p 1 , p 2 , … , p n _, получим, что оно делилось бы на p n + 1 . Заметим, что на выражение p n + 1 делится число р равняется сумме p 1 , p 2 , … , p n + 1 . Получим, что на выражение p n + 1 должно делиться второе слагаемое этой суммы, которое равняется 1 , но это невозможно.

Видно, что может быть найдено любое простое число среди любого количества заданных простых чисел. Отсюда следует, что простых чисел бесконечно много.

Так как простых чисел очень много, то таблицы ограничивают числами 100 , 1000 , 10000 и так далее.

Решето Эратосфена

При составлении таблицы простых чисел следует учитывать то, что для такой задачи необходима последовательная проверка чисел, начиная с 2 до 100 . При отсутствии делителя оно фиксируется в таблицу, если оно составное, то в таблицу не заносится.

Если начать с числа 2 , то оно имеет только 2 делителя: 2 и 1, значит, его можно занести в таблицу. Также и с числом 3 . Число 4 является составным, следует разложить его еще на 2 и 2 . Число 5 является простым, значит, можно зафиксировать в таблице. Так выполнять вплоть до числа 100 .

Данный способ неудобный и долгий. Таблицу составить можно, но придется потратить большое количество времени. Необходимо использовать признаки делимости, которые ускорят процесс нахождения делителей.

Способ при помощи решета Эратосфена считают самым удобным. Рассмотрим на примере таблиц, приведенных ниже. Для начала записываются числа 2 , 3 , 4 , … , 50 .

Теперь необходимо зачеркнуть все числа, которые кратны 2 . Произвести последовательное зачеркивание. Получим таблицу вида:

Далее вычеркиваем все числа, кратные 3 . Получаем таблицу вида:

Переходим к вычеркиванию чисел, кратных 5 . Получим:

Вычеркиваем числа, кратные 7 , 11 . В конечном итоге таблица получает вид

Перейдем к формулировке теоремы.

Наименьший положительный и отличный от 1 делитель основного числа а не превосходит a , где a является арифметическим корнем заданного числа.

Необходимо обозначить b наименьший делитель составного числа а . Существует такое целое число q , где a = b · q , причем имеем, что b ≤ q . Недопустимо неравенство вида b > q , так как происходит нарушение условия. Обе части неравенства b ≤ q следует умножить на любое положительное число b , не равное 1 . Получаем, что b · b ≤ b · q , где b 2 ≤ a и b ≤ a .

Из доказанной теоремы видно, что вычеркивание чисел в таблице приводит к тому, что необходимо начинать с числа , которое равняется b 2 и удовлетворяет неравенству b 2 ≤ a . То есть, если вычеркнуть числа, кратные 2 , то процесс начинается с 4 , а кратных 3 – с 9 и так далее до 100 .

Составление такой таблицы при помощи теоремы Эратосфена говорит о том, что при вычеркивании всех составных чисел, останутся простые, которые не превосходят n . В примере, где n = 50 , у нас имеется, что n = 50 . Отсюда и получаем, что решето Эратосфена отсеивает все составные числа, которые по значению не больше значения корня из 50 . Поиск чисел производится при помощи вычеркивания.

Данное число простое или составное?

Перед решением необходимо выяснять, является ли число простым или составным. Зачастую используются признаки делимости. Рассмотрим это на ниже приведенных примере.

Доказать что число 898989898989898989 является составным.

Сумма цифр заданного числа равняется 9 · 8 + 9 · 9 = 9 · 17 . Значит, число 9 · 17 делится на 9 , исходя из признака делимости на 9 . Отсюда следует, что оно составное.

Такие признаки не способны доказать простоту числа. Если нужна проверка, следует производить другие действия. Самый подходящий способ – это перебор чисел. В течение процесса можно найти простые и составные числа. То есть числа по значению не должны превосходить a . То есть число а необходимо разложить на простые множители. если это будет выполнено, тогда число а можно считать простым.

Определить составное или простое число 11723 .

Теперь необходимо найти все делители для числа 11723 . Необходимо оценить 11723 .

Отсюда видим, что 11723 200 , то 200 2 = 40 000 , а 11 723 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200 .

Для более точной оценки числа 11723 необходимо записать выражение 108 2 = 11 664 , а 109 2 = 11 881 , то 108 2 11 723 109 2 . Отсюда следует, что 11723 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

При разложении получим, что 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 – это все простые числа. Весь данный процесс можно изобразить как деление столбиком. То есть разделить 11723 на 19 . Число 19 является одним из его множителей, так как получим деление без остатка. Изобразим деление столбиком:

Отсюда следует, что 11723 является составным числом, потому как кроме себя и 1 имеет делитель 19 .

Ответ: 11723 является составным числом.

Математика

Простые числа

Обложка урока взята с источника.

План урока:

Все вещи можно представить в виде чисел.

Рассмотрим привычный всем карандаш. Привычный, обыденный предмет. Большинство людей даже не задумываются, из чего он состоит.

На самом деле, для изготовления карандаша понадобится древесина, грифель, краска. И это самый простейший перечень составляющих. Ведь собственные составляющие имеют краска, грифель,древесина. Поэтому список компонентов, необходимых для изготовления обычного карандаша, можно продолжать очень долго.Точно так происходит и с математическими числами. Каждое число имеет свой состав, в зависимости от состава – название.

А из чего состоят числа? Какие бывают? Как разложить число? На эти и многие другие вопросы ищите ответы в нашем уроке!

Простые и составные числа

На столе лежало 2 яблока, 4 апельсина. Сколько детей, смогут полакомиться, каждым видом фруктов?

