Решение систем сравнений по модулю. Сравнение по модулю натурального числа

Сравнения, система вычетов, решение линейных систем по модулю

Будем рассматривать целые числа в связи с остатками от деления их на данное целое число m, которое назовем модулем. Каждому целому числу отвечает определенный остаток от деления его на m. Если двум целым a и b отвечает один и тот же остаток r, то они называются сравнимыми по модулю m.

Сравнимость для a и b записывается так :
[math]a equiv b(mod text < >m)[/math]

Сравнимость чисел a и b по модулю m равносильна:

Свойства сравнений [ править ]

  • 1. Два числа, сравнимые с третьим сравнимы между собой. [math]a equiv c(mod text< >m) text <, >b equiv c(mod text< >m) Rightarrow a equiv b(mod text< >m)[/math]
    • Легко выводится из пункта «а».
  • 2. Сравнения можно почленно складывать. [math] a_1 + a_2 + a_3 equiv b_1 + b_2 + b_3(mod text< >m)[/math]
    • Представляем сравнения, как в пункте «а» и складываем.
  • 3. Сравнения можно почленно перемножать. [math] a_1a_2a_3 equiv b_1b_2b_3(mod text< >m)[/math]
    • Представляем сравнения, как в пункте «а», перемножаем, получим [math] a_1a_2a_3 = b_1b_2b_3+mN[/math] , где N—целое.
  • 4. Обе части сравнения можно разделить на их общий делитель, если последний взаимно прост с модулем.
    • Действительно, из [math]a equiv b(mod text < >m)[/math] , [math] a = a_1d, b = b_1d, (d,m)=1[/math] следует, что [math] a-b = (a_1 — b_1)d vdots m [/math] , поэтому [math] a_1 equiv b_1(mod text < >m)[/math] .
  • 5. Обе части сравнения можно умножить на одно и тоже число.
    • Действительно, из [math]a equiv b(mod text < >m)[/math] , следует [math] a = b+mt, ak =bk +mkt [/math] , и, следовательно, [math]ak equiv bk(mod text < >mk)[/math] .
  • 6. Обе части сравнения и модуль можно разделить на их общий делитель.
    • Действительно, пусть [math]a equiv b(mod text < >m), a = a_1d, b=b_1d, m=m_1d[/math] , отсюда [math] a= b+mt, a_1d =b_1d +m_1dt, a_1 =b_1 +m_1t[/math] , и, следовательно, [math]a_1 equiv b_1(mod text < >m_1)[/math] .
  • 7. Если сравнение [math]aequiv b[/math] имеет место по нескольким модулям, то оно имеет место и по модулю равному НОК этих модулей.
    • В самом деле, из [math] a equiv b(mod text< >m_1),ldots,a equiv b(mod text< >m_k)[/math] следует, что разность [math] a-b [/math] делится на все модули [math] m_1,m_2,ldots,m_k[/math] . Поэтому она должна делиться и на их НОК.
  • 8. Если сравнение имеет место по модулю m, то оно имеет место и по модулю d, равному любому делителю числа m.
    • Следует из пункта «б».
  • 9. Если одна часть сравнения и модуль делятся на некоторое число, то и другая сторона сравнения должна делиться на это число.
    • Следует из пункта «а».
  • 10. Если [math]a equiv b(mod text< >m) [/math] , то [math](a,m) = (b,m) [/math] .
    • Следует из пункта «а» по свойству НОДа.

Числа равноостаточные(сравнимые по модулю m) образуют класс чисел по модулю m. Из такого определения следует, что всем числам класса отвечает один остаток r, и мы получим все числа класса, если в форме [math]mt + r [/math] заставим t пробегать все целые числа. Таким образом для каждого значения остатка имеется свой класс чисел.

Любое число класса называется вычетом по модулю m. Вычет получаемый при [math] t = 0[/math] , равный самому остатку r, называется наименьшим неотрицательным вычетом.

Любые m чисел, попарно несравнимые по модулю m, образуют полную систему вычетов по этому модулю.

Согласно 10 свойству сравнений, числа одного класса по модулю m имеют одинаковый НОД. Особенно важны классы, содержащие числа, взаимно простые с модулем. Взяв вычет от каждого такого класса, получим приведенную систему вычетов по модулю m.

Примеры решения [ править ]

Пример 1.
[math] 12x equiv 6(mod text< >18)[/math]
Найдем НОД [math](12,18)=6 [/math]
Перейдем к новому сравнению [math] 2x equiv 1(3) [/math]
Легко находится [math] x_0 = 2 [/math]
Тогда ответом будет [math] x_0 =2, x_1 = x_0 — frac<(a,m)>=-1, x_2 = -4[/math]

Пример 2.
[math] 111x equiv 75(mod text< >321)[/math]
Найдем НОД [math](111,321)=3 [/math] , 75 кратно 3, значит имеем 3 решения
Перейдем к новому сравнению [math] 37x equiv 25(107) [/math]
Воспользуемся цепными дробями, в нашем случае [math] n=4, p_ = 26[/math] , значит [math] x_0 equiv -26cdot 25 (107) equiv 99(107) [/math]
Тогда ответом будет [math] x_0 = 99, x_1 = 206, x_2 = 313 [/math] .

Как решать уравнения, содержащие сравнения по модулю

Нужно решать сравнения, а я не умею
Читал кучу информации в интернете но так и не понял, что откуда берется
Разберите пожалуйста очень подробно 1 сравнение?

