Изучение теории конических сечений. Конические сечения

Изучение теории конических сечений. Конические сечения

Фундаментальный трактат Аполлония Пергского «Конические сечения» состоял из восьми книг. Греческий текст четырех из них сохранился, еще три дошли до нас в арабском переводе, восьмую книгу реконструировал в XVIII в. Э. Галлей. Труд Аполлония чрезвычайно богат содержанием, многие подходы, примененные в нем, впоследствии переросли в отдельные развитые разделы геометрии.

По отношению к предшественникам новаторство Аполлония выразилось, в частности, в общности, с которой он подошел к своему предмету. Прежде всего, Аполлоний определил конические сечения как сечения плоскостью, которая не обязана быть перпендикулярной образующей конуса. Кроме того, Аполлоний, как уже было сказано, рассматривал и вторую ветвь гиперболы, а для этого учел, что конус состоит из двух полостей. Это было необходимо для того, чтобы теории имели нужную общность – иначе пришлось бы оговаривать слишком много исключений. Таким образом, парабола перестала быть сечением только тупоугольного конуса, эллипс – остроугольного, а гипербола – тупоугольного. Более того: Аполлоний рассматривал не только прямые круговые конусы (то есть такие, в которых перпендикуляр, опущенный из вершины, проходит через центр основания), но и произвольные круговые конусы.

Аполлоний показал, что сечения произвольного конуса любыми плоскостями приводят только к этим трем типам кривых (не считая некоторых вырожденных случаев, например, когда сечение состоит из пары пересекающихся прямых). Именно поэтому он и должен был изменить терминологию: вместо «сечения прямоугольного (остроугольного, тупоугольного) конуса» Аполлоний ввел термины «парабола», «эллипс», «гипербола». На прошлом уроке мы видели, что эти термины связаны с формой уравнений («симптомов»), определяющих данное сечение. Аполлоний показал, что соотношение между координатами, выражаемое симптомом данного сечения:

Здесь необходимо ввести новый термин. Диаметрами эллипса или гиперболы называются любые отрезки, проходящие через центр эллипса или гиперболы. (Надеюсь, вы понимаете, что такое центр гиперболы? Это ее центр симметрии – точка пересечения асимптот.) А диаметром параболы называется любая прямая, параллельная оси параболы (то есть пересекающая параболу ровно в одной точке). Так вот, Аполлоний показал, что симптом конического сечения будет иметь тот же самый вид, если ось абсцисс является произвольным диаметром данного конического сечения, а ось ординат – касательной в одном из концов этого диаметра. Таким образом, это будут уже не прямоугольные координаты: абсциссы будут отрезками диаметра, а ординаты – полухордами, параллельными соответствующей касательной. (У конических сечений есть свойство, что хорды, параллельные этой касательной, делятся пополам данным диаметром).

В случае эллипса и гиперболы для каждого диаметра можно определить сопряженный ему диаметр, то есть диаметр, параллельный касательным, проведенным в концах исходного диаметра.

Сопряженные диаметры играют большую роль в теории Аполлония. В частности, он доказывает, что:

  • сумма квадратов сопряженных диаметров эллипса постоянна;
  • параллелограмм, построенный на сопряженных диаметрах эллипса, имеет постоянную площадь.

Аполлоний много занимается вопросами о виде уравнений конических сечений по отношению к осям координат, совпадающим с двумя разными диаметрами, в частности, сопряженными. В современных обозначениях, уравнения эллипса и гиперболы по отношению к сопряженным диаметрам (так называемые центральные уравнения эллипса и гиперболы) выглядят так:

x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1 (эллипс),

x 2 / a 2 – y 2 / b 2 = 1 (гипербола).

В частности, в качестве сопряженных диаметров могут быть выбраны оси эллипса и гиперболы.

Исходя из симптомов эллипса и гиперболы, докажите, что при надлежащем выборе осей координат их точки удовлетворяют центральным уравнениям.

Преобразуем симптом эллипса следующим образом:

Если произвести замену x’ = x – a , соответствующую сдвигу начала координат в точку ( a ; 0), и положить b 2 = ap , то мы получим центральное уравнение эллипса.

Аналогично, симптом гиперболы можно преобразовать так:

Если произвести замену x’ = x + a , соответствующую сдвигу начала координат в точку (– a ; 0), и положить b 2 = ap , то мы получим центральное уравнение гиперболы.

Аполлоний рассматривает вопросы о числе точек пересечения двух конических сечений (показывая, что таких точек существует не более четырех).

Кроме того, он изучает касательные и нормали (перпендикуляры к касательным в точках касания) к коническим сечениям, изучает проблемы подобия касательных сечений. Аполлоний развивает и методы проективной геометрии, изучающей свойства фигур, не меняющиеся при проектировании.

В современных изложениях теории конических сечений обычно не уделяется большого внимания «симптомам» (гораздо чаще приводятся центральные уравнения), но всегда называется ряд свойств, которые нередко даже берутся за определение тех или иных конических сечений. Это фокальные, оптические и директориальные свойства конических сечений.

Читать еще:  Астpология и сексyальная совместимость. Характер водолея

Фокальные и оптические свойства эллипса и гиперболы доказываются у Аполлония, хотя и не занимают центрального положения в его книге. На оси эллипса и гиперболы есть две симметрично расположенные точки – фокусы – такие, что сумма (у эллипса) или модуль разности (у гиперболы) расстояний от произвольной точки сечения до фокусов есть величина постоянная. Это свойство используется при так называемом «способе садовника», позволяющем создавать овальные клумбы: а именно, в две точки (фокусы эллипса) вбиваются два кола, к ним привязывается веревка, равная большой оси эллипса; веревка натягивается палкой с острым концом, которым на земле вычерчивается эллипс.

Оптическое свойство эллипса и гиперболы заключается в том, что отрезки, проведенные из фокусов к некоторой точке эллипса, образуют равные углы с касательной. В связи с этим если в один из фокусов эллиптического зеркала поместить источник света, то лучи, отразившись, соберутся в другом фокусе: если источником является, например, свеча, то предмет, помещенный в другой фокус, может загореться. Отсюда и происходит термин «фокус» (лат. focus – «очаг»), введенный И. Кеплером. На этом свойстве основаны и некоторые эффекты с распространением звуковых волн в зданиях с овальными стенами, сводами и др., когда шепотом произнесенное слово в одном из фокусов оказывается слышно в другом. В результате отражения в гиперболическом зеркале не лучи, исходящие из фокуса, а их продолжения соберутся в другом фокусе: они создадут иллюзию, что источник света находится в другом фокусе. Наконец, существует и оптическое свойство параболы, не рассмотренное Аполлонием: параболическое зеркало собирает в одной точке параллельные лучи; в частности, лучи, параллельные оптической оси, собираются в фокусе параболы. На этом свойстве основано действие зажигательных зеркал, собирающих параллельные солнечные лучи в одной точке.

Согласно легенде, Архимед использовал этот принцип при обороне Сиракуз от римлян, поджигая таким образом вражеские корабли. Параболические зажигательные зеркала описаны Диоклом в особом трактате. Диокл писал после Аполлония, но использовавшим более старую терминологию («сечение прямоугольного конуса» вместо «парабола»). Диокл упоминает, что зажигательными зеркалами занимался Досифей – современник и друг Архимеда, адресовавшего ему ряд произведений. Директориальное свойство, вероятно, не составляло бы труда для Аполлония, но он, тем не менее, не сформулировано в его книге; оно встречается в античности у Паппа Александрийского. Это свойство заключается в том, что существуют такая прямая (директриса) и такая точка (фокус), что отношение расстояния от точки конического сечения до фокуса к расстоянию от этой же точки до директрисы есть величина постоянная: у эллипса оно меньше единицы, у параболы равно единице, у гиперболы больше единицы. Это отношение называют эксцентриситетом конического сечения. У параболы одна директриса и один фокус, а у эллипса и гиперболы по две симметрично расположенные директрисы, что соответствует двум фокусам.

Определение фокуса и, соответственно, фокальное свойство у Аполлония довольно мало наглядны. Однако существует способ весьма наглядного доказательства фокального и директориального свойств конических сечений, исходящего только из их определений как сечений конуса (прямого кругового) и практически не использующего координатный метод. Этот способ предложен в 1822 г. бельгийским инженером Ж. П. Данделеном. Рассмотрим его для эллипса. Пусть плоскость σ пересекает одну из полостей конуса по некоторой кривой. Рассмотрим какую-либо точку M на кривой. Впишем в коническую поверхность два шара V 1 и V 2 так, чтобы они касались плоскости с разных сторон в точках F 1 и F 2 соответственно.

Поскольку шары вписаны в коническую поверхность, они касаются ее по некоторым окружностям k 1 и k 2, лежащим в параллельных плоскостях π1 и π2, перпендикулярных оси конуса. Отметим на образующей конуса, проходящей через точку M , точки пересечения P 1 и P 2 с окружностями k 1 и k 2. Нетрудно видеть, что MF 1 = MP 1, поскольку это – касательные, проведенные из одной и то же точки к одной и той же сфере. Аналогично, MF 2 = MP 2. Следовательно, MF 1 + MF 2 = MP 1 + MP 2 = P 1 P 2, что не зависит от точки M : это отрезок образующей конуса, ограниченной параллельными плоскостями. Таким образом, кривая в сечении такова, что сумма расстояний от ее точки до двух фиксированных точек ( F 1 и F 2) есть величина постоянная, а это и есть фокальное свойство.

§14 Создание теории конических сечений

Впервые конические сечения появились у Менехма (IV в. до н. э.), которой принимал параболу и равностороннюю гиперболу для решения задачи об удвоении куба ( см. § 6). Он рассматривал остроугольный, прямоугольный и тупоугольный конусы, т. е. конусы, у которых угол при вершине осевого сечения соответственно острый, прямой или тупой, и каждый из них пересекал плоскостью, перпендикулярной одной из образующих. В первом случае в сечении с поверхностью конуса получался эллипс ( рис. 19), во втором – парабола (рис.20), в третьем – гипербола, точнее, одна, ветвь гиперболы (рис 21).

Читать еще:  Признаки раздвоения личности у подростков. Что такое раздвоение личности

Менехм называл их сечениями соответственно остроугольного, прямоугольного и тупоугольного конуса. Фактически он пользовался прямоугольными координатами на плоскости: за начало координат принимал вершину кривой второго порядка, за одну из координатных осей – главный диаметр, а другую ось проводил перпендикулярно первой в плоскости, в которой лежит кривая.

У него встречается уравнение параболы в виде эллипса – в виде и гиперболы

После Менехма коническими сечениями в IV-III вв. до н.э. занимались несколько ученых, прежде всего Евклида и Архимед. Но главной фигурой в этой области является Аполлоний.

Аполлоний Пергский (ок. 260-ок. 170) родился в г. Перги в Малой Азии. Позднее он преподавал математику и, возможно, астрономию в Александрии. Основное его сочинение – «Конические сечения». Другие сочинения, меньшего масштаба – «О вставках», «О касании», «О спиральных линиях» и др.

В работе Аполлония «Конические сечения» восемь книг; до наших дней сохранилось семь. В сравнении с Менехмом он становится на более общую точку зрения: берет произвольный конус, причем рассматривает две его полости, и пересекает конус плоскостью под разными углами. В случае, если плоскость пересекает все образующие конуса, в ее пересечении с поверхностью конуса образуется эллипс (рис. 22); если она параллельна одной из образующих конуса – парабола (рис. 23); если плоскость пересекает обе полости конуса – гипербола (рис.24).

