Дана квадратная форма записать в матричном виде. Квадратичные формы

Квадратичные формы и их матрицы

Определение 15.1. Квадратичной формой от n переменных x1, x2,…, xn называется многочлен

, (15.1)

где все aij = aji – действительные числа, называемые коэффициентами квадратичной формы.

Для записи квадратичной формы в матричном виде из переменных x1, x2,…, xn образуем вектор-столбец x, а из коэффициентов aij – матрицу

А ,

которая называется матрицей квадратичной формы и является в силу равенств aij = aji, i, j = 1, 2. n, симметрической.

Учитывая правило умножения матрицы на вектор, получаем

Аx .

Тогда выражение (15.1) запишется в виде

(x, Аx),

x * Аx,

где x * – вектор-строка из переменных x1, x2,…, xn, знак «*» означает транспонирование.

Итак, в матричной записи квадратичная форма (15.1) имеет вид

Таким образом, квадратичная форма полностью определяется своей матрицей, и, наоборот, любая квадратичная форма определяет однозначно симметрическую матрицу.

Пример 1. Составить матрицу квадратичной формы

Q(x1, x2, x3) = .

.

Можно проверить по формуле (15.2), что

x * Аx = = Q(x1, x2, x3).·

Пример 2. Найти квадратичную форму, соответствующую матрице

.

Решение. Данной матрице соответствует квадратичная форма

Q(x1, x2, x3, x4) =

109.201.137.33 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Запись квадратичной формы в матричном виде

Определение: Пусть – квадратная матрица размеров , а – произвольный вектор-столбец из R n . Квадратичной формой называется выражение вида ,

при этом, матрица А называется матрицей квадратичной формы, а ее ранг — рангом квадратичной формы.

Пример. Определить квадратичную форму с матрицей Согласно имеем:

Определение: Квадратичная форма называется симметрической, если – симметрическая матрица.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Каноническим видом квадратичной формы называется ее выражение в виде суммы квадратов координат некоторого вектора из R n : .

Определение: Невырожденная матрица называется ортогональной, если .

Утверждение. Для каждой симметрической квадратичной формы существует линейное преобразование с действительной ортогональной матрицей , приводящее ее к каноническому виду.

Используя данное утверждение в левой части и учитывая, что по свойству операции умножения матриц , а также определение , нетрудно получить соотношение , откуда следует, что числа в суть собственные значения матрицы .

Исследование на положительную (отрицательную) определенность.

Определение: Симметрическая квадратичная форма, или, что, в сущности, то же – симметрическая матрица, называется положительно (отрицательно) определенной, если для всех ненулевых выполняется

Читать еще:  Дом мечты для девочек. Создай дом своей мечты за несколько минут

.

Утверждение. Собственные значения положительно (отрицательно) определенной матрицы строго положительны (отрицательны).

Утверждение. (Критерий Сильвестра знаковой определенности симметрической квадратичной формы) Симметрическая квадратичная форма с матрицей тогда и только тогда является:

1) положительно определенной, когда все миноры матрицы , которые расположены симметрично относительно ее главной диагонали строго положительны, т.е.

, , , . ;

2) отрицательно определенной, когда знаки миноров матрицы , которые расположены симметрично относительно ее главной диагонали, чередуются строго в следующем порядке:

, , , и т.д.

Именно знаковая определенность квадратичной формы, связанной с исследуемой функцией многих действительных переменных, позволяет идентифицировать так называемую стационарную точку функции, как точку локального минимума или максимума.

Лекция № 6.

Тема: Прямая линия на плоскости

1. Виды уравнений прямой на плоскости.

2. Угол между прямыми на плоскости, его вычисление.

3. Условие параллельности двух прямых.

4. Условие перпендикулярности двух прямых.

5. Расстояние от точки до прямой.

1. Виды уравнений прямой на плоскости.

Определение.Уравнением линии называется такое уравнение, которому удовлетворяют координаты всех точек, лежащих на этой линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на линии

Обозначение: В общем виде F(x, y)=0 или y=f(x) (если возможно),

где F(x, y), f(x) – некоторые функции

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

имеет вид y=kx+b,где k-угловой коэффициент прямой, равный k=tgα

ü b=0, следовательно, y=kx – уравнение прямой, проходящей через начало координат и образует острый угол α с осью OX при k=tgα >0 и тупой угол α с осью OX при k=tgα 2 +В 2 ≠0

ü В=0, A≠0 Ax+C=0 (Обозначим: x=a уравнение прямой, параллельной оси OY(x=0 — уравнение оси OY)

ü Пусть В≠0

(Обозначим ).

a. Если A≠0 и С ≠0, то y=kx+b-уравнение прямой с угловым коэффициентом.

b. Если A≠0 и С =0, то y=kx – уравнение прямой, проходящей через начало координат

c. Если A=0 и С ≠0, то y=b – уравнение прямой, параллельной оси OY

d. Если A=0 и С=, то y=0 – уравнение оси OX

7.Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Заданы точка М(x,y) и ненулевой вектор . Тогда уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному ненулевому вектору имеет вид

Вектор , перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором этой прямой.

Это уравнение можно записать в виде Ax+By+C=0, где А и В- координаты нормального вектора, С= — Ax – By – свободный член.

Угол между двумя прямыми.

Пусть даны две прямые ,

Обозначим ,

Читать еще:  К чему снится, что кастрюля с супом разогревается? Мыть кастрюли.

Тогда угол между этими прямыми определяется по формуле или .

Данный угол получается поворотом прямой к прямой против часовой стрелки

3. Условие параллельности прямых

Если прямые параллельны, то угол =0

Если прямые заданы общими уравнениями + , + =0, то , , тогда условие параллельности прямых имеет вид .

4. Условие перпендикулярности прямых

Если прямые перпендикулярны, то угол =

Если прямые заданы общими уравнениями + , + =0, то , , тогда условие перпендикулярности прямых имеет вид

Дана квадратная форма записать в матричном виде. Квадратичные формы

. В самом деле

Например, запишем в матричном виде квадратичную форму .

Для этого найдем матрицу квадратичной формы. Ее диагональные элементы равны коэффициентам при квадратах переменных, а остальные элементы — половинам соответствующих коэффициентов квадратичной формы. Поэтому

Пусть матрица-столбец переменных X получена невырожденным линейным преобразовании матрицы-столбца Y, т.е. X = CY, где С — невырожденная матрица n-го порядка. Тогда квадратичная форма f(X) = Х T АХ = (CY) T A(CY) = (Y T C T )A(CY) =Y T (C T AC)Y.

Таким образом, при невырожденном линейном преобразовании С матрица квадратичной формы принимает вид: А * =C T AC.

Например, найдем квадратичную форму f(y1, y2), полученную из квадратичной формыf(х1, х2) = 2x1 2 + 4х1х2— 3х2 2 линейным преобразованием .

Квадратичная форма называется канонической(имеетканонический вид), если все ее коэффициентыaij= 0 приi≠j, т.е.f(х1, х2. хn) = a11 x1 2 + a22 x2 2 + … + ann xn 2 = .

Ее матрица является диагональной.

Теорема(доказательство здесь не приводится). Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду с помощью невырожденного линейного преобразования.

Для этого вначале выделим полный квадрат при переменной х1:

Теперь выделяем полный квадрат при переменной х2:

Отметим, что канонический вид квадратичной формы определяется неоднозначно (одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду разными способами 1 ). Однако полученные различными способами канонические формы обладают рядом общих свойств. В частности, число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду (например, в рассмотренном примере всегда будет два отрицательных и один положительный коэффициент). Это свойство называютзаконом инерции квадратичных форм.

Также следует отметить, что ранг матрицы квадратичной формы, называемый рангом квадратичной формы, равен числу отличных от нуля коэффициентов канонической формы и не меняется при линейных преобразованиях.

Квадратичную форму f(X) называютположительно(отрицательно)определенной, если при всех значениях переменных, не равных одновременно нулю, она положительна, т.е.f(X) > 0 (отрицательна, т.е.f(X) 2 + х2 2 — положительно определенная, т.к. представляет собой сумму квадратов, а квадратичная формаf2(X) = -x1 2 + 2x1х2— х2 2 — отрицательно определенная, т.к. представляет ее можно представить в видеf2(X) = -(x1— х2) 2 .

Читать еще:  К чему снится черепаха женщине: толкования. К чему снится Черепаха

В большинстве практических ситуации установить знакоопределенность квадратичной формы несколько сложнее, поэтому для этого используют одну из следующих теорем (сформулируем их без доказательств).

Теорема. Квадратичная форма является положительно (отрицательно) определенной тогда и только тогда, когда все собственные значения ее матрицы положительны (отрицательны).

Теорема (критерий Сильвестра). Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы этой формы положительны.

Главным (угловым) миноромk-го порядка матрицы Аn-го порядка называют определитель матрицы, составленный из первыхkстрок и столбцов матрицы А ().

Отметим, что для отрицательно определенных квадратичных форм знаки главных миноров чередуются, причем минор первого порядка должен быть отрицательным.

Например, исследуем на знакоопределенность квадратичную форму f(х1, х2) = 2x1 2 + 4х1х2+ 3х2 2 .

Способ 1. Построим матрицу квадратичной формы А = . Характеристическое уравнение будет иметь вид= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 — 2- 3+ 2 ) – 4 = 2 — 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17;. Следовательно, квадратичная форма – положительно определенная.

Способ 2. Главный минор первого порядка матрицы А 1=a11= 2 > 0. Главный минор второго порядка2== 6 – 4 = 2 > 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма – положительно определенная.

Исследуем на знакоопределенность другую квадратичную форму, f(х1, х2) = -2x1 2 + 4х1х2— 3х2 2 .

Способ 1. Построим матрицу квадратичной формы А = . Характеристическое уравнение будет иметь вид= (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2 ) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17;. Следовательно, квадратичная форма – отрицательно определенная.

Способ 2. Главный минор первого порядка матрицы А 1=a11= = -2 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма – отрицательно определенная (знаки главных миноров чередуются, начиная с минуса).

И в качестве еще одного примера исследуем на знакоопределенность квадратичную форму f(х1, х2) = 2x1 2 + 4х1х2— 3х2 2 .

Способ 1. Построим матрицу квадратичной формы А = . Характеристическое уравнение будет иметь вид= (2 -)* *(-3 -) – 4 = (-6 — 2+ 3+ 2 ) – 4 = 2 +- 10 = 0;D= 1 + 40 = 41;. Одно из этих чисел отрицательно, а другое – положительно. Знаки собственных значений разные. Следовательно, квадратичная форма не может быть ни отрицательно, ни положительно определенной, т.е. эта квадратичная форма не является знакоопределенной (может принимать значения любого знака).

Способ 2. Главный минор первого порядка матрицы А 1=a11= 2 > 0. Главный минор второго порядка2== -6 – 4 = -10 2 + 2x1х2 + х2 2 — x1 2 — х2 2 =

Источники:

http://studopedia.ru/15_74671_kvadratichnie-formi-i-ih-matritsi.html

http://lektsia.com/7x40ce.html

http://studfile.net/preview/6144690/page:5/

Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector