Графики функций и их формулы свойства. Основные свойства функций

Понятие функции. Основные свойства функции

Пределы и непрерывность

Множества

Под множеством понимается совокупность однородных объектов. Объекты, которые образуют множество, называются элементами или точками этого множества. Множества обозначают прописными буквами, а их элементы – строчными. Если a является элементом множества A, то используется запись aÎA. Если b не является элементом множества A, то это записывается так: b ÏA. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается так: Ø.

Если множество B состоит из части элементов множества A или совпадает с ним, то множество B называют подмножеством множества и обозначают BÌA.

Два множества называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Объединением двух множеств A и B называется множество C, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств: C=AÈB.

Пересечением двух множеств A и B называется множество C, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из данных множеств: C=AÇB.

Разностью множеств A и B называется множество E, состоящее из всех элементов множества A, которые не принадлежат множеству B: .

Дополнением множества AÌB называется множество C, состоящее из всех элементов множества B, не принадлежащих A.

Множества, элементами которых являются действительные числа, называются числовыми:

Множество X, элементы которого удовлетворяют неравенству называется отрезком (сегментом) и обозначается [a; b]; неравенству a

Интервал , т.е. множество точек удовлетворяющих неравенству (где ), называется -окрестностью точки a.

Понятие функции. Основные свойства функции

Если каждому элементу x множества X ставится в соответствие единственный элемент y множества Y, то говорят, что на множестве X задана функция y=f(x). При этом x называют независимой переменной или аргументом, а yзависимой переменной или функцией, а f обозначает закон соответствия. Множество X называют областью определения функции, а множество Yобластью значений функции.

Существует несколько способов задания функций.

1) Аналитический способ – функция задается формулой вида y=f(x).

2) Табличный способ – функция задается таблицей, содержащей значения аргумента и соответствующие им значения функции y=f(x).

3) Графический способ – изображение графика функции, т.е. множества точек (x; y) координатной плоскости, абсциссы которых представляют значения аргумента , а ординаты – соответствующие им значения функции y=f(x).

4) Словесный способ – функция описывается правилом ее составления. Например, функция Дирихле принимает значение 1, если x – рациональное число и 0, если x – иррациональное число.

Выделяют следующие основные свойства функций.

1 Четность и нечетностьФункция y=f(x) называется четной, если для любых значений x из области ее определения выполняется f(–x)=f(x), и нечетной, если f(–x)=–f(x). Если не выполняется ни одно из перечисленных равенств, то y=f(x) называется функцией общего вида. График четной функции симметричен относительно оси Oy, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Возрастающие и убывающие функции, а также невозрастающие и неубывающие функции называют монотонными.

3 ОграниченностьФункция y=f(x) называется ограниченной на промежутке X, если существует такое положительное число M>0, что |f(x)|≤M для любого xÎX. В противном случае функция называется неограниченной на X.

4 ПериодичностьФункция y=f(x) называется периодической с периодом T≠0, если для любых x из области определения функции f(x+T)=f(x). В дальнейшем под периодом будем понимать наименьший положительный период функции.

Функция называется явной, если она задана формулой вида y=f(x). Если функция задана уравнением F(x, y)=0, не разрешенным относительно зависимой переменной y, то ее называют неявной.

Пусть y=f(x) есть функция от независимой переменной , определенная на множестве X с областью значений Y. Поставим в соответствие каждому yÎY единственное значение xÎX, при котором f(x)=y.Тогда полученная функция x=φ(y), определенная на множестве Y с областью значений X, называется обратной и обозначается y=f –1 (x). Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первой и третьей координатных четвертей .

Пусть функция y=f(u) есть функция переменной u, определенной на множестве U с областью значений Y, а переменная u в свою очередь является функцией u=φ(x), определенной на множестве X с областью значений U. Тогда заданная на множестве X функция y=f(φ(x)) называется сложной функцией (композицией функций, суперпозицией функций, функцией от функции).

Элементарные функции

К основным элементарным функциям относят:

Из основных элементарных функций новые функции могут быть получены при помощи алгебраических действий и суперпозицией функций.

Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций суперпозиции, называются элементарными.

Читать еще:  Молитва когда очень плохо. Молитва пророку Илии

Алгебраической называется функция, в которой над аргументом проводится конечное число алгебраических действий. К числу алгебраических функций относятся:

· целая рациональная функция (многочлен или полином)

· дробно-рациональная функция (отношение двух многочленов)

· иррациональная функция (если в составе операций над аргументом имеется извлечение корня).

Всякая неалгебраическая функция называется трансцендентной. К числу трансцендентных функций относятся показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические функции.

109.201.137.33 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Графики функций и их формулы свойства. Основные свойства функций

Длина отрезка на координатной оси находится по формуле:

Длина отрезка на координатной плоскости ищется по формуле:

Для нахождения длины отрезка в трёхмерной системе координат используется следующая формула:

Координаты середины отрезка (для координатной оси используется только первая формула, для координатной плоскости — первые две формулы, для трехмерной системы координат — все три формулы) вычисляются по формулам:

Функция – это соответствие вида y = f(x) между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой переменной величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует определенное значение другой переменной величины, y (зависимой переменной, иногда это значение просто называют значением функции). Обратите внимание, что функция подразумевает, что одному значению аргумента х может соответствовать только одно значение зависимой переменной у. При этом одно и то же значение у может быть получено при различных х.

Область определения функции – это все значения независимой переменной (аргумента функции, обычно это х), при которых функция определена, т.е. ее значение существует. Обозначается область определения D(y). По большому счету Вы уже знакомы с этим понятием. Область определения функции по другому называется областью допустимых значений, или ОДЗ, которую Вы давно умеете находить.

Область значений функции – это все возможные значения зависимой переменной данной функции. Обозначается Е(у).

Функция возрастает на промежутке, на котором большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает на промежутке, на котором большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Промежутки знакопостоянства функции – это промежутки независимой переменной, на которых зависимая переменная сохраняет свой положительный или отрицательный знак.

Нули функции – это такие значения аргумента, при которых величина функции равна нулю. В этих точках график функции пересекает ось абсцисс (ось ОХ). Очень часто необходимость найти нули функции означает необходимость просто решить уравнение. Также часто необходимость найти промежутки знакопостоянства означает необходимость просто решить неравенство.

Функцию y = f(x) называют четной, если она определена на симметричном множестве и для любого х из области определения выполняется равенство:

Это означает, что для любых противоположных значений аргумента, значения четной функции равны. График чётной функции всегда симметричен относительно оси ординат ОУ.

Функцию y = f(x) называют нечетной, если она определена на симметричном множестве и для любого х из области определения выполняется равенство:

Это означает, что для любых противоположных значений аргумента, значения нечетной функции также противоположны. График нечётной функции всегда симметричен относительно начала координат.

Сумма корней чётной и нечетной функций (точек пересечения оси абсцисс ОХ) всегда равна нулю, т.к. на каждый положительный корень х приходится отрицательный корень –х.

Важно отметить: некоторая функция не обязательно должна быть четной либо нечетной. Существует множество функций не являющихся ни четными ни нечетными. Такие функции называются функциями общего вида, и для них не выполняется ни одно из равенств или свойств приведенных выше.

График линейной функции

Линейной функцией называют функцию, которую можно задать формулой:

График линейной функции представляет из себя прямую и в общем случае выглядит следующим образом (приведен пример для случая когда k > 0, в этом случае функция возрастающая; для случая k 0, в функции y = ax 2 + bx + c, то ветви параболы направлены вверх;
если же a 0), значение квадратного трехчлена:

Графики других функций

Степенной функцией называют функцию, заданную формулой:

Приведем несколько примеров графиков степенных функций:

Обратно пропорциональной зависимостью называют функцию, заданную формулой:

В зависимости от знака числа k график обратно пропорциональной зависимости может иметь два принципиальных варианта:

Асимптота — это линия, к которой линия графика функции бесконечно близко приближается, но не пересекает. Асимптотами для графиков обратной пропорциональности приведенных на рисунке выше являются оси координат, к которым график функции бесконечно близко приближается, но не пересекает их.

Читать еще:  Фрактальное дерево. Введение во фракталы

Показательной функцией с основанием а называют функцию, заданную формулой:

В зависимости от того больше или меньше единицы число a график показательной функции может иметь два принципиальных варианта (приведем также примеры, см. ниже):

Логарифмической функцией называют функцию, заданную формулой:

В зависимости от того больше или меньше единицы число a график логарифмической функции может иметь два принципиальных варианта:

График функции y = |x| выглядит следующим образом:

Графики периодических (тригонометрических) функций

Функция у = f(x) называется периодической, если существует такое, неравное нулю, число Т, что f(x + Т) = f(x), для любого х из области определения функции f(x). Если функция f(x) является периодической с периодом T, то функция:

где: A, k, b – постоянные числа, причем k не равно нулю, также периодическая с периодом T1, который определяется формулой:

Большинство примеров периодических функций — это тригонометрические функции. Приведем графики основных тригонометрических функций. На следующем рисунке изображена часть графика функции y = sinx (весь график неограниченно продолжается влево и вправо), график функции y = sinx называют синусоидой:

График функции y = cosx называется косинусоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Так как и график синуса он бесконечно продолжается вдоль оси ОХ влево и вправо:

График функции y = tgx называют тангенсоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Как и графики других периодических функций, данный график неограниченно далеко повторяется вдоль оси ОХ влево и вправо.

Ну и наконец, график функции y = ctgx называется котангенсоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Как и графики других периодических и тригонометрических функций, данный график неограниченно далеко повторяется вдоль оси ОХ влево и вправо.

Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?

Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:

  1. Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен, где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
  2. Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике. На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
  3. Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов, а также ответственная проработка итоговых тренировочных тестов, позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того, на что Вы способны.

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на электронную почту (адрес электронной почты здесь). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

Понятие функции. Основные свойства функции

Пределы и непрерывность

Множества

Под множеством понимается совокупность однородных объектов. Объекты, которые образуют множество, называются элементами или точками этого множества. Множества обозначают прописными буквами, а их элементы – строчными. Если a является элементом множества A, то используется запись aÎA. Если b не является элементом множества A, то это записывается так: b ÏA. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается так: Ø.

Читать еще:  Решение систем сравнений по модулю. Сравнение по модулю натурального числа

Если множество B состоит из части элементов множества A или совпадает с ним, то множество B называют подмножеством множества и обозначают BÌA.

Два множества называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Объединением двух множеств A и B называется множество C, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств: C=AÈB.

Пересечением двух множеств A и B называется множество C, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из данных множеств: C=AÇB.

Разностью множеств A и B называется множество E, состоящее из всех элементов множества A, которые не принадлежат множеству B: .

Дополнением множества AÌB называется множество C, состоящее из всех элементов множества B, не принадлежащих A.

Множества, элементами которых являются действительные числа, называются числовыми:

Множество X, элементы которого удовлетворяют неравенству называется отрезком (сегментом) и обозначается [a; b]; неравенству a

Интервал , т.е. множество точек удовлетворяющих неравенству (где ), называется -окрестностью точки a.

Понятие функции. Основные свойства функции

Если каждому элементу x множества X ставится в соответствие единственный элемент y множества Y, то говорят, что на множестве X задана функция y=f(x). При этом x называют независимой переменной или аргументом, а yзависимой переменной или функцией, а f обозначает закон соответствия. Множество X называют областью определения функции, а множество Yобластью значений функции.

Существует несколько способов задания функций.

1) Аналитический способ – функция задается формулой вида y=f(x).

2) Табличный способ – функция задается таблицей, содержащей значения аргумента и соответствующие им значения функции y=f(x).

3) Графический способ – изображение графика функции, т.е. множества точек (x; y) координатной плоскости, абсциссы которых представляют значения аргумента , а ординаты – соответствующие им значения функции y=f(x).

4) Словесный способ – функция описывается правилом ее составления. Например, функция Дирихле принимает значение 1, если x – рациональное число и 0, если x – иррациональное число.

Выделяют следующие основные свойства функций.

1 Четность и нечетностьФункция y=f(x) называется четной, если для любых значений x из области ее определения выполняется f(–x)=f(x), и нечетной, если f(–x)=–f(x). Если не выполняется ни одно из перечисленных равенств, то y=f(x) называется функцией общего вида. График четной функции симметричен относительно оси Oy, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Возрастающие и убывающие функции, а также невозрастающие и неубывающие функции называют монотонными.

3 ОграниченностьФункция y=f(x) называется ограниченной на промежутке X, если существует такое положительное число M>0, что |f(x)|≤M для любого xÎX. В противном случае функция называется неограниченной на X.

4 ПериодичностьФункция y=f(x) называется периодической с периодом T≠0, если для любых x из области определения функции f(x+T)=f(x). В дальнейшем под периодом будем понимать наименьший положительный период функции.

Функция называется явной, если она задана формулой вида y=f(x). Если функция задана уравнением F(x, y)=0, не разрешенным относительно зависимой переменной y, то ее называют неявной.

Пусть y=f(x) есть функция от независимой переменной , определенная на множестве X с областью значений Y. Поставим в соответствие каждому yÎY единственное значение xÎX, при котором f(x)=y.Тогда полученная функция x=φ(y), определенная на множестве Y с областью значений X, называется обратной и обозначается y=f –1 (x). Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первой и третьей координатных четвертей .

Пусть функция y=f(u) есть функция переменной u, определенной на множестве U с областью значений Y, а переменная u в свою очередь является функцией u=φ(x), определенной на множестве X с областью значений U. Тогда заданная на множестве X функция y=f(φ(x)) называется сложной функцией (композицией функций, суперпозицией функций, функцией от функции).

Элементарные функции

К основным элементарным функциям относят:

Из основных элементарных функций новые функции могут быть получены при помощи алгебраических действий и суперпозицией функций.

Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций суперпозиции, называются элементарными.

Алгебраической называется функция, в которой над аргументом проводится конечное число алгебраических действий. К числу алгебраических функций относятся:

· целая рациональная функция (многочлен или полином)

· дробно-рациональная функция (отношение двух многочленов)

· иррациональная функция (если в составе операций над аргументом имеется извлечение корня).

Всякая неалгебраическая функция называется трансцендентной. К числу трансцендентных функций относятся показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические функции.

109.201.137.33 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Источники:

http://studopedia.ru/19_54628_ponyatie-funktsii-osnovnie-svoystva-funktsii.html

http://educon.by/index.php/materials/math/funkcii

http://studopedia.ru/19_54628_ponyatie-funktsii-osnovnie-svoystva-funktsii.html

Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector
×
×
×
×