Источник

Чтобы ответить на главный вопрос задачи нужно выяснить на какое количество человек можно разделить фрукты, не деля их на части (целыми).

В математике такие числа называют простыми

Источник

Получается, четыре мы можем разделить на 1, на само себя и еще на два. Такой вид чисел в арифметике называют составными:

Разложение на простые множители

В математике возникают ситуации, когда для выполнения определенных вычислений нужно знать, какие множители входят в состав того, или иного числа.

Например в состав 6, входит два простых множителя:

А как быть с большими числами, в записи, которых 2 и более знака? Как правильно выполнять и записывать разложение на простые множители?

Что значит «Разложить на простые множители?».

В арифметике для выполнения разложения на простые множители, существует специальный вид записи и алгоритм действий.

Давайте рассмотрим алгоритм действий:

Запись разложения числа на простые множители выполняется столбиком, состоящим из двух колонок. В правой колонке записываем делимое и полученное частное, в левой – пишем подходящие, простые делители. Между собой колонки разделены вертикальной чертой:

Разложим на множителичисло 20.

Для выполнения данного задания, используем рассмотренный алгоритм.

1. Вначале, определяем, не является ли делимое простым. Для этого смотрим, сколько делителей можно подобрать:

20 можно разделить на: 1, 2, 4, 5, 10,20.

Мы подобрали шесть делителей, значит, делимое, является составным числом.

1. Далее, займемся подбором делителей.

Для этого вспоминаем изученные признаки делимости, и проверяем данное число.

Начнем с наименьшего простого числа 2

Делимое 20 оканчивается цифрой 0, значит, оно делится без остатка на 2.

Далее, подбираем делитель к полученному частному. Опять начинаем с наименьшего простого числа 2.Так как запись 10, оканчивается 0, по признаку делимости, число делится на 2 без остатка:

В результате мы получили простое число, которое можно разделить, только на само себя (на 1 деление не выполняем, оно не является простым числом).

Когда в частном получилась единица, то говорят, разложение числа на простые множители окончено.

Давайте запишем данную математическую операцию.

Выполнять запись будем в столбик.

Сначала записываем делимое и проводим вертикальную черту.

Рядом, с правой стороны, пишем первый делитель.

Выполняем деление и записываем частное под делимым.

После, снова подбираем делитель к полученному частному, справа пишем подходящий делитель. Выполняем деление до тех пор, пока в результате не увидим 1.

Выходит, 20 = 2×2×5. Полученное выражение можно записать немного иначе. В записи использовано два одинаковых множителя, повторяющихся два раза. Используя определение степени

можно записать 2×2 =2 2 .

Тогда, 20 = 2 2 × 5.

Ничего сложного. Главное – запомнить порядок действий!

Рассмотрим еще один пример.

Разложим число 156.

Чтобы выполнить данное задание используемправило разложения числа на простые множители.

• 1) Сначала, выясним, не является ли это число простым. Давайте посмотрим на последнюю цифру в записи – 6. Последняя цифра четная(то есть, делится на два), согласно признаку деления на два, если последняя цифра делится на два, то и все число делится на два. Сразу вспоминаем, что любое число всегда можно разделить на 1 и на само себя. Поэтому рассматриваемое число уже имеет больше двух делителей: 1,2,156 и называется составным.

• 2) Теперь начинаем подбирать делители. Мы уже выяснили, что первым делителем будет два.

Выполняем деление и частное запишем под делимым: 156 : 2 = 78.

Полученное частное (78) оканчивается четной цифрой, следовательно,делится на 2. Рядом записываем делитель, выполняем деление:

Новый результатоканчивается нечетной цифрой, поэтому на два разделить нельзя. Смотрим, подойдет ли в качестве делителя следующее – 3. Вспоминаем признак делимости на 3:

В записи 39 использованы цифры 3,9. Найдем их сумму:

Полученная сумма делится на 3, следовательно, все число делится на 3.

Записываем делитель и выполняем деление 39 : 3 = 13. Частное, пишем в левый столбик:

Частное 13 – простое, делится на 1 и на само себя. Поэтому:

Произведение 2×2 заменим выражением 2 2 .

156 = 2 2 × 3 × 13.

Разложение на простые множители выполнено.

Очень важно запомнить рассмотренные определения и алгоритм, так как умение раскладывать число на простые множители пригодится вам в течение всего учебного процесса!

Минутка истории

Интерес ученых к простым числам проснулся в третьем веке до нашей эры. Первым заинтересовался Евклид, нашел доказательство, что ряд простых чисел бесконечен. К сожалению,перечень известных, пополнялся новыми, очень медленно, пока не появились первые вычислительные машины, самостоятельно подбирающие делители к огромным числовым значениям. В1952 г. самое большое простое числовое значение, известное науке содержало 157 цифр, уже в 1985 году количество цифр стало 65050. Сегодня, математики продолжают работать над этим вопросом. Результатом проделанной работы стало открытие американскими учеными нового, самого большого простого числового значения, состоящего из 65087 цифр. Научные сотрудники более 12 месяцев проверяли, подходящие под требования числовые значения. Проверено более 350000 чисел, подобрано несколько миллиардов различных делителей.

В декабре 2018, американский разработчикПатрик Ларош, побил мировые рекорды и открыл наибольшее простое число 2 82 589 933 – 1. Количество цифр этого числа равно 24 862 048. За свое открытие Патрик получил премию в размере 2 миллионов долларов.

Источники:

http://www.calc.ru/Chisla-Prostyye-Chisla.html

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/delimost/prostye-i-sostavnye-chisla/

http://100urokov.ru/predmety/urok-2-prostye-chisla