Что называют линейным уравнением. Линейные уравнения

Что такое линейное уравнение

Что такое линейное уравнение? Что называется корнем линейного уравнения? Сколько корней имеет линейное уравнение? Что значить решить линейное уравнение?

В курсе алгебры 7 класса линейное уравнение определяется следующим образом.

Определение.

Линейное уравнение с одной переменной — это уравнение вида ax=b, где a и b — числа, x — переменная.

Корнем линейного уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Например, корень уравнения 5x=40 равен 8, так как при x=8 это уравнение превращается в верное числовое равенство:

Количество корней линейного уравнения зависит от значения a (коэффициента перед x).

При a≠0 линейное уравнение имеет единственное решение.

Чтобы найти x, обе части уравнения нужно разделить на число, стоящее перед иксом:

Любое число можно разделить на 2, 5 и числа, которые могут быть представлены в виде произведения только двоек и пятёрок ( например, любое число можно разделить на 10, так как 10=2∙5; на 40, так как 40=2∙2∙2∙5).

В остальных случаях ответ записывают в виде обыкновенной дроби (если дробь неправильная, следует выделить из нее целую часть).

При a=0, b≠0 линейное уравнение

При любом значении x левая часть уравнения равна нулю, а правая — отлична от нуля. То есть нет ни одного значения x, при котором уравнение обратилось бы в верное числовое равенство.

При a=0, b=0 линейное уравнение

имеет бесконечное множество решений.

При любом значении x левая часть уравнения 0x=0 обращается в нуль, в правой части также стоит нуль. Значит, любое число является корнем этого уравнения, то есть, при любом значении x это уравнение обращается в верное числовое равенство.

Возможные решения линейных уравнений можно изобразить в виде схемы.

Решить линейное уравнение — значит, найти корень (корни) уравнения, либо убедиться, что уравнение не имеет корней.

Решение многих уравнений сводится к решению линейных уравнений.

Линейные уравнения: формулы и примеры. Неравенства и их решение

Научиться решать уравнения — это одна из главных задач, которые ставит алгебра перед учениками. Начиная с простейшего, когда оно состоит из одной неизвестной, и переходя ко все более сложным. Если не усвоены действия, которые нужно выполнить с уравнениями из первой группы, будет трудно разобраться с другими.

Для продолжения разговора нужно договориться об обозначениях.

Общий вид линейного уравнения с одной неизвестной и принцип его решения

Любое уравнение, которое можно привести к записи такого вида:

а * х = в,

называется линейным. Это общая формула. Но часто в заданиях линейные уравнения записаны в неявном виде. Тогда требуется выполнить тождественные преобразования, чтобы получить общепринятую запись. К этим действиям относятся:

  • раскрытие скобок;
  • перемещение всех слагаемых с переменной величиной в левую часть равенства, а остальных — в правую;
  • приведение подобных слагаемых.

В случае когда неизвестная величина стоит в знаменателе дроби, нужно определить ее значения, при которых выражение не будет иметь смысла. Другими словами, полагается узнать область определения уравнения.

Принцип, по которому решаются все линейные уравнения, сводится к тому, чтобы разделить значение в правой части равенства на коэффициент перед переменной. То есть «х» будет равен в/а.

Частные случаи линейного уравнения и их решения

Во время рассуждений могут возникать такие моменты, когда линейные уравнения принимают один из особых видов. Каждый из них имеет конкретное решение.

В первой ситуации:

а * х = 0, причем а ≠ 0.

Решением такого уравнения всегда будет х = 0.

Во втором случае «а» принимает значение равное нулю:

0 * х = 0.

Ответом такого уравнения будет любое число. То есть у него бесконечное количество корней.

Третья ситуация выглядит так:

0 * х = в, где в ≠ 0.

Это уравнение не имеет смысла. Потому что корней, удовлетворяющих ему, не существует.

Общий вид линейного уравнения с двумя переменными

Из его названия становится ясно, что неизвестных величин в нем уже две. Линейные уравнения с двумя переменными выглядят так:

а * х + в * у = с.

Поскольку в записи встречаются две неизвестные, то ответ будет выглядеть как пара чисел. То есть недостаточно указать только одно значение. Это будет неполный ответ. Пара величин, при которых уравнение превращается в тождество, является решением уравнения. Причем в ответе всегда первой записывают ту переменную, которая идет раньше по алфавиту. Иногда говорят, что эти числа ему удовлетворяют. Причем таких пар может быть бесконечное количество.

Как решить линейное уравнение с двумя неизвестными?

Для этого нужно просто подобрать любую пару чисел, которая окажется верной. Для простоты можно принять одну из неизвестных равной какому-либо простому числу, а потом найти вторую.

При решении часто приходится выполнять действия для упрощения уравнения. Они называются тождественными преобразованиями. Причем для уравнений всегда справедливы такие свойства:

  • каждое слагаемое можно перенести в противоположную часть равенства, заменив у него знак на противоположный;
  • левую и правую части любого уравнения разрешено делить на одно и то же число, если оно не равно нулю.

Примеры заданий с линейными уравнениями

Первое задание. Решить линейные уравнения: 4х = 20, 8(х — 1) + 2х = 2(4 — 2х); (5х + 15) / (х + 4) = 4; (5х + 15) / (х + 3) = 4.

В уравнении, которое идет в этом списке первым, достаточно просто выполнить деление 20 на 4. Результат будет равен 5. Это и есть ответ: х=5.

Третье уравнение требует того, чтобы было выполнено тождественное преобразование. Оно будет заключаться в раскрытии скобок и приведении подобных слагаемых. После первого действия уравнение примет вид: 8х — 8 + 2х = 8 — 4х. Потом нужно перенести все неизвестные в левую часть равенства, а остальные — в правую. Уравнение станет выглядеть так: 8х + 2х + 4х = 8 + 8. После приведения подобных слагаемых: 14х = 16. Теперь оно выглядит так же, как и первое, и решение его находится легко. Ответом будет х=8/7. Но в математике полагается выделять целую часть из неправильной дроби. Тогда результат преобразится, и «х» будет равен одной целой и одной седьмой.

В остальных примерах переменные находятся в знаменателе. Это значит, что сначала нужно узнать, при каких значениях уравнения определены. Для этого нужно исключить числа, при которых знаменатели обращаются в ноль. В первом из примеров это «-4», во втором оно «-3». То есть эти значения нужно исключить из ответа. После этого нужно умножить обе части равенства на выражения в знаменателе.

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, в первом из этих уравнений получится: 5х + 15 = 4х + 16, а во втором 5х + 15 = 4х + 12. После преобразований решением первого уравнения будет х = -1. Второе оказывается равным «-3», это значит, что последнее решений не имеет.

Второе задание. Решить уравнение: -7х + 2у = 5.

Предположим, что первая неизвестная х = 1, тогда уравнение примет вид -7 * 1 + 2у = 5. Перенеся в правую часть равенства множитель «-7» и поменяв у него знак на плюс, получится, что 2у = 12. Значит, у=6. Ответ: одно из решений уравнения х = 1, у = 6.

Общий вид неравенства с одной переменной

Все возможные ситуации для неравенств представлены здесь:

  • а * х > в;
  • а * х , то эти значения выколотые. В нестрогих неравенствах точки нужно закрашивать.

Потом полагается обозначить смысл неравенств. Это можно сделать с помощью штриховки или дуг. Их пересечение укажет ответ.

Вторая особенность связана с его записью. Здесь предлагается два варианта. Первый — это окончательное неравенство. Второй — в виде промежутков. Вот с ним бывает, что возникают трудности. Ответ промежутками всегда выглядит как переменная со знаком принадлежности и скобок с числами. Иногда промежутков получается несколько, тогда между скобками нужно написать символ «и». Эти знаки выглядят так: ∈ и ∩. Скобки промежутков тоже играют свою роль. Круглая ставится тогда, когда точка исключена из ответа, а прямоугольная включает это значение. Знак бесконечности всегда стоит в круглой скобке.

Примеры решения неравенств

1. Решить неравенство 7 — 5х ≥ 37.

После несложных преобразований получается: -5х ≥ 30. Разделив на «-5» можно получить такое выражение: х ≤ -6. Это уже ответ, но его можно записать и по-другому: х ∈ ( -∞; -6].

2. Решите двойное неравенство -4 13 сентября 2016, 18:21

Линейное уравнение

Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна 1.

Линейное уравнение можно представить

  • в общей форме:
  • в канонической форме:

Содержание

Линейное уравнение одной переменной

Линейное уравнение от одной переменной можно привести к виду:

.

Количество решений зависит от параметров a и b.

Если , то уравнение имеет бесконечное множество решений, поскольку

Если , то уравнение не имеет решений, поскольку

Если , то уравнение имеет единственное решение

Линейное уравнение двух переменных

Линейное уравнение двух переменных можно представить

  • в общей форме:
  • в канонической форме:
  • в форме линейной функции: , где

Решением или корнями такого уравнения называют такую пару значений переменных , которая обращает его в тождество. Таких решений (корней) линейное уравнение с двумя переменными имеет бесконечное множество. Геометрической моделью (графиком) такого уравнения является прямая .

См. также

Ссылки

  • Решение линейных уравнений на сайте «Рекомендации учащимся»

  • Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.

Линейное уравнение · Квадратное уравнение · Кубическое уравнение · Уравнение четвёртой степени · Уравнение пятой степени · Уравнение шестой степени · Уравнение седьмой степени

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое «Линейное уравнение» в других словарях:

ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ — уравнение вида где А линейный оператор, действующий из векторного пространства Xв векторное пространство В, х неизвестный элемент из X, b заданный элемент из В(свободный член). Если 6=0, то Л. у. наз. однородным. Решением Л. у. наз. элемент… … Математическая энциклопедия

ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ — алгебраическое уравнение, в которое неизвестные входят в 1 й степени и отсутствуют члены, содержащие произведения неизвестных. Линейное уравнение с одним неизвестным имеет вид: ax?b. В случае нескольких неизвестных имеют дело с системами линейных … Большой Энциклопедический словарь

ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ — (linear equation) Уравнение, в котором аргументы появляются только в первой степени и не более. Следовательно, например, ах+by+с=0 является линейным уравнением; но ах2+by+с=0 линейным не является. График линейного уравнения, содержащего лишь две… … Экономический словарь

ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ — алгебраическое уравнение 1 й степени вида ах = b, не содержащее произведения неизвестных … Большая политехническая энциклопедия

линейное уравнение — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN simple equationlinear equation … Справочник технического переводчика

линейное уравнение — алгебраическое уравнение, в которое неизвестные входят в 1 й степени и отсутствуют члены, содержащие произведения неизвестных. Линейное уравнение с одним неизвестным имеет вид: ax = b. В случае нескольких неизвестных имеют дело с системами… … Энциклопедический словарь

линейное уравнение — tiesinė lygtis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. linear equation vok. lineare Gleichung, f rus. линейное уравнение, n pranc. équation linéaire, f … Fizikos terminų žodynas

Линейное уравнение — уравнение, в которое неизвестные входят в 1 й степени (т. е. линейно) и отсутствуют члены, содержащие произведения неизвестных. Несколько Л. у. относительно одних и тех же неизвестных образуют систему Л. у. Решением системы Л. у. называют … Большая советская энциклопедия

ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ — алгебраическое алгебраическое уравнение 1 й степени по совокупности неизвестных, т. е. уравнение вида Всякая система Л. у. может быть записана в виде где ти n натуральные числа; а ij (i=1, 2, . . ., т, j=1, 2, . . ., n) наз. коэффициентами при… … Математическая энциклопедия

ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ — алгебр, ур ние, в к рое неизвестное входит в 1 й степени и в к ром отсутствуют члены, содержащие произведения неизвестных. Л. у. с одним неизвестным имеет вид: ах = b. В случае неск. неизвестных имеют дело с системами Л. у. Понятие линейности… … Большой энциклопедический политехнический словарь

Источники:

Что такое линейное уравнение

http://www.syl.ru/article/177049/mod_lineynyie-uravneniya-formulyi-i-primeryi-neravenstva-i-ih-reshenie

http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/14745

Читать еще:  Как принимать работников на собеседовании. Основные виды собеседований
Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector