Разложить функцию в ряд фурье примеры. Ряды Фурье

Ряд Фурье. Разложение функции в ряд Фурье. Разложение функции в ряд синусов и косинусов.

Ряд Фурье. Разложение функции в ряд Фурье. Разложение функции в ряд синусов и косинусов.

Ряд Фурье периодических функций с периодом 2π.

Ряд Фурье позволяет изучать периодические (непериодические) функции, разлагая их на компоненты. Переменные токи и напряжения, смещения, скорость и ускорение кривошипно-шатунных механизмов и акустические волны — это типичные практические примеры применения периодических функций в инженерных расчетах.

Разложение в ряд Фурье основывается на предположении, что все имеющие практическое значение функции в интервале -π ≤x≤ π можно выразить в виде сходящихся тригонометрических рядов (ряд считается сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов):

Стандартная (=обычная) запись через сумму sinx и cosx

(1)

Где для диапазона от -π до π коэффициенты ряда Фурье рассчитываются по формулам:

Коэффициенты a_o,a_n и b_n называются коэффициентами Фурье, и если их можно найти, то ряд (1) называется рядом Фурье, соответствующим функции f(x). Для ряда (1) член (a₁cosx+b₁sinx) называется первой или основной гармоникой,

Другой способ записи ряда — использование соотношения acosx+bsinx=csin(x+α)

Для ряда (1) член (a₁cosx+b₁sinx) или c₁sin(x+α₁) называется первой или основной гармоникой, (a₂cos2x+b₂sin2x) или c₂sin(2x+α₂) называется второй гармоникой и так далее.

Для точного представления сложного сигнала обычно требуется бесконечное количество членов. Однако во многих практических задачах достаточно рассмотреть только несколько первых членов.

Ряд Фурье непериодических функций с периодом 2π.

Разложение непериодических функций.

Если функция f(x) непериодическая, значит, она не может быть разложена в ряд Фурье для всех значений х. Однако можно определить ряд Фурье, представляющий функцию в любом диапазоне шириной 2π.

Если задана непериодическая функция, можно составить новую функцию, выбирая значения f(x) в определенном диапазоне и повторяя их вне этого диапазона с интервалом 2π. Поскольку новая функция является периодической с периодом 2π, ее можно разложить в ряд Фурье для всех значений х. Например, функция f(x)=x не является периодической. Однако, если необходимо разложить ее в ряд Фурье на интервале от о до 2π, тогда вне этого интервала строится периодическая функция с периодом 2π (как показано на рис. ниже) .

Для непериодических функций, таких как f(x)=х, сумма ряда Фурье равна значению f(x) во всех точках заданного диапазона, но она не равна f(x) для точек вне диапазона. Для нахождения ряда Фурье непериодической функции в диапазоне 2π используется все таже формула коэффициентов Фурье.

Четные и нечетные функции.

Говорят, функция y=f(x) четная, если f(-x)=f(x) для всех значений х. Графики четных функций всегда симметричны относительно оси у (т.е. являются зеркально отраженными). Два примера четных функций: у=х 2 и у=cosx.

Говорят, что функция y=f(x) нечетная, если f(-x)=-f(x) для всех значений х. Графики нечетных функций всегда симметричны относительно начала координат.

Многие функции не являются ни четными, ни нечетными.

Разложение в ряд Фурье по косинусам.

Ряд Фурье четной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с косинусами (т.е. не содержит членов с синусами) и может включать постоянный член. Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Разложение в ряд Фурье по синусам.

Ряд Фурье нечетной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с синусами (т.е. не содержит членов с косинусами).

где коэффициенты ряда Фурье,

Ряд Фурье на полупериоде.

Если функция определена для диапазона, скажем от 0 до π, а не только от 0 до 2π, ее можно разложить в ряд только по синусам или тольо по косинусам. Полученный ряд Фурье называется рядом Фурье на полупериоде.

Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по косинусам функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить четную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=х, построенная на интервале от х=0 до х=π. Поскольку четная функция симметрична относительно оси f(x), проводим линию АВ, как показано на рис. ниже. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученная треугольная форма является периодической с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показ. на рис. ниже. Поскольку требуется получить разложение Фурье по косинусам, как и ранее, вычисляем коэффициенты Фурье a_o и a_n

Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по синусам функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить нечетную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=x, построенная на интервале от от х=0 до х=π. Поскольку нечетная функция симметрична относительно начала координат, строим линию CD, как показано на рис. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученный пилообразный сигнал является периодическим с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показанный на рис. Поскольку требуется получить разложение Фурие на полупериоде по синусам, как и ранее, вычисляем коэффициент Фурье. b

Ряд Фурье для произвольного интервала.

Разложение периодической функции с периодом L.

Периодическая функция f(x) повторяется при увеличении х на L, т.е. f(x+L)=f(x). Переход от рассмотренных ранее функций с периодом 2π к функциям с периодом L довольно прост, поскольку его можно осуществить с помощью замены переменной.

Чтобы найти ряд Фурье функции f(x) в диапазоне -L/2≤x≤L/2, введем новую переменную u таким образом, чтобы функция f(x) имела период 2π относительно u. Если u=2πх/L, то х=-L/2 при u=-π и х=L/2 при u=π. Также пусть f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Ряд Фурье F(u) имеет вид

Где коэффициенты ряда Фурье,

Однако чаще приведенную выше формулу приводят к зависимости от х. Поскольку u=2πх/L, значит, du=(2π/L)dx, а пределы интегрирования — от -L/2 до L/2 вместо — π до π. Следовательно, ряд Фурье для зависимости от х имеет вид

где в диапазоне от -L/2 до L/2 коэффициенты ряда Фурье,

(Пределы интегрирования могут быть заменены на любой интервал длиной L, например, от 0 до L)

Ряд Фурье на полупериоде для функций, заданных в интервале L≠2π.

Для подстановки u=πх/L интервал от х=0 до х=L соответствует интервалу от u=0 до u=π. Следовательно, функцию можно разложить в ряд только по косинусам или только по синусам, т.е. в ряд Фурье на полупериоде.

Разложение по косинусам в диапазоне от 0 до L имеет вид

РЯДЫ ФУРЬЕ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Р. К. Бельхеева РЯДЫ ФУРЬЕ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ Учебное пособие Новосибирск 211

2 УДК ББК В161 Б44 Б44 Бельхеева Р. К. Ряды Фурье в примерах и задачах: Учебное пособие / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, с. ISBN В учебном пособии излагаются основные сведения о рядах Фурье, приведены примеры на каждую изучаемую тему. Детально разобран пример применения метода Фурье к решению задачи о поперечных колебаниях струны. Приведен иллюстративный материал. Имеются задачи для самостоятельного решения. Предназначено для студентов и преподавателей физического факультета НГУ. Печатается по решению методической комиссии физического факультета НГУ. Рецензент д-р физ.-мат. наук. В. А. Александров Пособие подготовлено в рамках реализации Программы развития НИУ-НГУ на гг. ISBN c Новосибирский государственный университет, 211 c Бельхеева Р. К., 211

3 1. Разложение 2π-периодической функции в ряд Фурье Определение. Рядом Фурье функции f(x) называется функциональный ряд a 2 + (a n cosnx + b n sin nx), (1) где коэффициенты a n, b n вычисляются по формулам: a n = 1 π b n = 1 π f(x) cosnxdx, n =, 1. (2) f(x) sin nxdx, n = 1, 2. (3) Формулы (2) (3) называют формулами Эйлера Фурье. Тот факт, что функции f(x) соответствует ряд Фурье (1) записывают в виде формулы f(x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) (4) и говорят, что правая часть формулы (4) является формальным рядом Фурье функции f(x). Другими словами, формула (4) означает только то, что коэффициенты a n, b n найдены по формулам (2), (3). 3

4 Определение. 2π-периодическая функция f(x) называется кусочно-гладкой, если в промежутке [, π] найдется конечное число точек = x . Рассмотрим два условия: а) f(l x) = f(x); б) f(l + x) = f(x), x [, l/2]. С геометрической точки зрения условие (а) означает, что график функции f(x) симметричен относительно вертикальной прямой x = l/2, а условие (б) что график f(x) центрально симметричен относительно точки (l/2; ) на оси абсцисс. Тогда справедливы следующие утверждения: 1) если функция f(x) четная и выполнено условие (а), то b 1 = b 2 = b 3 =. =, a 1 = a 3 = a 5 =. = ; 2) если функция f(x) четная и выполнено условие (б), то b 1 = b 2 = b 3 =. =, a = a 2 = a 4 =. = ; 3) если функция f(x) нечетная и выполнено условие (а), то a = a 1 = a 2 =. =, b 2 = b 4 = b 6 =. = ; 4) если функция f(x) нечетная и выполнено условие (б), то a = a 1 = a 2 =. =, b 1 = b 3 = b 5 =. =. ЗАДАЧИ В задачах 1 7 нарисуйте графики и найдите ряды Фурье для функций, < предполагая, что они имеют период 2π:, если , x [, π], в ряд Фурье только по косинусам. Решение. Продолжим функцию четным образом на (, ) (т. е. так, чтобы равенство f( x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю числовую ось. Получим функцию f (x), график которой представлен на рис. 22. Функция f (x) в точках Рис. 22. График продолженной функции f (x) x = kπ, k целое число, имеет изломы. Вычислим коэффициенты Фурье: b n =, так как f (x) четная. Интегрируя по частям получаем 29

30 a n = 2 π a = 2 π = 2 cosnxd(e ax ) = 2 πa e ax dx = 2 π a (eaπ 1), f(x) cos πnxdx = 2 π πa eax cosnx = 2 πa (eaπ cosnπ 1) + 2n πa 2 π e ax cos nxdx = + 2n e ax sin nxdx = πa sin nxde ax = = 2 π a (eaπ cos n π 1) + 2n π sin nx π a 2eax 2n2 e ax cos nxdx = 2 π a 2 π a (eaπ cos n π 1) n2 a a n. 2 Следовательно, a n = 2a e aπ cos n π 1. π a 2 + n 2 Поскольку f (x) непрерывна, то согласно теореме о поточечной сходимости ее ряд Фурье сходится к f (x). Значит, для всех x [, π] имеем f(x) = 1 π a (eaπ 1)+ 2a π k=1 e aπ ( 1) k 1 a 2 + k 2 coskx ( x π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм ряда Фурье к заданной разрывной функции. 3

31 Рис. 23. Графики функций f (x) и S (x) Рис. 24. Графики функций f (x) и S 1 (x) Рис. 25. Графики функций f (x) и S 2 (x) Рис. 26. Графики функций f (x) и S 3 (x) 31

32 Рис. 27. Графики функций f (x) и S 4 (x) Рис. 28. Графики функций f (x) и S 99 (x) ЗАДАЧИ 9. Разложите функцию f(x) = cos x, x π, в ряд Фурье только по косинусам. 1. Разложите функцию f(x) = e ax, a >, x π, в ряд Фурье только по синусам. 11. Разложите функцию f(x) = x 2, x π, в ряд Фурье только по синусам. 12. Разложите функцию f(x) = sin ax, x π, в ряд Фурье по только косинусам. 13. Разложите функцию f(x) = x sin x, x π, в ряд Фурье только по синусам. Ответы 9. cosx = cosx. 1. e ax = 2 [ 1 ( 1) k e aπ] k sin kx. π a 2 + k2 k=1 11. x 2 2 [ π 2 ( 1) n 1 π n + 2 ] n 3 (( 1)n 1) sin nx. 32

33 12. Если a не является целым числом, то sin ax = 1 cosaπ <1 + +2a cos 2nx >+ π a 2 (2n) 2 +2a 1 + cosaπ cos(2n 1)x π a 2 (2n 1) 2; если a = 2m четное число, то sin 2mx = 8m cos(2n 1)x π (2m) 2 (2n 1) 2; если a = 2m 1 положительное нечетное число, то sin(2m 1)x = 2 < cos 2nx >1 + 2(2m 1). π (2m 1) 2 (2n) π 16 n sin x sin 2nx. 2 π (4n 2 1) 2 3. Ряд Фурье функции с произвольным периодом Предположим, что функция f(x) задана в промежутке [ l, l], l >. Сделав подстановку x = ly, y π, получим функцию g(y) = f(ly/π), определенную в промежутке π [, π]. Этой функции g(y) соответствует (формальный) ряд Фурье ( ) ly f = g(y) a π 2 + (a n cosny + b n sin ny), коэффициенты которого находятся по формулам Эйлера Фурье: a n = 1 π g(y) cosny dy = 1 π f ( ly π) cos ny dy, n =, 1, 2. 33

34 b n = 1 π g(y) sinny dy = 1 π f ( ) ly sin ny dy, n = 1, 2. π Возвращаясь к старой переменной, т. е. полагая в выписанных формулах y = πx/l, мы получим для функции f(x) тригонометрический ряд несколько измененного вида: где f(x) a 2 + a n = 1 l b n = 1 l l l l l ( a n cos πnx l f(x) cos πnx l f(x) sin πnx l + b n sin πnx ), (11) l dx, n =, 1, 2. (12) dx, n = 1, 2. (13) Говорят, что формулы (11) (13) задают разложение в ряд Фурье функции с произвольным периодом. ПРИМЕР 9. Найдем ряд Фурье функции, заданной в промежутке ( l, l) выражением < A, если l , или, более коротко, c n = 1 2i a n sgnn. Тем самым, ряд Фурье в комплексной форме найден. Сгруппировав слагаемые с номерами n и n получим ряд Фурье функции в вещественной форме: = f(x) = + a sin x 1 2a cosx + a + 2 ( 1 2i an e inx 1 2i an e inx n= + ) = c n e inx = a n sin nx. Вновь нам удалось вычислить следующий сложный интеграл: sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2 = π an 1. (16) 45

46 ЗАДАЧИ 24. Используя (15), вычислите интеграл cos nxdx 1 2a cosx + a 2 для вещественных a, a > Используя (16), вычислите интеграл sin x sin nxdx для вещественных a, a > a cosx + a2 В задачах найдите ряды Фурье в комплексной форме для функций. 26. f(x) = sgn x, π . Подставляя (25) в (21), получим: X T = α 2 X T, (26) или T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x). (27) Говорят, что произошло разделение переменных. Так как x и t не зависят друг от друга, то левая часть в (27) не зависит от x, а правая от t и общая величина этих отношений 62

63 должна быть постоянной, которую обозначим через λ: T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x) = λ. Отсюда получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения: X (x) λx(x) =, (28) T (t) α 2 λt(t) =. (29) При этом граничные условия (22) примут вид X()T(t) = и X(l)T(t) =. Поскольку они должны выполняться для всех t, t >, то X() = X(l) =. (3) Найдем решения уравнения (28), удовлетворяющего граничным условиям (3). Рассмотрим три случая. Случай 1: λ >. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид X (x) β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение k 2 β 2 = имеет корни k = ±β. Следовательно, общее решение уравнения (28) имеет вид X(x) = C e βx + De βx. Мы должны подобрать постоянные C и D так, чтобы соблюдались граничные условия (3), т. е. X() = C + D =, X(l) = C e βl + De βl =. Поскольку β, то эта система уравнений имеет единственное решение C = D =. Следовательно, X(x) и 63

64 u(x, t). Тем самым, в случае 1 мы получили тривиальное решение, которое далее рассматривать не будем. Случай 2: λ =. Тогда уравнение (28) принимает вид X (x) = и его решение, очевидно, задается формулой: X(x) = C x+d. Подставляя это решение в граничные условия (3), получим X() = D = и X(l) = Cl =, значит, C = D =. Следовательно, X(x) и u(x, t), и мы опять получили тривиальное решение. Случай 3: λ I agree.

Ряды Фурье с примерами решений

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Понятие ряда Фурье

Тригонометрическим рядом Фурье называется ряд вида

где числа a 0 , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , . a n , b n , . — коэффициенты Фурье.

Более сжатая запись ряда Фурье с символом «сигма»:

.

Как мы только что установили, в отличие от степенного ряда, в ряде Фурье вместо простейших функций взяты тригонометрические функции

Коэффициенты Фурье вычисляются по следующим формулам:

,

,

.

Все вышеперечисленные функции в ряде Фурье являются периодическими функциями с периодом 2π . Каждый член тригонометрического ряда Фурье является периодической функцией с периодом 2π .

Поэтому и любая частичная сумма ряда Фурье имеет период 2π . Отсюда следует, что если ряд Фурье сходится на отрезке [-π, π] , то он сходится на всей числовой прямой и его сумма, будучи пределом последовательности периодических частичных сумм, является периодической функцией с периодом 2π .

Вышеупомянутое свойство видно на графике внизу: здесь график суммы ряда для функции f(x) = x . Вне отрезка [-π, π] сумма ряда является периодическим продолжением данной функции: график функции бесконечно повторяется справа и слева.

Сходимость ряда Фурье и сумма ряда

Пусть функция F(x) , определённая на всей числовой прямой и периодическая с периодом 2π , является периодическим продолжением функции f(x) , если на отрезке [-π, π] имеет место F(x) = f(x)

Если на отрезке [-π, π] ряд Фурье сходится к функции f(x) , то он сходится на всей числовой прямой к её периодическому продолжению.

Ответ на вопрос о том, при каких условиях ряд Фурье функции f(x) сходится к этой функции, даёт следующая теорема.

Теорема. Пусть функция f(x) и её производная f ‘ (x) — непрерывные на отрезке [-π, π] или же имеют на нём конечное число точек разрыва 1-го рода. Тогда ряд Фурье функции f(x) сходится на всей числовой прямой, причём в каждой точке x , принадлежащей отрезку [-π, π] , в которой f(x) непрерывна, сумма ряда равна f(x) , а в каждой точке x 0 разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому пределов функции f(x) справа и слева:

,

где и .

На концах отрезка [-π, π] сумма ряда равна среднему арифметическому значений функции в крайней левой и крайней правой точках периода разложения:

.

В любой точке x , принадлежащей отрезку [-π, π] , сумма ряда Фурье равна F(x) , если x — точка непрерывности F(x) , и равна среднему арифметическому пределов F(x) слева и справа:

,

Пример 1. Периодическая функция f(x) с периодом 2π определена следующим образом:

Проще эта функция записывается как f(x) = |x| . Разложить функцию в ряд Фурье, определить сходимость ряда и сумму ряда.

Решение. Определим коэффициенты Фурье этой функции:

Теперь у нас есть всё, чтобы получить ряд Фурье данной функции:

Этот ряд сходится во всех точках, и его сумма равна данной функции.

Решить задачу на ряды Фурье самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 2. Дана периодическая функция с периодом 2π :

Определить коэффициенты Фурье.

Ряды Фурье для чётных и нечётных функций

Пусть функция f(x) определена на отрезке [-π, π] и является чётной, т. е. f(- x) = f(x) . Тогда её коэффициенты b n равны нулю. А для коэффициентов a n верны следующие формулы:

,

.

Пусть теперь функция f(x) , определённая на отрезке [-π, π] , нечётная, т.е. f(x) = — f( — x) . Тогда коэффициенты Фурье a n равны нулю, а коэффициенты b n определяется формулой

.

Как видно из формул, выведенных выше, если функция f(x) чётная, то ряд Фурье содержит только косинусы, а если нечётная, то только синусы.

Пример 3. Разложить в ряд Фурье функцию .

Решение. Это нечётная функция, поэтому её коэффициенты Фурье , а чтобы найти , нужно вычислить определённый интеграл:

Получаем ряд Фурье данной функции:

.

Это равенство справедливо для любого . В точках сумма ряда Фурье по приведённой во втором параграфе теореме не совпадает со значениями функции , а равна . Вне отрезка сумма ряда является периодическим продолжением функции , её график приводился выше в качестве иллюстрации суммы ряда.

Пример 4. Разложить в ряд Фурье функцию .

Решение. Это чётная функция, поэтому её коэффициенты Фурье , а чтобы найти , нужно вычислить определённые интегралы:

Получаем ряд Фурье данной функции:

.

Это равенство справедливо для любого , так как в точках сумма ряда Фурье в данном случае совпадает со значениями функции , поскольку .

Ряды Фурье с периодом 2l

Пусть функция f(x) определена на отрезке [— l, l] ( l — произвольное положительное число). Тогда формула ряда Фурье этой функции принимает вид

,

где коэффициенты Фурье определяются по следующим формулам:

,

,

.

Пример 5. Разложить в ряд Фурье с периодом 2l функцию f(x) , которая на отрезке [— l, l] задаётся формулой .

Решение. Это чётная функция, поэтому её коэффициент Фурье , а чтобы найти , нужно вычислить определённые интегралы:

Ряд Фурье данной функции:

.

Это равенство справедливо для любого , а это значит, что ряд сходится на всей числовой прямой.

Решить задачу на ряды Фурье самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Разложить в ряд Фурье с периодом 4 периодическую функцию , .

Источники:

http://tehtab.ru/Guide/GuideMathematics/SeriesOfTaylorMaklorenFourier/FourierSeries/

http://docplayer.ru/26692271-Ryady-fure-v-primerah-i-zadachah.html

http://function-x.ru/rows5.html