Определение одночлена: сопутствующие понятия, примеры. Понятие одночлена

Определение одночлена, сопутствующие понятия, примеры.

Одним из видов выражений курса алгебры являются одночлены. В этой статье мы разберемся, какие выражения называют одночленами, скажем про их стандартный вид и приведем примеры. А после этого подробно остановимся на сопутствующих понятиях – степени и коэффициенте одночлена.

Навигация по странице.

Что такое одночлен? Определение, примеры

Первое запланированное знакомство с одночленами происходит в 7 классе средней школы. Там дается следующее определение одночлена:

Одночлены – это числа, переменные, их степени с натуральным показателем, а также всевозможные составленные из них произведения.

Озвученное определение позволяет привести примеры одночленов. Каждое из чисел 1 , 7 , 1 002 , 0 , −1 , −7 , 0,8 , 1/4 , – это одночлен. Любая переменная, к примеру, a , b , p , q , t , x , y , z – это тоже одночлены по определению. Одночленами являются и степени чисел и переменных, например, 2 3 , (−3,41) 7 , x 2 и t 115 . Но наиболее яркими представителями одночленов являются произведения чисел, переменных и их степеней: 5·x , 7·(−3)·x·y 3 ·6 , x·x·y 3 ·x·y 2 ·z и т.п. Из приведенных примеров видно, что в составе одночлена может быть как одно, так и несколько чисел, как одна, так и несколько переменных и их степеней, причем они могут повторяться.

До 7 класса в школе были изучены натуральные, целые и рациональные числа, они и фигурируют в приведенных выше примерах одночленов. Однако нужно заметить, что определение одночлена в указанной формулировке остается в силе после знакомства с действительными числами и комплексными числами. Так , 2·π·x 3 и – это тоже одночлены.

Стандартный вид одночлена

С одночленами удобно работать, когда они приведены к так называемому стандартному виду.

Стандартный вид одночлена – это такой вид одночлена, в котором он представлен как произведение числового множителя (который обычно записывают перед остальными множителями слева и называют коэффициентом одночлена) и натуральных степеней различных переменных.

Для пояснения приведем примеры нескольких одночленов стандартного вида: 5 (этот одночлен не содержит переменных), 2·a , −7·x 2 ·y 3 , , x·y (здесь коэффициент равен единице), −x 3 (здесь коэффициент равен −1 ). А вот одночлены 4·a·a 2 ·a 3 и 5·x·(−1)·3·y 2 записаны не в стандартном виде, так как первый из них содержит одинаковые переменные, а второй – несколько числовых множителей.

Отметим, что в одночленах стандартного вида принято буквенные множители записывать в алфавитном порядке. Например, одночлен b 4 ·6·a·z 2 ·c предпочтительнее записать как 6·a·b 4 ·c·z 2 . Давайте договоримся в дальнейшем везде записывать переменные в составе одночлена в алфавитном порядке. Записывать переменные не в алфавитном порядке мы будем только тогда, когда будем преследовать какую-то определенную цель.

Любой одночлен путем тождественных преобразований может быть представлен в стандартном виде. Иными словами, можно любой одночлен привести к стандартному виду.

Степень одночлена

Для одночлена существует понятие его степени. Разберемся, что это такое.

Степень одночлена стандартного вида – это сумма показателей степеней всех переменных, входящих в его запись; если в записи одночлена нет переменных, и он отличен от нуля, то его степень считается равной нулю; число нуль считается одночленом, степень которого не определена.

Определение степени одночлена позволяет привести примеры. Степень одночлена a равна единице, так как a это есть a 1 . Степень одночлена 5 есть нуль, так как он отличен от нуля, и его запись не содержит переменных. А произведение 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 является одночленом восьмой степени, так как сумма показателей степеней всех переменных a , x и y равна 2+1+3+2=8 .

Кстати, степень одночлена, записанного не в стандартном виде, равна степени соответствующего одночлена стандартного вида. Для иллюстрации сказанного вычислим степень одночлена 3·x 2 ·y 3 ·x·(−2)·x 5 ·y . Этот одночлен в стандартном виде имеет вид −6·x 8 ·y 4 , его степень равна 8+4=12 . Таким образом, степень исходного одночлена равна 12 .

Коэффициент одночлена

Одночлен в стандартном виде, имеющий в своей записи хотя бы одну переменную, представляет собой произведение с единственным числовым множителем – числовым коэффициентом. Этот коэффициент называют коэффициентом одночлена. Оформим приведенные рассуждения в виде определения.

Коэффициент одночлена – это числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде.

Теперь можно привести примеры коэффициентов различных одночленов. Число 5 – это коэффициент одночлена 5·a 3 по определению, аналогично одночлен (−2,3)·x·y·z имеет коэффициент −2,3 .

Отдельного внимания заслуживают коэффициенты одночленов, равные 1 и −1 . Дело здесь в том, что они обычно не присутствуют в записи в явном виде. Считают, что коэффициент одночленов стандартного вида, не имеющих в своей записи числового множителя, равен единице. Например, одночлены a , x·z 3 , a·t·x и т.п. имеют коэффициент 1 , так как a можно рассматривать как 1·a , x·z 3 – как 1·x·z 3 и т.п.

Аналогично, коэффициентом одночленов, записи которых в стандартном виде не имеют числового множителя и начинаются со знака минус, считают минус единицу. К примеру, одночлены −x , −x 3 ·y·z 3 и т.п. имеют коэффициент −1 , так как −x=(−1)·x , −x 3 ·y·z 3 =(−1)·x 3 ·y·z 3 и т.п.

К слову, понятие коэффициента одночлена зачастую относят и к одночленам стандартного вида, представляющим собой числа без буквенных множителей. Коэффициентами таких одночленов-чисел считают эти числа. Так, например, коэффициент одночлена 7 считают равным 7 .

Что такое нестандартный вид одночлена. Определение одночлена, сопутствующие понятия, примеры

Урок на тему: “Стандартный вид одночлена. Определение. Примеры”

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине “Интеграл” для 7 класса
Электронное учебное пособие “Понятная геометрия” для 7-9 классов
Мультимедийное учебное пособие “Геометрия за 10 минут” для 7-9 классов

Одночлен. Определение

К одночленам относятся все числа, переменные, их степени с натуральным показателем:
42; 3; 0; 6 2 ; 2 3 ; b 3 ; ax 4 ; 4x 3 ; 5a 2 ; 12xyz 3 .

Довольно часто бывает трудно определить, относится ли данное математическое выражение к одночлену или нет. Например, $frac<4а^3><5>$. Это одночлен или нет? Чтобы ответить на этот вопрос надо упростить выражение, т.е. представить в виде: $frac<4><5>*а^3$.
Мы можем точно сказать, что данное выражение – одночлен.

Стандартный вид одночлена

Порядок приведения одночлена к стандартному виду следующий:
1. Перемножить коэффициенты одночлена (или числовые множители) и полученный результат поместить на первое место.
2. Выбрать все степени с одинаковым буквенным основанием и перемножить их.
3. Повторять пункт 2 для всех переменных.

Примеры.
I. Привести заданный одночлен $3x^2zy^3*5y^2z^4$ к стандартному виду.

Решение.
1. Перемножим коэффициенты одночлена $15х^2y^3z * y^2z^4$.
2. Теперь приведем подобные слагаемые $15х^2y^5z^5$.

II. Привести заданный одночлен $5a^2b^3 * frac<2><7>a^3b^2c$ к стандартному виду.

Решение.
1. Перемножим коэффициенты одночлена $frac<10><7>a^2b^3*a^3b^2c$.
2. Теперь приведем подобные слагаемые $frac<10><7>a^5b^5c$.

В этом уроке мы дадим строгое определение одночлена, рассмотрим различные примеры из учебника. Вспомним правила умножения степеней с одинаковыми основаниями. Дадим определение стандартного вида одночлена, коэффициента одночлена и его буквенной части. Рассмотрим два основных типовых действия над одночленами, а именно приведение к стандартному виду и вычисление конкретного численного значения одночлена при заданных значениях входящих в него буквенных переменных. Сформулируем правило приведения одночлена к стандартному виду. Научимся решать типовые задачи с любыми одночленами.

Тема: Одночлены. Арифметические операции над одночленами

Урок: Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена

Рассмотри некоторые примеры:

3. ;

Найдем общие черты для приведенных выражений. Во всех трех случаях выражение является произведением чисел и переменных, возведенных в степень. На основании этого дадим определение одночлена : одночленом называют такое алгебраическое выражение, которое состоит из произведения степеней и чисел.

Теперь приведем примеры выражений, не являющихся одночленами:

Найдем отличие этих выражений от предыдущих. Оно состоит в том, что в примерах 4-7 есть операции сложения, вычитания или деления, тогда как в примерах 1-3, являющихся одночленами, этих операций нет.

Приведем еще несколько примеров:

Выражение под номером 8 является одночленом, так как это произведение степени на число, тогда как пример 9 не является одночленом.

Теперь выясним действия над одночленами .

1.Упрощение. Рассмотрим пример №3 ;и пример №2 /

Во втором примере мы видим только один коэффициент – , каждая переменная встречается только один раз, то есть переменная «а » представлена в единственном экземпляре, как «», аналогично переменные «» и «» встречаются только один раз.

В примере №3 наоборот, есть два различных коэффициента – и , переменную «» мы видим дважды – как «» и как «», аналогично переменная «» встречается два раза. То есть, данное выражение следует упростить, таким образом, приходим к первому действию, выполняемому над одночленами – приведение одночлена к стандартному виду . Для этого приведем к стандартному виду выражение из примера 3, затем определим эту операцию и научимся приводить к стандартному виду любой одночлен.

Итак, рассмотри пример:

Первым действием в операции приведения к стандартному виду всегда нужно перемножить все числовые множители:

;

Результат данного действия будет называться коэффициентом одночлена .

Далее необходимо перемножить степени. Перемножим степени переменной «х » согласно правилу умножения степеней с одинаковыми основаниями, в котором говорится, что при умножении показатели степени складываются:

теперь перемножим степени «у »:

;

Итак, приведем упрощенное выражение:

;

Любой одночлен можно привести к стандартному виду. Сформулируем правило приведения к стандартному виду :

Перемножить все числовые множители;

Поставить полученный коэффициент на первое место;

Перемножить все степени, то есть получить буквенную часть;

То есть, любой одночлен характеризуется коэффициентом и буквенной частью. Забегая вперед, отметим, что одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть, называются подобными.

Теперь нужно наработать технику приведения одночленов к стандартному виду . Рассмотри примеры из учебника:

Задание: привести одночлен к стандартному виду, назвать коэффициент и буквенную часть.

Для выполнения задания воспользуемся правилом приведения одночлена к стандартному виду и свойствами степеней.

1. ;

3. ;

Комментарии к первому примеру : Для начала определим, действительно ли данное выражение является одночленом, для этого проверим, есть ли в нем операции умножения чисел и степеней и нет ли в нем операций сложения, вычитания или деления. Можем сказать, что данное выражение является одночленом, так как вышеуказанное условие выполняется. Далее, согласно правилу приведения одночлена к стандартному виду, перемножим численные множители:

– мы нашли коэффициент заданного одночлена;

; ; ; то есть, получена буквенная часть выражения:;

Комментарии ко второму примеру : Следуя правилу выполняем:

1) перемножить числовые множители:

2) перемножить степени:

Переменные и представлены в единственном экземпляре, то есть их перемножить ни с чем нельзя, они переписываются без изменений, степень перемножается:

;

В данном примере коэффициент одночлена равен единице, а буквенная часть .

