Пересечение поверхности конуса вращения с плоскостью. Поверхности вращения

Пересечение плоскостью поверхности вращения

Линия пересечения кривой поверхности плоскостью представляет собой плоскую кривую линию (сечение), для построения которой необходимо определить отдельные точки сечения и соединить и последовательно плавной кривой.

Построение точек сечения поверхности вращения, как правило, начинают с определения опорных точек. К ним относятся следующие точки: высшая и низшая, ближайшая и наиболее удаленная, точки видимости и др.

Остальные точки (промежуточные) находятся либо по линиям связи, т.е. без дополнительных построений, либо с применением вспомогательных секущих плоскостей.

Пример 1. На рис. 140 даны поверхность вращения и фронтальнопроецирующая плоскость Р. Построить проекции и истинный вид сечения поверхности плоскостью.

Сначала находим опорные точки линии пересечения, а потом ряд промежуточных ее точек. Опорными точками являются:

точки 1 и 2 — точки встречи главного меридиана с плоскостью Р (одновременно это высшая и низшая, крайняя левая и крайняя правая точки сечения);

точки 3 и 4 — точки встречи экватора с плоскостью Р (ближайшая и наиболее удаленная точки сечения).

Указанные точки являются также точками границ видимости линии сечения соответственно на фронтальной и на горизонтальной проекции.

Для построения горизонтальных проекций промежуточных точек проводим ряд вспомогательных горизонтальных плоскостей (b₁,b₂,b₃), каждая из которых пересекает поверхность вращения по окружности соответствующего радиуса, а плоскость Р — по горизонтали, перпендикулярной плоскости V.

На пересечении горизонтальных проекций окружностей с горизонтальными проекциями горизонталей находятся горизонтальные проекции искомых точек.

Конические сечения

Коническими сечениями называются линии, которые получаются при пересечении поверхности конуса второго порядка с плоскостью. К числу этих линий относятся следующие: окружность, двойная прямая, две пересекающиеся прямые, эллипс, парабола, гипербола. Простейшим коническим сечением является точка.

Рассмотрим все виды конических сечений и условия, при которых они получаются, на примере конуса вращения, пересеченного проецирующими плоскостями рис. 141:

1) точка S, когда плоскость a пересекает только вершину конуса (рис. 141а);

2) окружность, когда секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса (рис. 141б);

3) двойная прямая, когда секущая плоскость является предельной, т. е. касательной к поверхности конуса (рис. 141в);

4) две пересекающиеся прямые, когда секущая плоскость проходит через вершину (рис. );

5) эллипс, когда плоскость пересекает все образующие конуса

и когда она не перпендикулярна его оси (рис. 141а).

Признак, при котором получится эллипс, может быть выражен еще иначе. Обозначим половину угла при вершине конуса через j, а угол наклона секущей плоскости к оси конуса — через y. Тогда

Для построения фронтальной проекции эллипса вначале отмечаем опорные точки А и В. Отрезок А”В”— фронтальная проекция большой оси эллипса (всей фигуры сечения).

Горизонтальная проекция эллипса строится по фронтальной. Для этого отрезок А”В” делится точкой С” пополам. В точку С”ºD” спроецируется малая ось эллипса, перпендикулярная к плоскости проекций V.

Читать еще: Как привлечь удачу в делах и любви. Как раскрыть силу гвоздя

Для построения горизонтальных проекций промежуточных точек проводим ряд вспомогательных горизонтальных плоскостей (b₁,b₂,b₃), каждая из которых пересекает поверхность конуса по окружности соответствующего радиуса, а плоскость a — по горизонтали, перпендикулярной плоскости V.

Натуральная величина эллипса может быть легко построена методом замены плоскостей проекций. Для этого на произвольном расстоянии проведена ось симметрии фигуры сечения (большая ось эллипса), параллельно фронтальному следу проецирующей плоскости a, и в обе стороны от нее перпендикулярно отложены величины, взятые с горизонтальной проекции фигуры сечения (так как горизонтальные проекции хорд эллипса, параллельные его малой оси, равны их натуральной величине) (рис. 142).

6) Парабола, когда секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса; в этом случае y угол между плоскостью и осью конуса равен углу j между образующей и осью конуса (рис. 143). Фронтальная проекция параболы сливается со следом a₁ секущей плоскости. Для построения горизонтальной проекции параболы проводим ряд вспомогательных горизонтальных плоскостей (b₁,b₂), каждая из которых пересекает поверхность конуса по окружности, а плоскость a — по горизонтали, перпендикулярной к плоскости V. В пересечении горизонтальных проекций этих горизонталей с горизонтальными проекциями соответствующих окружностей получаем точки D‘, E’, J‘, K‘. Горизонтальную проекцию A‘ вершины параболы, а также горизонтальные проекции B‘ и C‘ точек, принадлежащих одновременно и окружности основания конуса получаем непосредственно, проводя линии из точек A” и B”º C” (рис. 143).

Натуральная величина параболы строится аналогично натуральной величине эллипса (рис. 143).

7) Гипербола, когда секущая плоскость параллельна оси конуса (рис. 144). В этом случае угол j равен нулю.

Так как секущая плоскость a – профильная плоскость, фронтальная и горизонтальная плоскости гиперболы являются отрезками прямых. Точки A” и P” являются фронтальными проекциями вершин параболы. Их горизонтальные проекции A‘º P’ определяются по линии связи (рис. 144). Промежуточные точки D, E, J, K найдены с помощью вспомогательных горизонтальных плоскостей (b₁,b₂).

Для построения натуральной величины гипербола совмещена с плоскостью H путем вращения вокруг хорды BC. Если образующие конуса, которым параллельна плоскость a , ортогонально спроецировать на эту плоскость, то получим асимптоты гиперболы, которые совмещены с горизонтальной плоскостью проекций H (рис. 144).

Пересечение поверхности вращения плоскостью

Лекция 10

Форма сечения поверхности вращения плоскостью зависит от угла наклона секущей плоскости к оси вращения поверхности.

Если секущая плоскость:

1) перпендикулярна оси вращения, сечение – окружность;

2) наклонена к оси и пересекает все образующие – эллипс;

3) параллельна одной образующей – парабола;

4) параллельна двум образующим – гипербола;

5) проходит через вершину – две пересекающиеся прямые;

6) касается поверхности – прямая.

Вся совокупность этих линий может быть получена при пересечении конуса плоскостью. Поэтому их называют коническими сечениями, или кониками.

Читать еще: Можно ли загорать принимая метотрексат. Ревматоидный артрит и солнце

Для построения линии пересечения необходимо найти общие точки поверхности и заданной плоскости. Для определения этих точек необходимо ввести дополнительные секущие плоскости, которые дают наиболее простые линии сечения – окружности или ломаные прямые.

Построение линии сечения начинают с нахождения характерных точек сечения, к которым относятся:

1) высшая и низшая точки;

2) крайняя левая и крайняя правая точки, в которых проекции линии сечения касаются очерковых образующих (точки, лежащие на границе видимости);

3) ближайшая и наиболее удаленная точки сечения.

Пример: Определить линию сечения конуса плоскостью общего положения Q(hÇf). Построить развертку нижней отсеченной поверхности конуса.

Анализ формы линии пересечения

Заданная плоскость пересекает только боковую поверхность конуса, следовательно, линией сечения q является эллипс.

Характерные точки линии пересечения:

1) Высшая и низшая точки сечения (А, В) определяют большую ось эллипса и лежат на линии наибольшего наклона плоскости к плоскости основания конуса. Эти точки определяются с помощью дополнительной плоскости .

О – центр эллипса

2) Малая ось эллипса (С, D) перпендикулярна к линии наибольшего наклона (большой оси), т.е. лежит на горизонтали плоскости .

3) Точки границы видимости (E, F) сечения на лежат в плоскости , делящей конус на видимую и невидимую части по отношению к фронтальной плоскости проекций.

Развертка

Полная развертка боковой поверхности конуса представляет собой угол кругового сектора. Ее можно построить двумя способами:

1. Нахождение угла кругового сектора.

где d – диаметр окружности основания конуса,

l – длина образующей.

2. Способ малых хорд.

Графическое построение величины осуществляется способом малых хорд, при котором окружность основания конуса делится на 8 или 12 равных частей и полученная длина дуги приравнивается ее хорде.

Разрывать отсеченную боковую поверхность следует по наиболее короткой или длинной образующей, так чтобы развертка представляла собой симметричную фигуру и была единым целым.

109.201.137.33 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Пересечение поверхности конуса вращения с плоскостью

Конус вращения представляет собой частный случай, когда его ось вращения / _L Определитель конуса вращения выражается формулой Ф (/’, /), где / — прямолинейная образующая (рис. 152).

Построение точки на поверхности конуса является, как известно, простейшей задачей. Для построения недостающей проекции точки нужно провести линию на поверхности через эту точку. Для поверхностей вращения эти линии являются прямолинейными (для конуса — /) или криволинейными меридианами и круговыми параллелями р. Непрерывное множество меридианов образует непрерывный каркас прямолинейных образующих поверхности конуса. Проекции точек, принадлежащих поверхности конуса, удобно строить с помощью параллелей и меридианов. Если точки Nn М принадлежат образующей конуса SM, совпадающей на фронтальной плоскости проекций П₂ с проекцией оси /₂, то на горизонтальной плоскости проекций n_t следует их строить с помощью параллелир (рис. 152, а). Точно так же для повышения точности графического построения можно построить с помощью параллели р точку А, определенную на эпюре с помощью образующей АВ (рис. 152, б).

Читать еще: Железные монеты во сне. Юбилейная монета

Линии, которые образуются при пересечении поверхности прямого конуса с плоскостью, называются коническими сечениями.

Если плоскость, пересекающая прямой конус вращения, параллельна горизонтальной плоскости проекций П_1? то в сечении конической поверхности будет окружность, т.е. кривая идет по параллели. При пересечении плоскостью, которая не параллельна ни одной из его образующих, в сечении получится эллипс (рис. 153).

Фронтально проецирующая плоскость Е на фронтальной плоскости проекций П₂ рассекает конус по проекции большой оси 1₂-2₂

эллипса. Она проецируется без искажений. Точки 1 и 2 являются опорными. Через середину большой оси эллипса проведена вспомогательная секущая плоскость (3 || flj — горизонтальная плоскость уровня, пересекающая конус по параллели р’. Эта параллель проецируется на Щ в натуральную величину. Проекционная линия связи в пересечении с проекцией параллели р’ отметит на П j малую ось эллипса 3J-4J. На П! она проецируется в натуральную величину. Для построения промежуточных точек 5 и 6 кривой сечения вводим дополнительную секущую горизонтальную плоскость уровня у || П,.

Точки 7 и 8 построены как симметричные точкам 5 и 6 относительно малой оси 3-4 эллипса. Натуральная величина кривой сечения эллипса построена при помощи способа замены плоскостей проекций П,/П₂ —> П₂/П₄.

Если секущая плоскость — фронтально проецирующая плоскость I ± П₂ — параллельна одной образующей конуса, то в сечении конуса получается парабола (рис. 154).

Опорные точки 1 — вершина парабола, точки 2 и 3 — следы параболы на плоскости у основания конуса. На рис. 154 показана вспомогательная секущая плоскость уровня (3, с помощью которой построены промежуточные точки 4 и 5 аналогично алгоритму построения эллиптического сечения. Натуральная величина параболы построена с помощью способа замены плоскостей проекций.

Рис. 154 146

Гиперболическое сечение конуса получается, если секущая плоскость Е _L П₂ параллельна двум образующим конуса. При прохождении такой плоскости через вершину конуса точку S гипербола вырождается в две прямые (образующие конуса). Секущая плоскость Е параллельна двум образующим конуса SA и SB и пересекает конус по гиперболе (рис. 155).

Секущая плоскость ? пересекает коническую поверхность таким образом, что в сечении получаются две ветви гиперболы, имеющие одну действительную ось i и другую мнимую, перпендикулярную к i ось у. В точке О гипербола имеет две взаимно перпендикулярные асимптоты, которые касаются ветвей гиперболы в двух бесконечно удаленных точках и принадлежат плоскости гиперболы. Асимптоты гиперболы параллельны образующим SA и SB конуса. Проводим горизонтальную плоскость уровня Р || П] и строим точки 5 и 6. Далее строим точки 7 и 8 как симметричные точкам 5 и 6 относительно мнимой оси гиперболы j. Натуральную величину ветвей гиперболы строят с помощью замены плоскостей проекций.

Источники:

http://studopedia.ru/18_71400_peresechenie-ploskostyu-poverhnosti-vrashcheniya.html

http://studopedia.ru/1_88735_peresechenie-poverhnosti-vrashcheniya-ploskostyu.html

http://studref.com/418834/matematika_himiya_fizik/peresechenie_poverhnosti_konusa_vrascheniya_ploskostyu