Чему равна напряженность внутри сферы. Электрическое поле заряженной сферы

Электрическое поле заряженной сферы

Теорема Гаусса.

Потоком вектора напряженности через замкнутый контур площадью S называется произведение проекции вектора напряженности на нормаль к контуру на площадь контура: .

Поток вектора напряженности через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную: .

Напряженность поля точечного заряда.

Для определения напряженности проведем сферическую поверхность S радиусом r с центром совпадающим с зарядом и воспользуемся теоремой Гаусса. Так как внутри указанной области находится только один заряд q, то согласно указанной теореме получим равенство: (1), где E_n – нормальная составляющая напряженности электрического поля. Из соображений симметрии нормальная составляющая должна быть равна самой напряженности и постоянна для всех точек сферической поверхности, поэтому E=E_n=const. Поэтому ее можно вынести за знак суммы. Тогда равенство (1) примет вид , что и было получено из закона Кулона и определения напряженности электрического поля.

Электрическое поле заряженной сферы

Если сфера проводящая, то весь заряд находится на поверхности. Рассмотрим две области I – внутри сферы радиуса R с зарядом q и вне сферы область II.

Для определения напряженности в области I проведем сферическую поверхность S₁ радиусом r₁ (0

В области II R£r₂ проведем сферическую поверхность S₂ радиусом r₂ и воспользуемся теоремой Гаусса:

(2), Þ – напряженность поля вне сферы рассчитывается по той же формуле, что и напряженность поля точечного заряда.

Электрическое поле заряженного шара

Заряд равномерно распределен по всему объему шара, поэтому введем понятие объемной плотности заряда: . Рассмотрим две области I – внутри сферы радиуса R с зарядом q и вне сферы область II.

Для определения напряженности в области I проведем сферическую поверхность S₁ радиусом r₁ (0

Энергия заряженной сферы

Пусть электрический заряд Q равномерно распределен по поверхности сферы радиуса R . Вне сферы электрическое поле, создаваемое зарядами на сфере, эквивалентно полю точечного заряда, помещенного в центре сфере (рис. 350).

рис. 350
Внутри сферы поле отсутствует. Так, напряженность поля в точке, находящейся на расстоянии r от центра сферы, равна

в частности, непосредственно у поверхности сферы, напряженность поля равна
(15)
Обратим внимание, что произведение S = 4πR 2 есть площадь сферы, тогда отношение

является поверхностной плотностью заряда на сфере, поэтому напряженность поля у поверхности сферы выражается той же формулой, что и напряженность поля между пластинами, рассмотренными в предыдущем разделе E o = σ/ε o . Потенциал поверхности сферы также был вычислен нами ранее

Рассчитаем теперь энергию поля, создаваемого зарядами на сфере. Мысленно разделим заряд сферы на N равных малых частей, величины которых равны

Рассмотрим один из этих малых зарядов. В точке его расположения потенциал поля, создаваемого всеми остальными (N − 1) зарядами, равен

С использованием симметричной формулы

выражение для энергии взаимодействия приобретает вид

данная сумма содержит N одинаковых слагаемых, поэтому равна

Так как число частей N , на которые разбивается сфера, может быть сделано сколь угодно большим, то в пределе N → ∞ слагаемое 1/N исчезает, поэтому окончательное выражение для энергии взаимодействия зарядов сферы имеет вид

Заметим, что полученное выражение имеет вид

Если сразу заявить, что уменьшение заряда на малую величину δQ пренебрежимо мало изменяет потенциал сферы, то результат (17) получается прямым применением формулы для энергии взаимодействия зарядов. Однако, обращение с малыми величинами требует известной строгости, поэтому мы и привели несколько «удлиненный» вывод.
Приведем еще один вывод этой же формулы 1 . Для этого энергию системы рассчитаем как работу, которую необходимо совершить, чтобы зарядить сферу. Мысленно будем заряжать сферу малыми равными порциями заряда