Комментарии к третьему примеру: а налогично предыдущим примерам выполняем действия:

1) перемножить численные множители:

;

2) перемножить степени:

;

В данном случае коэффициент одночлена равен «», а буквенная часть .

Теперь рассмотрим вторую стандартную операцию над одночленами . Поскольку одночлен это алгебраическое выражение, состоящее из буквенных переменных, которые могут принимать конкретные числовые значения, то мы имеем арифметическое числовое выражение, которое следует вычислить. То есть, следующая операция над многочленами состоит в вычислении их конкретного числового значения .

Рассмотрим пример. Задан одночлен:

данный одночлен уже приведен к стандартному виду, его коэффициент равен единице, а буквенная часть

Ранее мы говорили, что алгебраическое выражение не всегда можно вычислить, то есть переменные, которые в него входят, могут принимать не любое значение. В случае одночлена же входящие в него переменные могут быть любыми, это является особенностью одночлена.

Итак, в заданном примере требуется вычислить значение одночлена при , , , .

Одночлены представляют собой произведения чисел, переменных и их степеней. Числа, переменные и их степени тоже считаются одночленами. Например: 12ac, -33, a^2b, a, c^9. Одночлен 5aa2b2b можно привести в вид 20a^2b^2.Такой вид называется стандартным видом одночлена.То есть, стандартный вид одночлена – это произведение коэффициента (стоящего на первом месте) и степеней переменных. Коэффициенты 1 и -1 не пишут, но от -1 сохраняют минус. Одночлен и его стандартный вид

Выражения 5a2x, 2a3(-3)x2, b2x являются произведениями чисел, переменных и их степеней. Такие выражения называются одночленами. Одночленами также считают числа, переменные и их степени.

Например, выражения – 8, 35,y и y2 – одночлены.

Стандартным видом одночлена называется одночлен в виде произведения числового множителя, стоящего на первом месте, и степеней различных переменных. Любой одночлен можно привести к стандартному виду путем перемножения всех переменных и чисел, входящих в него. Приведем пример приведения одночлена к стандартному виду:

4x2y4(-5)yx3 = 4(-5)x2x3y4y = -20x5y5

Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена. Например коэффициент одночлена -7x2y2 равен -7. Коэффициенты одночленов x3 и -xy считают равными 1 и -1, так как x3 = 1×3 и -xy = -1xy

Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех входящих в него переменных. Если одночлен не содержит переменных, то есть является числом, то его степень считают равной нулю.

Например степень одночлена 8x3yz2 равна 6, одночлена 6x равна 1, одночлена -10 равна 0.

Умножение одночленов. Возведение одночленов в степень

При умножении одночленов и возведении одночленов в степень используется правило умножения степеней с одинаковым основанием и правило возведения степени в степень. При этом получается одночлен, который обычно представляют в стандартном виде.

4x3y2(-3)x2y = 4(-3)x3x2y2y = -12x5y3

((-5)x3y2)3 = (-5)3×3*3y2*3 = -125x9y6

Мы отметили, что любой одночлен можно привести к стандартному виду . В этой статье мы разберемся, что называют приведением одночлена к стандартному виду, какие действия позволяют осуществить этот процесс, и рассмотрим решения примеров с подробными пояснениями.

Навигация по странице.

Что значит привести одночлен к стандартному виду?

С одночленами удобно работать, когда они записаны в стандартном виде . Однако достаточно часто одночлены задаются в виде, отличном от стандартного. В этих случаях всегда можно перейти от исходного одночлена к одночлену стандартного вида, выполнив тождественные преобразования . Процесс проведения таких преобразований называют приведением одночлена к стандартному виду.

Обобщим приведенные рассуждения. Привести одночлен к стандартному виду – это значит выполнить с ним такие тождественные преобразования, чтобы он принял стандартный вид.

Как привести одночлен к стандартному виду?

Пришло время разобраться с тем, как приводить одночлены к стандартному виду.

Как известно из определения, одночлены нестандартного вида представляют собой произведения чисел, переменных и их степеней, причем, возможно, повторяющихся. А одночлен стандартного вида может содержать в своей записи только одно число и неповторяющиеся переменные или их степени. Теперь осталось понять, как произведения первого вида привести к виду вторых?

Для этого нужно воспользоваться следующим правилом приведения одночлена к стандартному виду , состоящим из двух шагов:

• Во-первых, выполняется группировка числовых множителей, а также одинаковых переменных и их степеней;
• Во-вторых, вычисляется произведение чисел и применяется .

В результате применения озвученного правила любой одночлен будет приведен к стандартному виду.

Примеры, решения

Осталось научиться применять правило из предыдущего пункта при решении примеров.

Приведите одночлен 3·x·2·x 2 к стандартному виду.

Сгруппируем числовые множители и множители с переменной x . После группировки исходный одночлен примет вид (3·2)·(x·x 2) . Произведение чисел в первых скобках равно 6 , а правило умножения степеней с одинаковыми основаниями позволяет выражение во вторых скобках представить как x 1 +2=x 3 . В итоге получаем многочлен стандартного вида 6·x 3 .

Приведем краткую запись решения: 3·x·2·x 2 =(3·2)·(x·x 2)=6·x 3 .

Итак, для приведения одночлена к стандартному виду необходимо уметь проводить группировку множителей, выполнять умножение чисел, и работать со степенями.

Для закрепления материала решим еще один пример.

Представьте одночлен в стандартном виде и укажите его коэффициент.

Исходный одночлен имеет в своей записи единственный числовой множитель −1 , перенесем его в начало. После этого отдельно сгруппируем множители с переменной a , отдельно – с переменно b , а переменную m группировать не с чем, оставим ее как есть, имеем . После выполнения действий со степенями в скобках одночлен примет нужный нам стандартный вид , откуда виден коэффициент одночлена , равный −1 . Минус единицу можно заменить знаком минус: .

Определение одночлена: сопутствующие понятия, примеры

Одночлены являются одним из основных видов выражений, изучаемых в рамках школьного курса алгебры. В этом материале мы расскажем, что это за выражения, определим их стандартный вид и покажем примеры, а также разберемся с сопутствующими понятиями, такими как степень одночлена и его коэффициент.

Что такое одночлен

В школьных учебниках обычно дается следующее определение этого понятия:

К одночленам относятся числа, переменные, а также их степени с натуральным показателем и разные виды произведений, составленные из них.

Исходя из этого определения, мы можем привести примеры таких выражений. Так, все числа 2 , 8 , 3004 , 0 , – 4 , – 6 , 0 , 78 , 1 4 , – 4 3 7 будут относиться к одночленам. Все переменные, например, x , a , b , p , q , t , y , z тоже будут по определению одночленами. Сюда же можно отнести степени переменных и чисел, например, 6 3 , ( − 7 , 41 ) 7 , x 2 и t 15 , а также выражения вида 65 · x , 9 · ( − 7 ) · x · y 3 · 6 , x · x · y 3 · x · y 2 · z и т.д. Обратите внимание, что в состав одночлена может входить как одно число или переменная, так и несколько, причем они могут быть упомянуты несколько раз в составе одного многочлена.

Такие виды чисел, как целые, рациональные, натуральные тоже относятся к одночленам. Также сюда можно включить действительные и комплексные числа. Так, выражения вида 2 + 3 · i · x · z 4 , 2 · x , 2 · π · x 3 тоже будут одночленами.

Что такое стандартный вид одночлена и как привести выражение к нему

Для удобства работы все одночлены сначала приводят к особому виду, называемому стандартным. Сформулируем конкретно, что же это значит.

Стандартным видом одночлена называют такой его вид, в которой он представляет из себя произведение числового множителя и натуральных степеней разных переменных. Числовой множитель, также называемый коэффициентом одночлена, обычно записывают первым с левой стороны.

Для наглядности подберем несколько одночленов стандартного вида: 6 (это одночлен без переменных), 4 · a , − 9 · x 2 · y 3 , 2 3 5 · x 7 . Сюда же можно отнести выражение x · y (здесь коэффициент будет равен 1 ), − x 3 (тут коэффициент равен – 1 ).

Теперь приведем примеры одночленов, которые нужно привести к стандартному виду: 4 · a · a 2 · a 3 (здесь нужно объединить одинаковые переменные), 5 · x · ( − 1 ) · 3 · y 2 (тут нужно объединить слева числовые множители).

Обычно в случае, когда одночлен имеет несколько переменных, записанных буквами, буквенные множители записывают в алфавитном порядке. Например, предпочтительнее запись 6 · a · b 4 · c · z 2 , чем b 4 · 6 · a · z 2 · c . Однако порядок может быть и другим, если этого требует цель вычисления.

Привести к стандартному виду можно любой одночлен. Для этого нужно выполнить все необходимые тождественные преобразования.

Понятие степени одночлена

Очень важным является сопутствующее понятие степени одночлена. Запишем определение данного понятия.

Степенью одночлена, записанного в стандартном виде, является сумма показателей степеней всех переменных, которые входят в его запись. Если ни одной переменной в нем нет, а сам одночлен отличен от 0 , то его степень будет нулевой.

Сам нуль принято считать одночленом с неопределенной степенью.

Приведем примеры степеней одночлена.

Так, одночлен a имеет степень, равную 1 , поскольку a = a 1 . Если у нас есть одночлен 7 ,то он будет иметь нулевую степень, поскольку в нем нет переменных и он отличен от 0 . А вот запись 7 · a 2 · x · y 3 · a 2 будет одночленом 8 -й степени, ведь сумма показателей всех степеней переменных, включенных в него, будет равна 8 : 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .

Одночлен, приведенный к стандартному виду, и исходный многочлен будут иметь одинаковую степень.

Покажем, как подсчитать степень одночлена 3 · x 2 · y 3 · x · ( − 2 ) · x 5 · y . В стандартном виде его можно записать как − 6 · x 8 · y 4 . Вычисляем степень: 8 + 4 = 12 . Значит, степень исходного многочлена также равна 12 .

Понятие коэффициента одночлена

Если у нас есть одночлен, приведенный к стандартному виду, который включает в себя хотя бы одну переменную, то мы говорим о нем как о произведении с одним числовым множителем. Этот множитель называют числовым коэффициентом, или коэффициентом одночлена. Запишем определение.

Коэффициентом одночлена называют числовой множитель одночлена, приведенного к стандартному виду.

Возьмем для примера коэффициенты различных одночленов.

Так, в выражении 8 · a 3 коэффициентом будет число 8 , а в ( − 2 , 3 ) · x · y · z им будет − 2 , 3 .

Особое внимание надо уделить коэффициентам, равным единице и минус единице. Как правило, в явном виде их не указывают. Считается, что в одночлене стандартного вида, в котором нет числового множителя, коэффициент равен 1 , например, в выражениях a , x · z 3 , a · t · x , поскольку их можно рассматривать как как 1 · a , x · z 3 – как 1 · x · z 3 и т.д.

Точно так же в одночленах, в которых нет числового множителя и которые начинаются со знака минус, мы можем считать коэффициентом – 1 .

Например, такой коэффициент будет у выражений − x , − x 3 · y · z 3 , поскольку они могут быть представлены как − x = ( − 1 ) · x , − x 3 · y · z 3 = ( − 1 ) · x 3 · y · z 3 и т.д.

Если у одночлена вообще нет ни одного буквенного множителя, то говорить о коэффициенте можно и в этом случае. Коэффициентами таких одночленов-чисел будут сами эти числа. Так, например, коэффициент одночлена 9 будет равен 9 .

Источники:

http://www.cleverstudents.ru/expressions/monomials_definition.html

http://stomatp22.ru/chto-takoe-nestandartnyi-vid-odnochlena-opredelenie-odnochlena-soputstvuyushchie.html

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vyrazhenija/opredelenie-odnochlena/