Понятие модуля числа. Определение модуля числа. Геометрический смысл модуля
Определение модуля числа. Геометрический смысл модуля
Уравнения с модулями, методы решений. Часть 1.
Прежде чем приступать к непосредственному изучению техник решения таких уравнений, важно понять суть модуля, его геометрическое значение. Именно в понимании определения модуля и его геометрическом смысле, заложены основные методы решения таких уравнений. Так называемый, метод интервалов при раскрытии модульных скобок, настолько эффективен, что используя его возможно решить абсолютно любое уравнение или неравенство с модулями. В этой части мы подробно изучим два стандартных метода: метод интервалов и метод замены уравнения совокупностью.
Однако, как мы убедимся, эти методы, всегда эффективные, но не всегда удобные и могут приводить к долгим и даже не очень удобным вычислениям, которые естественно потребуют большего времени на их решение. Поэтому важно знать и те методы, которые решение определенных структур уравнений значительно упрощают. Возведение обеих частей уравнения в квадрат, метод введения новой переменной, графический метод, решение уравнений, содержащих модуль под знаком модуля. Эти методы мы рассмотрим в следующей части.
Определение модуля числа. Геометрический смысл модуля.
Первым делом познакомимся с геометрическим смыслом модуля:
Модулем числа а (|а|) называют расстояние на числовой прямой от начала координат (точки 0) до точки А(а).
Исходя из этого определения рассмотрим некоторые примеры:
|7|– это расстояние от 0 до точки 7, конечно оно равно 7. → | 7 |=7
|-5|- эторасстояние от 0 до точки -5 и оно равно: 5. → |-5| = 5
Все мы понимаем расстояние не может быть отрицательным! Поэтому |х| ≥ 0 всегда!
Решим уравнение: |х |=4
Это уравнение можно прочитать так: расстояние от точки 0 до точки x равно 4. Ага, получается, от 0 мы можем двигаться как влево так и вправо, значит двигаясь влево на расстояние равное 4 мы окажемся в точке: -4, а двигаясь вправо окажемся в точке: 4. Действительно, |-4 |=4 и |4 |=4.
Отсюда ответ х=±4.
При внимательном изучении предыдущего уравнения можно заметить, что: расстояние вправо по числовой прямой от 0 до точки равно самой точке, а расстояние влево от 0 до числа равно противоположному числу! Понимая, что вправо от 0 положительные числа, а влево от 0 отрицательные, сформулируем определения модуля числа: модулем (абсолютной величиной) числа х (|х|) называется само число х, если х ≥0, и число –х, если х
Важно, чтобы вы это четко видели, если пока не получается, нарисуйте на бумаге и посмотрите, чтобы эта иллюстрация была вам полностью понятна, не поленитесь и попробуйте в уме увидеть решения следующих заданий:
Обратили внимание на странные задания во втором столбце? Действительно, расстояние не может быть отрицательным поэтому: |х|=-5- не имеет решений, конечно же оно не может быть и меньше 0, поэтому: |х| -3 являются все числа.
После того как вы научитесь быстро видеть рисунки с решениями читайте дальше.
Модули. Применение геометрического смысла модуля при решений уравнений и неравенств
Классы: 9 , 10 , 11
Ключевые слова: модуль числа , свойства модуля , геометрический смысл модуля
Цель: Актуализировать знания школьников о смысле понятия «модуль». Учить их применять эти знания при решении уравнении, неравенств и систем уравнении с модулями.
Для того, чтобы научиться решать уравнения и неравенства с модулем, необходимо хорошо разобраться с понятием модуля, его геометрическим смыслом и свойствами.
С рассмотрения этого материала мы и начнем наше занятие.
1. Определение: Модулем числа называется само число, если оно неотрицательно, или число противоположное данному, если оно отрицательно.
Следовательно, при любых значениях переменной |а| есть число неотрицательное.
2. Рассмотрим основные свойства модуля, которые используются при решении уравнений и неравенств, содержащих модуль.
Свойства модуля
– Модуль числа есть величина неотрицательная: |а|>0 или равно 0.
– Модули противоположенных чисел равны: |а|= |-а|
– Модуль произведения равен произведению модулей множителей: |а*в|= |а|*|в|.
– Модуль частного равен частному модулей числителя и знаменателя: |а/в|=|а|/|в|, где в не равен нулю.
– Квадрат модуля равен квадрату подмодульного выражения: |а| 2 =а 2 .
– Модуль суммы не больше суммы модулей ее слагаемых: |а+в|≤|а|+|в|.
При этом равенство |а+в|=|а|+|в| имеет место тогда и только тогда, когда слагаемые одного знака или одно из слагаемых равно нулю.
– Два числа, модули которых равны, либо равны между собой, либо отличаются только знаками, то есть являются противоположными: |а|=|в|, если, а=в или, а=–в.
Преобразование выражений, содержащих модули
При решении уравнении и неравенств с модулем, часто приходится преобразовывать их, раскрывая знак модуля.
Рассмотрим, по каким правилам раскрывается модуль.
Из определения модуля следует: чтобы раскрыть знак модуля, надо знать знак подмодульного выражения.
Составим схему раскрытия модуля:
а) если знак подмодульного выражения неотрицателен, то знак модуля опускается: |а| =а.
б) если знак подмодульного выражения отрицателен, то подмодульное выражение умножается на (-1), то есть заменяется противоположенным выражением: |а| =-1а.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1.1
а) т.к. с 0, то -7х 5;
б) |3+х|, если х 5, то х-2 > 0, поэтому |х-2|=х-2;
в) т.к. х 0, |8-х|= 8 – х, х-6 (=) 2/3 3х – 2 >(=)0, следовательно, |3[ – 2|= 3х – 2.
4. Задания для самостоятельной работы
б) |- 3/7х|, если х 2 |, если а > 0;
г) |8 + х|, если х > -7;
д) |х – 5| – |х + 4|, если -3 13.
3. Решить неравенство самостоятельно:
4. Решить уравнение:
5. Решить уравнение:
6. Решить неравенство:
7. Найдите наибольшее натуральное значение параметра с при котором решение неравенства
- ||2х + 4| – 7| – 13 ≤ 2с 2 удовлетворяет условию х [-37; 35].
Это задание можно предложить сильным школьникам для домашней работы с последующей проверкой на уроке.
Решения и ответы:
1. Для решения уравнении используем рисунок на доске и правило: «Модуль – это расстояние»:
2. Для решения неравенства сделаем ещё два рисунка.
Значение выражения, стоящего под модулем, не должно превышать 2, значит
Значение выражения, стоящего под модулем, должно быть больше, чем 48 единиц, значит:
18 – х ≥ 48 или 18 – х ≤ -48 => х ≤ -30 или х ≥66.
Модуль числа — знак, свойства, действия, как найти, примеры графиков
Модуль числа легко найти, и теория, которая лежит в его основе, важна при решении задач.
Свойства и правила раскрытия, используемые при решении упражнений и на экзаменах, будут полезны школьникам и студентам. Заработай деньги с помощью своих знаний на https://teachs.ru!
Что такое модуль в математике
Модуль числа описывает расстояние на числовой линии от нуля до точки без учета того, в каком направлении от нуля лежит точка. Математическое обозначение: |x|.
Иными словами, это абсолютная величина числа. Определение доказывает, что значение никогда не бывает отрицательным.
Свойства модуля
Важно помнить о следующих свойствах:
- Правило раскрытия: абсолютная величина любого числа больше или равна нулю:
- Если абсолютные значения содержат выражения противоположных значений, они равны:
- Значение числа не превышает величину его модуля:
- Правило раскрытия при произведении:
- Правило, применимое при делении:
- При возведении в степень:
- Сумма величин:
- Двойной модуль:
Модуль комплексного числа
Абсолютной величиной комплексного числа называют длину направленного отрезка, проведенного от начала комплексной плоскости до точки (a, b).
Этот направленный отрезок также является вектором, представляющим комплексное число a + bi, поэтому абсолютная величина комплексного числа – это то же самое, что и величина (или длина) вектора, представляющего a+ bi.
Как решать уравнения с модулем
Уравнение с модулем – это равенство, которое содержит выражение абсолютного значения. Если для действительного числа оно представляет его расстояние от начала координат на числовой линии, то неравенства с модулем являются типом неравенств, которые состоят из абсолютных значений.
Уравнения типа |x| = a
Уравнение |x| = a имеет два ответа x = a и x = –a, потому что оба варианта находятся на координатной прямой на расстоянии a от 0.
Равенство с абсолютной величиной не имеет решения, если величина отрицательная.
Источники:
http://lektsii.org/1-17730.html
http://urok.1sept.ru/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/676940/
Модуль числа — знак, свойства, действия, как найти, примеры графиков
Загрузка...