которые будем переносить на сферу из «бесконечности». Если сфера не заряжена, то перенесение первой «порции» заряда не требует совершения никакой работы. После того, как сфера приобрела некоторый электрический заряд, перенесение следующей порции заряда требует совершения работы по преодолению сил отталкивания со стороны зарядов сферы. Если на сферу перенесено (k − 1) порции заряда, то ее потенциал равен

Поэтому для того, что бы перенести на сферу следующую порцию заряда, необходимо совершить работу

Полная работа по зарядке сферы (равная энергии электрического поля сферы) выражается суммой геометрической прогрессии

Как и следовало ожидать, мы получили выражение, полностью совпадающее с (17), при бесконечном уменьшении порций переносимых зарядов мы опять приходим к формуле (14).
В этом нет ничего удивительного, так как в первом случае мы подсчитали энергию, которая выделится при разбегании зарядов со сферы, а во втором − энергию, которую необходимо затратить, чтобы собрать их обратно.
Покажем, что энергию взаимодействия зарядов и в этом случае можно истолковать как энергию электрического поля, «размазанную» по всему пространству, где существует поле. Представим, что радиус сферы увеличился на малую величину ΔR , а ее заряд при этом не изменился. Согласно формуле (14), энергия взаимодействия зарядов при этом уменьшится. В пространстве, вне сферы увеличенного радиуса, электрическое поле не изменилось, а в тонком сферическом слое между начальной и расширенной сферами − исчезло (рис. 351).

рис. 351
Поэтому следует считать, что уменьшение энергии взаимодействия зарядов при увеличении радиуса сферы равно энергии, которая заключена в этом тонком сферическом слое. При малой толщине слоя его объем можно вычислить как произведение площади сферы на толщину слоя

Пренебрегая изменением напряженности поля в пределах тонкого слоя, энергию, заключенную в нем, запишем в виде

где w − плотность энергии поля. С другой стороны, эта энергия равна изменению энергии взаимодействия зарядов при увеличении радиуса сферы

На последнем шаге мы пренебрегли малым изменением радиуса ΔR . Наконец, выразим заряд шара через напряженность электрического поля у его поверхности

тогда

Из сравнения с формулой (16) следует, что и в рассматриваемом случае плотность энергии электрического поля выражается формулой

Одно из самых интересных и полезных открытий в механике – это закон сохранения энергии. Зная формулы для кинетической и потенциальной энергий механической системы, мы способны обнаруживать связь между состояниями системы в два разных момента времени, не вникая в подробности того, что происходит между этими моментами. Мы хотим определить теперь энергию электростатических систем. В электричестве сохранение энергии окажется столь же полезным для обнаружения многих любопытных фактов.

Закон, по которому меняется энергия при электростатическом взаимодействии, очень прост; на самом деле мы его уже обсуждали. Пусть имеются заряды и , разделенные промежутком . У этой системы есть какая-то энергия, потому что понадобилась какая-то работа, чтобы сблизить заряды. Мы подсчитывали работу, производимую при сближении двух зарядов с большого расстояния; она равна

Мы знаем из принципа наложения, что если зарядов много, то общая сила, действующая на любой из зарядов, равна сумме сил, действующих со стороны всех прочих зарядов. Отсюда следует, что полная энергия системы нескольких зарядов есть сумма членов, выражающих взаимодействие каждой пары зарядов по отдельности. Если и – какие-то два из зарядов, а расстояние между ними (фиг. 8.1), то энергия именно этой пары равна

Фигура 8.1. Электростатическая энергия системы частиц есть сумма электростатических энергий каждой пары

Полная электростатическая энергия есть сумма энергий всевозможных пар зарядов:

Если распределение задается плотностью заряда , то сумму в (8.3) нужно, конечно, заменить интегралом.

Мы расскажем здесь об энергии с двух точек зрения. Первая – применение понятия энергии к электростатическим задачам; вторая – разные способы оценки величины энергии. Порой легче бывает подсчитать выполненную в каком-то случае работу, чем оценить величину суммы в (8.3) или величину соответствующего интеграла. Для образца подсчитаем энергию, необходимую для того, чтобы собрать из зарядов однородно заряженный шар. Энергия здесь есть не что иное, как работа, которая затрачивается на собирание зарядов из бесконечности.

Представьте, что мы сооружаем шар, наслаивая последовательно друг на друга сферические слои бесконечно малой толщины. На каждой стадии процесса мы собираем небольшое количество электричества и размещаем его тонким слоем от до . Мы продолжаем процесс этот до тех пор, пока не доберемся до заданного радиуса (фиг. 8.2). Если – это заряд шара в тот момент, когда шар доведен до радиуса , то работа, требуемая для доставки на шар заряда , равна

Фигура 8.2. Энергию однородно заряженного шара можно рассчитать, вообразив, что его слепили, последовательно наслаивая друг на друга сферические слои.

Если плотность заряда внутри шара есть , то заряд равен

а заряд равен по всем парам точек внутри шара равно .

7. Энергия электрического поля

(Примеры решения задач)

Энергия взаимодействия зарядов

Определите электрическую энергию взаимодействия точечных зарядов, расположенных в вершинах квадрата со стороной a (см. рис.2).

На рис.3 условно изображены двунаправленными стрелками все парные взаимодействия зарядов. Учитывая энергии всех этих взаимодействий, получим:

Учебники

Журнал “Квант”

Общие

§9. Электрическое поле и его свойства

9.7. Поле равномерно заряженной сферы

Рассмотрим теперь с помощью теоремы Гаусса, поле, создаваемое равномерно заряженной тонкой сферической оболочки. Опять начнем с рассмотрения симметрии поля. Очевидно, что поле, также как распределение зарядов имеет сферическую симметрию. Это означает, что модуль вектора напряженности зависит только от расстояния до центра сферы (или во всех точках, находящихся от центра сферы на одном расстоянии, модуль напряженности постоянен), а направление — радиальное, от центра сферы к точке наблюдения. Выберем в качестве замкнутой поверхности, к которой применим теорему Гаусса, сферу, концентрическую с заряженной оболочкой (рис. 171).

Пусть радиус сферы r больше радиуса оболочки. Тогда во всех точках этой сферы вектор напряженности направлен вдоль нормали к поверхности, а его модуль постоянен. Поэтому поток вектора напряженности через сферу равен произведению модуля напряженности на площадь сферы (

Phi_E = E cdot 4 pi r^2) . По теореме Гаусса это поток равен заряду сферы, деленному на электрическую постоянную (

Phi_E = frac) . Из равенства этих выражений получаем зависимость напряженности поля от расстояния

Полученная формула, соответствует формуле закона Кулона для точечного заряда, следовательно, вне сферы, поле равномерно заряженной сферы, совпадает с полем точечного заряда, помещенного в центре сферы. Таким образом, результат, на доказательство которого И. Ньютон затратил несколько лет, получен нами почти автоматически. Подчеркнем, что для доказательства формулы (1) помимо теоремы К. Гаусса, потребовалось рассмотреть симметрию поля.

Поле внутри заряженной сферической оболочки также должно обладать сферической симметрией. Поэтому, поток вектора напряженности электрического поля через сферу, концентрическую с заряженной оболочкой и расположенную внутри нее (рис. 172) также выражается формулой (

Phi_E = E cdot 4 pi r^2) .

Однако внутри этой сферы электрических зарядов нет, поэтому, из теоремы К. Гаусса следует, что напряженность поля внутри сферы равна нулю. Подчеркнем, если бы теорема Гаусса была не справедлива, то внутри равномерно заряженной оболочки существовало бы электрическое поле.

Таким образом, функция, описывающая напряженность поля равномерно заряженной сферы радиуса R, имеет вид (график этой функции показан на рисунке 173)

Источники:

http://megaobuchalka.ru/5/51501.html

http://les74.ru/the-energy-of-a-charged-sphere.html

http://www.physbook.ru/index.php/%D0%A1%D0%BB%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B4%D1%8F%D0%BD%D1%8E%D0%BA_%D0%90.%D0%98._%D0%A4%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_10/9.7