Как решить систему уравнений с комплексными числами. Уравнения онлайн

Как решить комплексное уравнение по математике

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Для наглядности решим такое задание:

Вычислить [ (z_1cdot z_2)^<10>,] если [z_1=-1+sqrt 3i, z_2=frac<1><4>(cos 30^+isin30^).]

В первую очередь обратим внимание на то, что одно число представлено в алгебраической, другое — в тригонометрической форме. Его необходимо упростить и привести к следующему виду

Выражение [z_1cdot z_2^10] говорит о том, что в первую очередь делаем умножение и возведение в 10-ю степень по формуле Муавра. Эта формула сформулирована для тригонометрической формы комплексного числа. Получим:

Придерживаясь правил умножения комплексных чисел в тригонометрической форме, сделаем следующее:

[z_1=begin z_1 endcdot(cos varphi _1+isinvarphi _1), z_2=begin z_2 endcdot(cos varphi _2+isinvarphi _2),]

[z_1 cdot z_2=begin z_1 endcdotbegin z_2 endcdot (cos (varphi _1+varphi _2)+isin(varphi _1+varphi _2))]

Далее применяем формулу Муавра [ z^n=begin z end^ncdot(cos(nvarphi)+isin(nvarphi),] которая является следствием указанного выше правила:

Делая дробь [frac<25><3>=8frac<1><3>] правильной, приходим к выводу, что можно «скрутить» 4 оборота [(8pi рад.):]

Данное уравнение можно решить еще одним способом, который сводится к тому, чтобы привести 2 -е число в алгебраическую форму, после чего выполнить умножение в алгебраической форме, перевести результат в тригонометрическую форму и применить формулу Муавра:

Где можно решить систему уравнений с комплексными числами онлайн?

Решить систему уравнений вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды.

Мы решим вам контрольные, домашние задания, олимпиадные задачи с подробными шагами. Останется только переписать в тетрадь!

Как решить систему уравнений с комплексными числами. Уравнения онлайн

Сервис для решения уравнений онлайн поможет вам решить любое уравнение. Используя наш сайт, вы получите не просто ответ уравнения, но и увидите подробное решение, то есть пошаговое отображение процесса получения результата. Наш сервис будет полезен старшеклассникам общеобразовательных школ и их родителям. Ученики смогут подготовиться к контрольным, экзаменам, проверить свои знания, а родители – проконтролировать решение математических уравнений своими детьми. Умение решать уравнения – обязательное требование к школьникам. Сервис поможет вам самообучаться и повышать уровень знаний в области математических уравнений. С его помощью вы сможете решить любое уравнение: квадратное, кубическое, иррациональное, тригонометрическое и др. Польза онлайн сервиса бесценна, ведь кроме верного ответа вы получаете подробное решение каждого уравнения. Преимущества решения уравнений онлайн. Решить любое уравнение онлайн на нашем сайте вы можете абсолютно бесплатно. Сервис полностью автоматический, вам ничего не придется устанавливать на свой компьютер, достаточно будет только ввести данные и программа выдаст решение. Любые ошибки в расчетах или опечатки исключены. С нами решить любое уравнение онлайн очень просто, поэтому обязательно используйте наш сайт для решения любых видов уравнений. Вам необходимо только ввести данные и расчет будет выполнен за считанные секунды. Программа работает самостоятельно, без человеческого участия, а вы получаете точный и подробный ответ. Решение уравнения в общем виде. В таком уравнении переменные коэффициенты и искомые корни связаны между собой. Старшая степень переменной определяет порядок такого уравнения. Исходя из этого, для уравнений используют различные методы и теоремы для нахождения решений. Решение уравнений данного типа означает нахождение искомых корней в общем виде. Наш сервис позволяет решить даже самое сложное алгебраическое уравнение онлайн. Вы можете получить как общее решение уравнения, так и частное для указанных вами числовых значений коэффициентов. Для решения алгебраического уравнения на сайте достаточно корректно заполнить всего два поля: левую и правую части заданного уравнения. У алгебраических уравнений с переменными коэффициентами бесконечное количество решений, и задав определенные условия, из множества решений выбираются частные. Квадратное уравнение. Квадратное уравнение имеет вид ax^2+bx+с=0 при а>0. Решение уравнений квадратного вида подразумевает нахождение значений x, при которых выполняется равенство ax^2+bx+с=0. Для этого находится значение дискриминанта по формуле D=b^2-4ac. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет действительных корней (корни находятся из поля комплексных чисел), если равен нулю, то у уравнения один действительный корень, и если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два действительных корня, которые находятся по формуле: D= -b+-sqrt/2а. Для решения квадратного уравнения онлайн вам достаточно ввести коэффициенты такого уравнения (целые числа, дроби или десятичные значения). При наличии знаков вычитания в уравнении необходимо поставить минус перед соответствующими членами уравнения. Решить квадратное уравнение онлайн можно и в зависимости от параметра, то есть переменных в коэффициентах уравнения. С этой задачей отлично справляется наш онлайн сервис по нахождению общих решений. Линейные уравнения. Для решения линейных уравнений (или системы уравнений) на практике используются четыре основных метода. Опишем каждый метод подробно. Метод подстановки. Решение уравнений методом подстановки требует выразить одну переменную через остальные. После этого выражение подставляется в другие уравнения системы. Отсюда и название метода решения, то есть вместо переменной подставляется ее выражение через остальные переменные. На практике метод требует сложных вычислений, хотя и простой в понимании, поэтому решение такого уравнения онлайн поможет сэкономить время и облегчить вычисления. Вам достаточно указать количество неизвестных в уравнении и заполнить данные от линейных уравнений, далее сервис сделает расчет. Метод Гаусса. В основе метода простейшие преобразования системы с целью прийти к равносильной системе треугольного вида. Из нее поочередно определяются неизвестные. На практике требуется решить такое уравнение онлайн с подробным описанием, благодаря чему вы хорошо усвоите метод Гаусса для решения систем линейных уравнений. Запишите в правильном формате систему линейных уравнений и учтите количество неизвестных, чтобы безошибочно выполнить решение системы. Метод Крамера. Этим методом решаются системы уравнений в случаях, когда у системы единственное решение. Главное математическое действие здесь – это вычисление матричных определителей. Решение уравнений методом Крамера проводится в режиме онлайн, результат вы получаете мгновенно с полным и подробным описанием. Достаточно лишь заполнить систему коэффициентами и выбрать количество неизвестных переменных. Матричный метод. Этот метод заключается в собрании коэффициентов при неизвестных в матрицу А, неизвестных – в столбец Х, а свободных членов в столбец В. Таким образом система линейных уравнений сводится к матричному уравнению вида АхХ=В. У этого уравнения единственное решение только если определитель матрицы А отличен от нуля, иначе у системы нет решений, либо бесконечное количество решений. Решение уравнений матричным методом заключается в нахождении обратной матрицы А.

Читать еще:  Сообщение о имени елизавета. Что означает имя елизавета

Для решения задач с комплексными числами необходимо разобраться с основными определениями. Главная задача данной обзорной статьи — объяснить, что же такое комплексные числа, и предъявить методы решения основных задач с комплексными числами. Итак, комплексным числом будем называть число вида z = a + bi , где a, b — вещественные числа, которые называют действительной и мнимой частью комплексного числа соответственно и обозначают a = Re(z), b=Im(z) .
i называется мнимой единицей. i 2 = -1 . В частности, любое вещественное число можно считать комплексным: a = a + 0i , где a — вещественное. Если же a = 0 и b ≠ 0 , то число принято называть чисто мнимым.

Теперь введем операции над комплексными числами.
Рассмотрим два комплексных числа z 1 = a 1 + b 1 i и z 2 = a 2 + b 2 i .

Рассмотрим z = a + bi .

Множество комплексных чисел расширяет множество вещественных чисел, которое в свою очередь расширяет множество рациональных чисел и т.д. Эту цепочку вложений можно рассмотреть на рисунке: N – натуральные числа, Z — целые, Q – рациональные, R – вещественные, C – комплексные.

Представление комплексных чисел

Алгебраическая форма записи.

Рассмотрим комплексное число z = a + bi , такая форма записи комплексного числа называется алгебраической . Эту форму записи мы уже подробно разобрали в предыдущем разделе. Довольно часто используют следующий наглядный рисунок

Тригонометрическая форма.

Из рисунка видно, что число z = a + bi можно записать иначе. Очевидно, что a = rcos(φ) , b = rsin(φ) , r=|z| , следовательно z = rcos(φ) + rsin(φ)i , φ ∈ (-π; π) называется аргументом комплексного числа. Такое представление комплексного числа называется тригонометрической формой . Тригонометрическая форма записи порой очень удобна. Например, ее удобно использовать для возведения комплексного числа в целую степень, а именно, если z = rcos(φ) + rsin(φ)i , то z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i , эта формула называется формулой Муавра .

Показательная форма.

Рассмотрим z = rcos(φ) + rsin(φ)i — комплексное число в тригонометрической форме, запишем в другом виде z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ , последнее равенство следует из формулы Эйлера, таким образом мы получили новую форму записи комплексного числа: z = re iφ , которая называется показательной . Такая форма записи так же очень удобна для возведения комплексного числа в степень: z n = r n e inφ , здесь n не обязательно целое, а может быть произвольным вещественным числом. Такая форма записи довольно часто используется для решения задач.

Читать еще:  А некрасов русские женщины читать. Русские женщины текст

Основная теорема высшей алгебры

Представим, что у нас есть квадратное уравнение x 2 + x + 1 = 0 . Очевидно, что дискриминант этого уравнения отрицателен и вещественных корней оно не имеет, но оказывается, что это уравнение имеет два различных комплексных корня. Так вот, основная теорема высшей алгебры утверждает, что любой многочлен степени n имеет хотя бы один комплексный корень. Из этого следует, что любой многочлен степени n имеет ровно n комплексных корней с учетом их кратности. Эта теорема является очень важным результатом в математике и широко применяется. Простым следствием из этой теоремы является такой результат: существует ровно n различных корней степени n из единицы.

Основные типы задач

В этом разделе будут рассмотрены основные типы простых задач на комплексные числа. Условно задачи на комплексные числа можно разбить на следующие категории.

  • Выполнение простейших арифметических операций над комплексными числами.
  • Нахождение корней многочленов в комплексных числах.
  • Возведение комплексных чисел в степень.
  • Извлечение корней из комплексных чисел.
  • Применение комплексных чисел для решения прочих задач.

Теперь рассмотрим общие методики решения этих задач.

Выполнение простейших арифметических операций с комплексными числами происходит по правилам описанным в первом разделе, если же комплексные числа представлены в тригонометрической или показательной формах, то в этом случае можно перевести их в алгебраическую форму и производить операции по известным правилам.

Нахождение корней многочленов как правило сводится к нахождению корней квадратного уравнения. Предположим, что у нас есть квадратное уравнение, если его дискриминант неотрицателен, то его корни будут вещественными и находятся по известной формуле. Если же дискриминант отрицателен, то есть D = -1∙a 2 , где a — некоторое число, то можно представить дискриминант в виде D = (ia) 2 , следовательно √D = i|a| , а дальше можно воспользоваться уже известной формулой для корней квадратного уравнения.

Пример . Вернемся к упомянутому выше квадратному уравнению x 2 + x + 1 = 0 .
Дискриминант — D = 1 — 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2 .
Теперь с легкостью найдем корни:

Возведение комплексных чисел в степень можно выполнять несколькими способами. Если требуется возвести комплексное число в алгебраической форме в небольшую степень (2 или 3), то можно сделать это непосредственным перемножением, но если степень больше (в задачах она часто бывает гораздо больше), то нужно записать это число в тригонометрической или показательной формах и воспользоваться уже известными методами.

Пример . Рассмотрим z = 1 + i и возведем в десятую степень.
Запишем z в показательной форме: z = √2 e iπ/4 .
Тогда z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4 .
Вернемся к алгебраической форме: z 10 = -32i .

Извлечение корней из комплексных чисел является обратной операцией по отношению к операции возведения в степень, поэтому производится аналогичным образом. Для извлечения корней довольно часто используется показательная форма записи числа.

Читать еще:  Вотинцев юрий всеволодович неизвестные войска исчезнувшей державы. Биография

Пример . Найдем все корни степени 3 из единицы. Для этого найдем все корни уравнения z 3 = 1 , корни будем искать в показательной форме.
Подставим в уравнение: r 3 e 3iφ = 1 или r 3 e 3iφ = e 0 .
Отсюда: r = 1 , 3φ = 0 + 2πk , следовательно φ = 2πk/3 .
Различные корни получаются при φ = 0, 2π/3, 4π/3 .
Следовательно 1 , e i2π/3 , e i4π/3 — корни.
Или в алгебраической форме:

Последний тип задач включается в себя огромное множество задач и нет общих методов их решения. Приведем простой пример такой задачи:

Найти сумму sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx) .

Хоть в формулировке этой задачи и не идет речь о комплексных числах, но с их помощью ее можно легко решить. Для ее решения используются следующие представления:


Если теперь подставить это представление в сумму, то задача сводится к суммированию обычной геометрической прогрессии.

Заключение

Комплексные числа широко применяются в математике, в этой обзорной статье были рассмотрены основные операции над комплексным числами, описаны несколько типов стандартных задач и кратко описаны общие методы их решения, для более подробного изучения возможностей комплексных чисел рекомендуется использовать специализированную литературу.

Решение уравнений с комплексными числами

Итак, необходимо решить уравнение с комплексными переменными, найти корни этого уравнения. Рассмотрим принцип решения комплексных уравнений, научимся извлекать корень из комплексного числа.

Для того, чтобы решить уравнение n-й степени с комплексными числами, используем общую формулу:


где |z| — модуль числа, φ = arg z — главное значение аргумента, n — степень корня, k — параметр, принимает значения : k = <0, 1, 2, 3, …n-1 >.

Пример 1. Найти все корни уравнения

Выразим z из уравнения:

Все корни заданного уравнения являются значениями корня третьей степени из комплексного числа

Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени n комплексного числа z. Найдем все необходимые значения для формулы:


Подставим найденные значения в формулу:

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения.

Пример 2. Найти все корни уравнения

Найдем дискриминант уравнения:


Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня. Вычислим корень из дискриминанта:

Найдем корни уравнения:


Ответ:

Пример 3. Найти все корни уравнения

Выразим z из уравнения:

Все корни заданного уравнения являются значениями корня четвертой степени из комплексного числа

Вновь используем общую формулу для нахождения корней уравнения n степени комплексного числа z.
n = 4 — количество корней данного уравнения. k = <0, 1, 2, 3>. Найдем модуль комплексного числа:

Подставим найденные значения в формулу:

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2, 3 найдем все 4 корня уравнения:

Пример 4. Найти корни уравнения


Решение кубического уравнения комплексными числами:

Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени 3 комплексного числа z.

Найдем все необходимые значения для формулы:


Подставим найденные значения в формулу:

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения:

Домашнее задание: Самостоятельно составить и решить уравнение с комплексными числами.

Условия: переменная z должна быть «спрятана» и представлена в качестве аргумента тригонометрической функции косинуса. Чтобы привести данное уравнение к привычной форме, нужно «вытащить» z, а для этого необходимо помнить, как решаются тригонометрические уравнения,а также знать, как применять свойства логарифмической функции от комплексного числа.

После того, как мы решили тригонометрическое уравнение с комплексным числом, получаем «голый» z, который представлен в качестве аргумента обратной тригонометрической функции. Чтобы преобразовать данное выражение, нужно использовать формулу разложения арккосинуса в логарифм.

Вместо z — выражение (3i/4) и дальше все делаем по приведенной выше формуле, преобразовывая выражение под корнем, используя свойства мнимой единицы i.

Как быть далее? Теперь будем использовать формулу для решения выражения с натуральным логарифмом.

Для того чтобы найти корни логарифмического уравнения, нужно найти модуль комплексного числа |z| и его аргумент φ = arg z. По сути, перед нами чисто мнимое число.

Теперь предлагаем ознакомиться с формулами, которые могут пригодиться при решении уравнений или неравенств с комплексными числами. Это формулы, где комплексное число выступает в роли аргумента тригонометрической функции, логарифмической функции или показательной функции.

Источники:

http://www.pocketteacher.ru/solve-system-of-equations-with-complex-numbers-ru

http://megazar.ru/idei-dizajjna-dlya-otdelnyh-komnat/kak-reshit-sistemu-uravnenii-s-kompleksnymi-chislami-uravneniya/

Решение уравнений с комплексными числами

Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector
×
×
×
×