Все, что я понял так это нужно найти наименьший общий делитель чисел 21 и 30, это будет 3
Значит будет 3 решения
И можно это все разделить на 3 и получится сравнения с такими же решениями:

А как находить эти 3 решения?

Добавлено через 20 часов 48 минут
Пожалуйста. Апну темку

Как решать такие уравнения: деление по модулю
Сколько существует целых Х, при которых Х^2 — 3Х — 18 делится на 289? Сколько существует целых Х.

Как решать такие уравнения ?
В RSA шифровании используется метод Эйлера для вычисления секретного ключа d*eequiv 1(mod(1176)).

Как решать такие уравнения?
r = (((((37*x*2139062143)mod4294967296)*37*y)mod4294967296)*37*z)mod4294967296) r — это некое.

Как решать однородные уравнения третьего порядка?
Как решать однородные уравнения третьего порядка?

Как решать уравнения?
что означают def input data итд в бейсике? как вводить в бейсике уравнения?

Для небольших чисел можно найти перебором:

7*1 = 7 (mod 10 ),
7*2 = 4 (mod 10 ),
7*3 = .
7*4 = .
.

Eru Iluvatar, можно попробовать самому решить несколько примеров.

Eru Iluvatar, вот несколько сравнений — какие из них имеют решение, а какие не имеют? С чем это связано? Можно ли заметить какую-то закономерность?

По-моему оба не имеют, потому что 4 не находится в мультипликативной группе кольца. Хотя второе имеет решение. Это решается по теореме об остатках, разбиваем шестерку на произведение 2 и 3 и решаем систему?

Добавлено через 3 минуты
Странно это вообще. В какой-то книжке о группах я читал, что в группе разрешимо уравнение , то есть для любого элемента существует обратный . Но здесь элемент 4 не принадлежит мультипликативной группе, он находится только в аддитивной.

Добавлено через 1 минуту
Еще второе сравнение можно сократить на 2 и решать сравнение по модулю 3. Из этого вытекают какие-нибудь интересные следствия?

Решение систем сравнений по модулю. Сравнение по модулю натурального числа

Так, 3 ≡ 1 (mod 2), 7 ≡ 1 (mod 3). Два числа сравнимы по модулю 2, если они оба четны, либо если они оба нечетны. По модулю 1 все целые числа сравнимы между собой.

В том случае, если число n делится на m , то оно сравнимо с нулем по модулю m :

Свойства сравнений по модулю вытекают из свойств арифметических операций.

Отметим, что обе части сравнения не всегда можно сократить на какой-либо множитель. Так, 6 ≡ 3 (mod 3), но 2 не сравнимо с 1 по этому же модулю.

Простейшим применением сравнений по модулю является определение делимости чисел. Дадим для начала несколько правил.

Признак делимости на 2. Число, делящееся на 2, называется чётным , не делящееся на 2 – нечётным . Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2.

Признак делимости на 5. Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра – 5 или 0.

Признак делимости на 25. Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры либо нули, либо образуют число, делящееся на 25.

Признаки делимости на 10, 100, 1000. Число делится на 10 тогда и только тогда, когда его последняя цифра – 0. Число делится на 100 тогда и только тогда, когда две его последние цифры – нули. Число делится на 1000 тогда и только тогда, когда три его последние цифры – нули.

Признак делимости на 4. Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры – нули, либо когда двузначное число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4.

Признак делимости на 3. Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 9. Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 11. Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма его цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, кратное 11.

Доказать свойство делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр делится на 9.

Произвольное число где – цифры числа x в десятичной записи. Так как 10 ≡ 1 (mod 9), то 10 2 ≡ 1 (mod 9) и вообще 10 k ≡ 1 (mod 9) для любого натурального k . Отсюда Теорема доказана.

Доказать, что число делится без остатка на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19.

Для любого натурального x верно равенство x = x 1 + 10 x 2 , где x 1 – число единиц, x 2 – число десятков этого числа. Пусть y = x 2 + 2 x 1 (то есть y – число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц). Тогда 10 y – x = 19 x 1 ≡ 0 (mod 19), откуда следует, что x ≡ 0 (mod 19) тогда и только тогда, когда 10 y ≡ 0 (mod 19), то есть y ≡ 0 (mod 19). Утверждение доказано.

В заключение этого параграфа приведем формулировку малой теоремы Ферма.

Пусть p – простое число, a – натуральное число. Тогда a p – a делится на p :

В частности, если p – простое число, a – натуральное число, взаимно простое с p , то

Запишите состоящее из одних девяток натуральное число, которое делится на 17 без остатка.

Воспользуемся малой теоремой Ферма: a p – 1 ≡ 1 ( mod p ). Положим a = 10, p = 17. Тогда 10 16 ≡ 1 (mod 17) или 10 16 – 1 ≡ 0 (mod 17). Число 10 16 – 1 состоит из 16 девяток. Это и есть одно из чисел, которые делятся на 17 без остатка.

Источники:

http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A1%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F,_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B2,_%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC_%D0%BF%D0%BE_%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D1%83%D0%BB%D1%8E

http://www.cyberforum.ru/algebra/thread1290328.html

http://mathematics.ru/courses/algebra/content/chapter1/section1/paragraph3/theory.html

Читать еще:  Бывший повернулся спиной во сне. Сонник видеть спину мужчины
Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector