Зачем нужны зоны френеля. Метод зон Френеля

5.2. Метод зон Френеля

Принцип Гюйгенса — Френеля в рамках волновой теории позволяет объяснить прямолинейное распространение света. Определим амплитуду световой волны в произвольной точке Р, используя метод зон Френеля. Рассмотрим сначала случай падающей плоской волны (рис. 5.2).

Пусть плоский фронт волны F, распространяющейся от расположенного в бесконечности источника света, в некоторый момент времени находится на расстоянии ОР – r от точки наблюдения Р.

Рис. 5.2. Применение принципа Гюйгенса — Френеля к плоской волне: зоны Френеля на поверхности
плоского волнового фронта F представляют собой концентрические кольца
(для наглядности изображение зон Френеля развернуто на 90°, такими они выглядят из точки Р)

Все точки фронта волны, согласно принципу Гюйгенса — Френеля, испускают элементарные сферические волны, которые распространяются по всем направлениям и через некоторое время достигают точки наблюдения Р. Результирующая амплитуда колебаний в этой точке определяется векторной суммой амплитуд всех вторичных волн.

Колебания во всех точках волнового фронта F имеют одинаковое направление и происходят в одной фазе. С другой стороны, все точки фронта F находятся от точки Р на различных расстояниях. Для определения результирующей амплитуды всех вторичных волн в точке наблюдения Френель предложил метод разбиения волновой поверхности на кольцевые зоны, называемые зонами Френеля.

Взяв точку Р в качестве центра, построим ряд концентрических сфер, радиусы которых начинаются с и увеличиваются каждый раз на половину длины волны . При пересечении с плоским фронтом волны F эти сферы дадут концентрические окружности. Таким образом, на фронте волны появятся кольцевые зоны (зоны Френеля) с радиусами и т. д.

Определим радиусы зон Френеля, имея ввиду, что , 0А 2 = АР 2 – 0Р 2 , то есть

Для оценки амплитуд колебаний определим площади зон Френеля. Первая зона (круг):

вторая зона (кольцо):

третья и последующие зоны (кольца):

Таким образом, площади зон Френеля примерно одинаковы, поэтому, согласно принципу Гюйгенса — Френеля, каждая зона Френеля служит источником вторичных сферических волн, амплитуды которых приблизительно одинаковы. Кроме того, колебания, возбуждаемые в точке Р двумя соседними зонами, противоположны по фазе, так как разность хода соответствующих волн от этих зон до точки наблюдения Р равна . Поэтому при наложении эти колебания должны взаимно ослаблять друг друга, то есть амплитуда А результирующего колебания в точке Р может быть представлена в виде знакопеременного ряда

где А₁ — амплитуда колебаний в точке Р возбуждаемых действием центральной (первой) зоны Френеля, А₂ — амплитуда колебаний, возбуждаемых второй зоной, и т. д.

Расстояние от m-й зоны до точки Р медленно растет с номером зоны m. Угол между нормалью к элементам зоны и направлением в точку Р также растет с m, следовательно, амплитуда А_m колебания, возбуждаемого m-й зоной в точке Р, монотонно убывает с ростом m. Другими словами, амплитуды колебаний, возбуждаемых в точке Р зонами Френеля, образуют монотонно убывающую последовательность:

Вследствие монотонного и медленного убывания А_т можно приближенно положить, что амплитуда колебаний от зоны с номером m равна среднему арифметическому амплитуд колебаний от двух соседних зон Френеля:

В выражении для амплитуды результирующего колебания все амплитуды от четных зон входят с одним знаком, а от нечетных — с другим. Запишем это выражение в следующем виде:

Выражения в скобках на основании (5.10) будут равны нулю, так что

то есть результирующая амплитуда, создаваемая в точке наблюдения Р всей поверхностью волнового фронта, равна половине амплитуды, создаваемой одной лишь центральной (первой) зоной Френеля. Таким образом, колебания, вызываемые в точке Р волновой поверхностью F, имеют такую же амплитуду, как если бы действовала только половина первой (центральной) зоны. Следовательно, свет распространяется как бы в узком канале, сечение которого равно половине первой (центральной) зоны Френеля – мы снова пришли к прямолинейному распространению плоской волны.

Если же на пути волны поставить диафрагму с отверстием, оставляющим открытой только центральную (первую) зону Френеля, амплитуда в точке Р будет равна А₁, то есть в два раза превзойдет амплитуду, создаваемую всем волновым фронтом. Соответственно, интенсивность света в точке Р будет в четыре раза больше, чем при отсутствии преграды между источником света и точкой Р. Удивительно, не так ли? Но чудес в природе не бывает: в других точках экрана интенсивность света будет ослаблена, а средняя освещенность всего экрана при использовании диафрагмы, как и следовало ожидать, уменьшится.

Правомерность такого подхода, заключающегося в делении волнового фронта на зоны Френеля, подтверждена экспериментально. Колебания от четных и нечетных зон Френеля находятся в противофазе и, следовательно, взаимно ослабляют друг друга. Если поставить на пути световой волны пластинку, которая перекрывает все четные или нечетные зоны Френеля, то можно убедиться, что интенсивность света в точке Р резко возрастет. Такая пластинка, называемая зонной, действует подобно собирающей линзе. Подчеркнем еще раз: зоны Френеля — это мысленно выделенные участки поверхности волнового фронта, положение которых зависит от выбранной точки наблюдения Р. При другой точке наблюдения расположение зон Френеля будет иным. Метод зон Френеля — удобный способ решения задач о дифракции волн на тех или иных препятствиях.

Различают два вида дифракции. Если источник света S и точка наблюдения Р находятся далеко от препятствия, лучи, падающие на препятствие и идущие в точку Р, образуют практически параллельные пучки. В таком случае говорят о дифракции в параллельных лучах, или дифракции Фраунгофера. Если же рассматривается дифракционная картина на конечном расстоянии от препятствия, вызвавшего дифракцию, то говорят о дифракции сферических волн, или дифракции Френеля.

Метод зон Френеля;

Принцип Гюйгенса – Френеля объясняет прямолинейность распространения света в свободной от препятствий однородной среде. Чтобы показать это, рассмотрим действие сферической световой волны от точечного источника S в произвольной точке пространства P(рис. 4.1). Волновая поверхность такой волны симметрична относительно прямой SP. Амплитуда искомой волны в точке P зависит от результата интерференции вторичных волн, излучаемых всеми участками dS поверхности S. Амплитуды и начальные фазы вторичных волн зависят от расположения соответствующих источников dS по отношению к точке P.

Френель предложил метод разбиения волновой поверхности на зоны (метод зон Френеля). По этому методу волновая поверхность разбивается на кольцевые зоны (рис. 4.1), построенные так, что расстояния от краев каждой зоны до точки Pотличаются на l/2(l – длина световой волны). Если обозначить через b расстояние от вершины волновой поверхности 0 до точки P, то расстояния b + k(l/2) образуют границы всех зон, где k – номер зоны. Колебания, приходящие в точку P от аналогичных точек двух соседних зон, противоположны по фазе, так как разность хода от этих зон до точки P равна l/2. Поэтому при наложении эти колебания взаимно ослабляют друг друга, и результирующая амплитуда выразится суммой:

Величина амплитуды A_kзависит от площади DS_kk-й зоны и угла a_kмежду внешней нормалью к поверхности зоны в любой ее точке и прямой, направленной из этой точки в точку P.

Можно показать, что площадь DS_kk-й зоны не зависит от номера зоны в условиях l A₂ > A₃ > A₄ > . > A_k > .

Вследствие большого числа зон убывание A_k носит монотонный характер и приближенно можно считать, что

. (4.2)

Переписав результирующую амплитуду (4.1) в виде

, (4.3)

обнаруживаем, что, согласно (4.2) и с учетом малости амплитуды удаленных зон, все выражения в скобках равны нулю и уравнение (4.1) приводится к виду

A = A₁ / 2.(4.4)

Полученный результат означает, что колебания, вызываемые в точке P сферической волновой поверхностью, имеют амплитуду, даваемую половиной центральной зоны Френеля. Следовательно, свет от источника S в точку P распространяется в пределах очень узкого прямого канала, т.е. прямолинейно. В результате явления интерференции уничтожается действие всех зон, кроме первой.

Дифракция Френеля от простейших преград

Действие световой волны в некоторой точке P сводится к действию половины центральной зоны Френеля в том случае, если волна безгранична, так как только тогда действия остальных зон взаимно компенсируются и можно пренебречь действием удаленных зон. При конечном участке волны условия дифракции существенно отличаются от описанных выше. Однако и здесь применение метода Френеля позволяет предвидеть и объяснить особенности распространения световых волн.

Рассмотрим несколько примеров дифракции Френеля от простых преград.

Дифракция на круглом отверстии. Пусть волна от источника S встречает на пути непрозрачный экран с круглым отверстием BC (рис. 4.2). Результат дифракции наблюдается на экране Э, параллельном плоскости отверстия. Легко определить дифракционный эффект в точке P экрана, расположенной против центра отверстия. Для этого достаточно построить на открытой части фронта волны BC зоны Френеля, соответствующие точке P. Если в отверстии BCукладывается k зон Френеля, то амплитуда Aрезультирующих колебаний в точке P зависит от четности и нечетности числа k, а так же от того, насколько велико абсолютное значение этого числа. Действительно, из формулы (4.1) вытекает, что в точке Pамплитуда суммарного колебания

(первое уравнение системы при нечетном k, второе – при четном) или, учитывая формулу (4.2) и тот факт, что амплитуды двух соседних зон мало отличаются по величине и можно считать A_k-1 приблизительно равным A_k ,имеем

, (4.5)

где плюс соответствует нечетному числу зон k, укладывающихся на отверстии, а минус – четному.

При небольшом числе зон k амплитуда A_k мало отличается от A₁. Тогда результат дифракции в точке P зависит от четности k: при нечетном kнаблюдается максимум дифракции, при четном – минимум. Минимумы и максимумы будут тем больше отличаться друг от друга, чем ближе A_kк A₁ т.е. чем меньше k. Если отверстие открывает только центральную зону Френеля, амплитуда в точке P будет равна A₁, она в два раза больше той, которая имеет место при полностью открытом волновом фронте (4.4), а интенсивность в этом случае в четыре раза больше, чем при отсутствии преграды. Напротив, при неограниченном увеличении числа зон k, амплитуда A_kстремится к нулю (A_k 2 раз больше, чем при беспрепятственном распространении света от источника в точку P, при этом A = A₁ / 2, а интенсивность соот­вет­ствен­но / 4 .

Дифракция на круглом диске. При размещении между источником Sи экраном круглого непрозрачного дис­ка СВ закрывается одна или несколько пер­вых зон Френеля (рис. 4.3). Если диск закроет k зон Френеля, то в точке P амплитуда суммарной волны

и, так как выражения в скобках можно принять равными нулю, аналогично (4.3) получаем

Таким образом, в случае круглого непрозрачного диска в центре картины (точка P) при любом (как четном, так и нечетном) k получается светлое пятно.

Если диск закрывает лишь часть первой зоны Френеля, тень на экране отсутствует, освещенность во всех точках такая же, как и при отсутствии преграды. С ростом радиуса диска первая открытая зона отдаляется от точки P и увеличивается угол aмежду нормалью к поверхности этой зоны в какой-либо точке и направлением излучения в сторону точки P (см. принцип Гюйгенса – Френеля). Поэтому интенсивность центрального максимума ослабевает при увеличении размеров диска ( A_k+1

Учебники

Журнал “Квант”

Общие

Цены на российскую и немецкую продукцию узнавайте на сайте “ФанТорг”.

Метод зон Френеля

Для нахождения результата интерференции вторичных волн Френель предложил метод разбиения волнового фронта на зоны, называемые зонами Френеля.

Предположим, что источник света S (рис. 17.18) точечный и монохроматический, а среда, в которой распространяется свет, изотропная. Волновой фронт в произвольный момент времени будет иметь форму сферы радиусом (

r=ct.) Каждая точка на этой сферической поверхности является вторичным источником волн. Колебания во всех точках волновой поверхности происходят с одинаковой часто-той и в одинаковой фазе. Следовательно, все эти вторичные источники когерентны. Для нахождения амплитуды колебаний в точке М необходимо произвести сложение когерентных колебаний от всех вторичных источников на волновой поверхности.

Френель разбил волновую поверхность Ф на кольцевые зоны такого размера, чтобы расстояния от краев зоны до точки М отличались на (frac<2>,) т.е. (P_1M – P_0M = P_2M – P_1M = frac<2>.)

Так как разность хода от двух соседних зон равна (frac<2>,) то колебания от них приходят в точку М в противоположных фазах и при наложении эти колебания будут взаимно ослаблять друг друга. Поэтому амплитуда результирующего светового колебания в точке М будет равна

Читать еще:  Какая страна наиболее густонаселенная. Самые густонаселенные страны

(A = A_1 – A_2 + A_3 – A_4 + ldots pm A_m,) (17.5)

где (A_1, A_2, ldots , A_m,) — амплитуды колебаний, возбуждаемых 1-й, 2-й, . m-й зонами.

Френель предположил также, что действие отдельных зон в точке М зависит от направления распростронения (от угла (varphi_m) (рис. 17.19) между нормалью (

vec n ) к поверхности зоны и направлением на точку М). С увеличением (varphi_m) действие зон убывает и при углах (varphi_m ge 90^circ) амплитуда возбуждаемых вторичных волн равна 0. Кроме того, интенсивность излучения в направлении точки М уменьшается с ростом и вследствие увеличения расстояния от зоны до точки М Учитывая оба фактора, можно записать, что

(A_1 >A_2 >A_3 > cdots)

1. Объяснение прямолинейности распространения света.

Общее число зон Френеля, вмещающихся на полусфере радиусом SP, равным расстоянию от источника света S до фронта волны, очень велико. Поэтому в первом приближении можно считать, что амплитуда колебаний А_m от некоторой m-й зоны равна среднему арифметическому от амплитуд, примыкающих к ней зон, т.е.

Тогда выражение (17.5) можно записать в виде

(A = frac <2>+ Bigr(frac <2>– A_2 + frac <2>Bigl) + Bigr( frac <2>– A_4 + frac <2>Bigl) + ldots pm frac<2>.)

Так как выражения, стоящие в скобках, равны 0, а (frac<2>) ничтожно мала, то

Таким образом, амплитуда колебаний, создаваемая в произвольной точке М сферической волновой поверхностью, равна половине амплитуды, создаваемой одной центральной зоной. Из рисунка 17.19 радиус г_m-ной зоны зоны Френеля (r_m = sqrt <2>Bigl)^2 – (b + h_m)^2>.) Так как (

h_m ll b) и длина волны света мала, то (r_m approx sqrt <2>Bigl)^2 – b^2> = sqrt<4>> approx sqrt.) Значит, радиус первой Учитывая, что (

lambda) длина волны может иметь значения от 300 до 860 нм, получим (

r_1 ll b.) Следовательно, распространение света от S к М происходит так, будто световой поток распространяется внутри очень узкого канала вдоль SM, диаметр которого меньше радиуса первой зоны Френеля, т.е. прямолинейно.

2. Дифракция на круглом отверстии.

Сферическая волна, распространяющаяся из точечного источника S, встречает на своем пути экран с круглым отверстием (рис. 17.20). Вид дифракционной картины зависит от числа зон Френеля, укладывающихся в отверстии. Согласно (17.5) и (17.6) в точке B амплитуда результирующего колебания

где знак “плюс” соответствует нечетным m, а знак “минус” — четным m.

Когда отверстие открывает нечетное число зон Френеля, то амплитуда колебаний в точке В будет больше, чем при отсутствии экрана. Если в отверстии укладывается одна зона Френеля, то в точке В амплитуда (

A = A_1) т.е. вдвое больше, чем в отсутствие непрозрачного экрана. Если в отверстии укладываются две зоны Френеля, то их действие в точке В практически уничтожает друг друга из-за интерференции. Таким образом, дифракционная картина от круглого отверстия вблизи точки В будет иметь вид чередующихся темных и светлых колец с центрами в точке В (если m — четное, то в центре темное кольцо, если m — нечетное — светлое кольцо), причем интенсивность максимумов убывает с расстоянием от центра картины.

3. Дифракция на диске.

Пусть диск (рис. 17.21) закрывает m первых зон Френеля. Тогда амплитуда результирующего колебания в точке В равна

так как выражения, стоящие в скобках, равны О.

Следовательно, в точке В всегда наблюдается светлое пятно, соответствующее половине действия первой открытой зоны Френеля. Центральный максимум окружен концентрическими с ним темными и светлыми кольцами, а интенсивность убывает с расстоянием от центра картины.

Литература

Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. — Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. — С. 514-517.

Источники:

http://online.mephi.ru/courses/physics/optics/data/course/5/5.2.html

http://studopedia.su/18_5071_metod-zon-frenelya.html

http://www.physbook.ru/index.php/A._%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%A4%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%BB%D1%8F