Фактически Аполлоний пользуется косоугольной системой координат, принимая за начало координат любую точку Р кривой и направляя координатные оси по диаметру и по касательной к кривой, проходящих через точку Р. В первой книге у него мы находим уравнение параболы в виде эллипса- в видеи гиперболы −данные отрезки. На выводе этих уравнений мы здесь не останавливаемся. (Проверьте, что два последних уравнения можно привести к форме, весьма близкой к каноническим уравнениям эллипса и гиперболы.

Сами термины «парабола», «эллипс», «гипербола» впервые встречаются у Аполлония. Слова « парабола» в переводе с греческого означает «приложение» : уравнение читается словесно в виде равенства квадратаи прямоугольника.Cлово «эллипс» переводится как «недостаток»: в правой части уравнения не хватает слагаемогодля того, чтобы получилось «приложение», как в уравненииСлово «гипербола» -«избыток»: в правой части уравнениянужно отбросить лишнее слагаемоедля того, чтобы можно было оставить «приложение».

Символики у Аполлония нет; доказательства проводятся словесно. При доказательствах регулярно применяется геометрическая алгебра, которой пользовался еще Евклид (см. § 10). Постоянные в уравнениях конических сечений вводились, в частности, для того, чтобы уравнять размерности левой и правой частей. Доказательства во многих случаях получались весьма непростыми.

Далее в первой части Аполлоний рассматривает касательные к коническому сечению, направления хорд кривой, сопряженных с любым диаметром, и др. Затем он преобразует уравнения эллипса и гиперболы так, что начало координат совпадало с вершиной параболы. Наконец, он связывает свои уравнения конических сечений с уравнениями Менехма.

В следующих книгах « Конических сечений» Аполлоний рассматривает асимптоты гиперболы, уравнение гиперболы относительно этих асимптот, в частности, уравнение равносторонней гиперболы в виде фокусы эллипса и гиперболы, число точек пресечения двух конических сечений ( он доказывает, что число этих точек не более четырех), ряд теорем о равенстве площадей, связанных с коническими сечениями, и др.

В целом у него получается весьма полная, объемистая, систематически изложенная теория кривых второго порядка.

Конические сечения Аполлония около двух тысяч лет не находили применений в математическом естествознаний и поэтому не получили дальнейшего развития. Лишь в XVII в. Кеплер установил, что все планеты нашей солнечной системы движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце, а Галилей выяснил, что камень, брошенный под углом к горизонту, летит в пустоте по параболе. В том же XVII в. Декарт и Ферма, а также их последователи, пользуясь алгебраической символикой, перевели основные понятия и ряд предложений Аполлония на язык уравнений, и тождеств и заложили основы аналитической геометрии.

Изучение теории конических сечений. Конические сечения

Рисунок 1. Конические сечения

Если плоскость Ф пересекает все образующие поверхности конуса вращения, т.е. если φ>α, то линией сечения является эллипс . В этом случае секущая плоскость не параллельна ни одной из образующих поверхности конуса.

В частном случае (φ=90 0 ) такая плоскость пересекает поверхность конуса по окружности ; и сечение вырождается в точку, если плоскость проходит через вершину конуса.

Читать еще:  Южный гоа какой океан. Моря индии

Если плоскость Ф параллельна одной образующей поверхности конуса, т.е. φ=α, то линией пересечения является парабола . В частном случае (плоскость является касательной к поверхности конуса) сечение вырождается в прямую .

Если плоскость Ф параллельна двум образующим поверхности конуса (в частном случае параллельна оси конуса), т.е. φ 2 +2a12xy + a22y 2 = a33.

Дальнейшие исследования таких (называемых центральными) К. с. показывают, что их уравнения могут быть приведены к ещё более простому виду:

Ах 2 + Ву 2 = С, (1)

если за направления осей координат выбрать т. н. главные направления — направления главных осей (осей симметрии) К. с. Если А и В имеют одинаковые знаки (совпадающие со знаком С), то уравнение (1) определяет эллипс; если А и В разного знака, то — гиперболу.

Уравнение параболы привести к виду (1) нельзя. При надлежащем выборе осей координат (одна ось координат — единственная ось симметрии параболы, другая — перпендикулярная к ней прямая, проходящая через вершину параболы) её уравнение можно привести к виду:

К. с. были известны уже математикам Древней Греции (например, Менехму, 4в. до н. э.); с помощью этих кривых решались некоторые задачи на построение (удвоение куба и др.), оказавшиеся недоступными при использовании простейших чертёжных инструментов — циркуля и линейки. В первых дошедших до нас исследованиях греческие геометры получали К. с., проводя секущую плоскость перпендикулярно к одной из образующих, при этом, в зависимости от угла раствора при вершине конуса (т. е. наибольшего угла между образующими одной полости), линия пересечения оказывалась эллипсом, если этот угол —острый, параболой, если — прямой, и гиперболой, если — тупой. Наиболее полным сочинением, посвященным этим кривым, были «Конические сечения» Аполлония Пергского (около 200 до н. э.). Дальнейшие успехи теории К. с. связаны с созданием в 17 в. новых геометрических методов: проективного (французские математики Ж. Дезарг, Б. Паскаль) и в особенности координатного (французские математики Р. Декарт, П. Ферма).

При надлежащем выборе системы координат уравнение К. с. может быть приведено к виду:

y 2 = 2px + lx 2 (р и l постоянные).

Если р ¹ 0, то оно определяет параболу при l = 0, эллипс при l 0. Геометрическое свойство К. с., содержащееся в последнем уравнении, было известно уже древнегреческим геометрам и послужило для Аполлония Пергского поводом присвоить отдельным типам К. с. названия, сохранившиеся до сих пор: слово «парабола» (греческого parabole) означает приложение (т. к. в греческой геометрии превращение прямоугольника данной площади y 2 в равновеликий ему прямоугольник с данным основанием 2p называлось приложением данного прямоугольника к этому основанию); слово «эллипс» (греческий élleipsis) — недостаток (приложение с недостатком), слово «гипербола» (греческий hyperbole) — избыток (приложение с избытком).

С переходом к современным методам исследования стереометрическое определение К. с. было заменено планиметрическими определениями этих кривых как геометрических мест на плоскости. Так, например, эллипс определяется как геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух данных точек (фокусов) имеет данное значение.

Можно дать другое планиметрическое определение К. с., охватывающее все три типа этих кривых: К. с.— геометрическое место точек, для каждой из которых отношение её расстояний до данной точки («фокуса») к расстоянию до данной прямой («директрисы») равно данному положительному числу («эксцентриситету») е. Если при этом е 1, то — гипербола; если е = 1, то — парабола.

Интерес к К. с. всегда поддерживался тем, что эти кривые часто встречаются в различных явлениях природы и в человеческой деятельности. В науке К. с. приобрели особенное значение после того, как немецкий астроном И. Кеплер открыл из наблюдений, а английский учёный И. Ньютон теоретически обосновал законы движения планет, один из которых утверждает, что планеты и кометы Солнечной системы движутся по К. с., в одном из фокусов которого находится Солнце. Следующие примеры относятся к отдельным типам К. с.: параболу описывает снаряд или камень, орошенный наклонно к горизонту (правильная форма кривой несколько искажается сопротивлением воздуха); в некоторых механизмах пользуются зубчатыми колёсами эллиптической формы («эллиптическая зубчатка»); гипербола служит графиком обратной пропорциональности, часто наблюдающейся в природе (например, закон Бойля — Мариотта).

Лит.: Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии, М., 1968; Ван дер Варден Б. Л., Пробуждающаяся наука, пер. с голл., М., 1959.

* Политехнический словарь /Редкол.: А.Ю. Ишлинский (гл. ред.) и др. — 3 — е изд,, перераб. и доп. — М.: Советская энциклопедия, 1989. — 656 с. с ил.

Источники:

http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/ad1ee6cf-5d66-8db6-4773-cdc949fa6a06/00145619977568847.htm

http://studfile.net/preview/2975897/page:15/

http://graph.power.nstu.ru/wolchin/umm/eskd/glosar/ru/K/con_sechenie.htm

Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector