2 линейных уравнения. Решение простых линейных уравнений

Содержание

Линейные уравнения. Решение линейных уравнений.

Решение линейных уравнений базируется на тождественных преобразованиях уравнений. Если сказать по-другому, решение всех уравнений начинается с этих преобразований. При решении линейных уравнений, оно (решение) на тождественных преобразованиях и заканчивается окончательным ответом.

Случай ненулевого коэффициента при неизвестной переменной.

Переносим в одну сторону члены с иксом, а в другую сторону — числа. Обязательно помните, что перенося слагаемые на противоположную сторону уравнения, нужно поменять знак:

Приводим подобные слагаемые:

Далее делим обе части уравнения на коэффициент при иксе (у нас это a), теперь x остался без коэффициента:

Сокращаем а при х и получаем:

Это ответ. Если нужно проверить, является ли число -b:(a) корнем нашего уравнения, то нужно подставить в начальное уравнение вместо х это самое число:

Т.к. это равенство верное, то -b:(a) и правда есть корень уравнения.

Переносим в одну сторону члены с х, а в другую сторону числа:

Приводим подобные слагаемые:

Далее делим обе части уравнения на коэффициент при иксе (у нас: −2), теперь x остается без коэффициента:

При неизвестной коэффициент сократили и получили ответ:

Это ответ. Если нужно проверить, действительно ли число 4 корнем нашего уравнения, подставляем в исходное уравнение вместо икса это число:

Т.к. это равенство верное, то 4 — это корень уравнения.

Сначала избавляемся от дроби (правило сокращения дробей), домножив каждое слагаемое на 7 (если знаменатели разные, то пользуемся правилом приведения дробей к общему знаменателю):

Перенеся неизвестные и числа в разные стороны, получили:

Делим части уравнения на коэффициент при x (на 4) и получаем:

Ответ: .

Сначала избавляемся от иррациональности в коэффициенте при неизвестном, домножив все слагаемые на :

Эту форму считают упрощаемой, т.к. в числе есть корень числа в знаменателе. Нужно упростить ответ, умножив числитель и знаменатель на одинаковое число, у нас это :

Ответ: .

Случай отсутствия решений.

Перенеся иксы и числа в разные стороны и приведя подобные слагаемые, получаем уравнение:

Читать еще:  К чему снятся повешенные люди сонник. К чему снится повешенная девушка

При всех x наше уравнение не станет верным равенством. То есть, у нашего уравнения нет корней.

Ответ: решений нет.

Частный случай — бесконечное число решений.

Перенеся иксы и числа в разные стороны и приведя подобные слагаемые, получаем уравнение:

Здесь тоже не возможно разделить обе части на 0, т.к. это запрещено. Однако, подставив на место х всякое число, мы получаем верное равенство. То есть, всякое число есть решение такого уравнения. Т.о., здесь бесконечное число решений.

Ответ: бесконечное число решений.

Случай равенства двух полных форм.

Ответ: x=(d-b):(a-c), если d≠b и a≠c, иначе бесконечно много решений, но, если a=c, а d≠b, то решений нет.

Линейные уравнения: формулы и примеры. Неравенства и их решение

Научиться решать уравнения — это одна из главных задач, которые ставит алгебра перед учениками. Начиная с простейшего, когда оно состоит из одной неизвестной, и переходя ко все более сложным. Если не усвоены действия, которые нужно выполнить с уравнениями из первой группы, будет трудно разобраться с другими.

Для продолжения разговора нужно договориться об обозначениях.

Общий вид линейного уравнения с одной неизвестной и принцип его решения

Любое уравнение, которое можно привести к записи такого вида:

а * х = в,

называется линейным. Это общая формула. Но часто в заданиях линейные уравнения записаны в неявном виде. Тогда требуется выполнить тождественные преобразования, чтобы получить общепринятую запись. К этим действиям относятся:

  • раскрытие скобок;
  • перемещение всех слагаемых с переменной величиной в левую часть равенства, а остальных — в правую;
  • приведение подобных слагаемых.

В случае когда неизвестная величина стоит в знаменателе дроби, нужно определить ее значения, при которых выражение не будет иметь смысла. Другими словами, полагается узнать область определения уравнения.

Принцип, по которому решаются все линейные уравнения, сводится к тому, чтобы разделить значение в правой части равенства на коэффициент перед переменной. То есть «х» будет равен в/а.

Частные случаи линейного уравнения и их решения

Во время рассуждений могут возникать такие моменты, когда линейные уравнения принимают один из особых видов. Каждый из них имеет конкретное решение.

В первой ситуации:

а * х = 0, причем а ≠ 0.

Решением такого уравнения всегда будет х = 0.

Во втором случае «а» принимает значение равное нулю:

0 * х = 0.

Ответом такого уравнения будет любое число. То есть у него бесконечное количество корней.

Третья ситуация выглядит так:

0 * х = в, где в ≠ 0.

Это уравнение не имеет смысла. Потому что корней, удовлетворяющих ему, не существует.

Общий вид линейного уравнения с двумя переменными

Из его названия становится ясно, что неизвестных величин в нем уже две. Линейные уравнения с двумя переменными выглядят так:

а * х + в * у = с.

Поскольку в записи встречаются две неизвестные, то ответ будет выглядеть как пара чисел. То есть недостаточно указать только одно значение. Это будет неполный ответ. Пара величин, при которых уравнение превращается в тождество, является решением уравнения. Причем в ответе всегда первой записывают ту переменную, которая идет раньше по алфавиту. Иногда говорят, что эти числа ему удовлетворяют. Причем таких пар может быть бесконечное количество.

Как решить линейное уравнение с двумя неизвестными?

Для этого нужно просто подобрать любую пару чисел, которая окажется верной. Для простоты можно принять одну из неизвестных равной какому-либо простому числу, а потом найти вторую.

При решении часто приходится выполнять действия для упрощения уравнения. Они называются тождественными преобразованиями. Причем для уравнений всегда справедливы такие свойства:

  • каждое слагаемое можно перенести в противоположную часть равенства, заменив у него знак на противоположный;
  • левую и правую части любого уравнения разрешено делить на одно и то же число, если оно не равно нулю.

Примеры заданий с линейными уравнениями

Первое задание. Решить линейные уравнения: 4х = 20, 8(х — 1) + 2х = 2(4 — 2х); (5х + 15) / (х + 4) = 4; (5х + 15) / (х + 3) = 4.

Читать еще:  Казненные в нюрнберге. Советский нюрнберг

В уравнении, которое идет в этом списке первым, достаточно просто выполнить деление 20 на 4. Результат будет равен 5. Это и есть ответ: х=5.

Третье уравнение требует того, чтобы было выполнено тождественное преобразование. Оно будет заключаться в раскрытии скобок и приведении подобных слагаемых. После первого действия уравнение примет вид: 8х — 8 + 2х = 8 — 4х. Потом нужно перенести все неизвестные в левую часть равенства, а остальные — в правую. Уравнение станет выглядеть так: 8х + 2х + 4х = 8 + 8. После приведения подобных слагаемых: 14х = 16. Теперь оно выглядит так же, как и первое, и решение его находится легко. Ответом будет х=8/7. Но в математике полагается выделять целую часть из неправильной дроби. Тогда результат преобразится, и «х» будет равен одной целой и одной седьмой.

В остальных примерах переменные находятся в знаменателе. Это значит, что сначала нужно узнать, при каких значениях уравнения определены. Для этого нужно исключить числа, при которых знаменатели обращаются в ноль. В первом из примеров это «-4», во втором оно «-3». То есть эти значения нужно исключить из ответа. После этого нужно умножить обе части равенства на выражения в знаменателе.

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, в первом из этих уравнений получится: 5х + 15 = 4х + 16, а во втором 5х + 15 = 4х + 12. После преобразований решением первого уравнения будет х = -1. Второе оказывается равным «-3», это значит, что последнее решений не имеет.

Второе задание. Решить уравнение: -7х + 2у = 5.

Предположим, что первая неизвестная х = 1, тогда уравнение примет вид -7 * 1 + 2у = 5. Перенеся в правую часть равенства множитель «-7» и поменяв у него знак на плюс, получится, что 2у = 12. Значит, у=6. Ответ: одно из решений уравнения х = 1, у = 6.

Общий вид неравенства с одной переменной

Все возможные ситуации для неравенств представлены здесь:

  • а * х > в;
  • а * х , то эти значения выколотые. В нестрогих неравенствах точки нужно закрашивать.

Потом полагается обозначить смысл неравенств. Это можно сделать с помощью штриховки или дуг. Их пересечение укажет ответ.

Вторая особенность связана с его записью. Здесь предлагается два варианта. Первый — это окончательное неравенство. Второй — в виде промежутков. Вот с ним бывает, что возникают трудности. Ответ промежутками всегда выглядит как переменная со знаком принадлежности и скобок с числами. Иногда промежутков получается несколько, тогда между скобками нужно написать символ «и». Эти знаки выглядят так: ∈ и ∩. Скобки промежутков тоже играют свою роль. Круглая ставится тогда, когда точка исключена из ответа, а прямоугольная включает это значение. Знак бесконечности всегда стоит в круглой скобке.

Примеры решения неравенств

1. Решить неравенство 7 — 5х ≥ 37.

После несложных преобразований получается: -5х ≥ 30. Разделив на «-5» можно получить такое выражение: х ≤ -6. Это уже ответ, но его можно записать и по-другому: х ∈ ( -∞; -6].

2. Решите двойное неравенство -4 13 сентября 2016, 18:21

Линейные уравнения

Линейные уравнения – уравнения, которые можно представить в виде (ax+b=0), где (a) и (b) – какие-либо числа.

Проще говоря, это такие уравнения , в которых переменные (обычно иксы) в первой степени . При этом не должно быть переменных в знаменателях дробей .

А тут (a=0, b=5) (пояснение: данное уравнение может быть представлено в виде (0cdot x+5=0))

Здесь (a) и (b) изначально не определены, но преобразовав уравнение, мы сможем их найти.

Тоже самое, (a) и (b) пока что неизвестны.

Решение линейных уравнений

При решении линейных уравнений, мы стремимся найти корень, то есть такое значение для переменной, которое превратит уравнение в правильное равенство.

В простых уравнениях корень очевиден сразу или легко находиться подбором. Например, понятно, что корнем уравнения (x+3=5) будет число (2), ведь именно двойка при подстановке ее вместо икса даст (5=5) – верное равенство.

Однако в более сложных случаях ответ сразу не виден. И тогда на помощь приходят равносильные преобразования .

Чтобы найти корень уравнения нужно равносильными преобразования привести данное нам уравнение к виду

Это число и будет корнем.

То есть, мы преобразовываем уравнение, делая его с каждым шагом все проще, до тех пор, пока не сведем к совсем примитивному уравнению «икс = число», где корень – очевиден. Наиболее часто применяемыми при решении линейных уравнений являются следующие преобразования:

1. Прибавление или вычитание из обеих частей уравнения одинакового числа или выражения.

Например: прибавим (5) к обеим частям уравнения (6x-5=1)

Обратите внимание, что тот же результат мы могли бы получить быстрее – просто записав пятерку с другой стороны уравнения и поменяв при этом ее знак. Собственно, именно так и делается школьный «перенос через равно со сменой знака на противоположный».

2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одинаковое число или выражение.

Например: разделим уравнение (-2x=8) на минус два

Обычно данный шаг выполняется в самом конце, когда уравнение уже приведено к виду (ax=b), и мы делим на (a), чтобы убрать его слева.

3. Использование свойств и законов математики: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, сокращение дробей и т.д.

Чаще всего при решении линейного уравнения приходиться делать несколько разных преобразований.

Пример. Решить линейное уравнение (6(4-x)+x=3-2x)

Прибавляем (2x) слева и справа

Вычитаем (24) из обеих частей уравнения

Опять приводим подобные слагаемые

Теперь делим уравнение на (-3), тем самым убирая коэффициент перед иксом в левой части.

Ответ найден. Однако давайте его проверим. Если семерка действительно корень, то при подстановке ее вместо икса в первоначальное уравнение должно получиться верное равенство — одинаковые числа слева и справа. Пробуем.

Сошлось. Значит, семерка и в самом деле является корнем исходного линейного уравнения.

Не ленитесь проверять подстановкой найденные вами ответы, особенно если вы решаете уравнение на контрольной или экзамене.

Остается вопрос – а как определить, что делать с уравнением на очередном шаге? Как именно его преобразовывать? Делить на что-то? Или вычитать? И что конкретно вычитать? На что делить?

Ваша цель – привести уравнение к виду (x=[число]), то есть, слева икс без коэффициентов и чисел, а справа – только число без переменных. Поэтому смотрите, что вам мешает и делайте действие, обратное тому, что делает мешающий компонент.

Чтобы лучше это понять, разберем по шагам решение линейного уравнения (x+3=13-4x).

Давайте подумаем: чем данное уравнение отличается от (x=[число])? Что нам мешает? Что не так?

Ну, во-первых, мешает тройка, так как слева должен быть только одинокий икс, без чисел. А что «делает» тройка? Прибавляется к иксу. Значит, чтобы ее убрать — вычтем такую же тройку. Но если мы вычитаем тройку слева, то должны вычесть ее и справа, чтобы равенство не было нарушено.

Хорошо. Теперь что мешает? (4x) справа, ведь там должны быть только числа. (4x) вычитается — убираем прибавлением.

Теперь приводим подобные слагаемые слева и справа.

Уже почти готово. Осталось убрать пятерку слева. Что она «делает»? Умножается на икс. Поэтому убираем ее делением.

Решение завершено, корень уравнения – двойка. Можете проверить подстановкой.

Заметим, что чаще всего корень в линейных уравнениях только один. Однако могут встретиться два особых случая.

Особый случай 1 – в линейном уравнении нет корней.

Пример. Решить уравнение (3x-1=2(x+3)+x)

Источники:

http://www.calc.ru/Lineynyye-Uravneniya-Resheniye-Lineynykh-Uravneniy.html

http://www.syl.ru/article/177049/mod_lineynyie-uravneniya-formulyi-i-primeryi-neravenstva-i-ih-reshenie

http://cos-cos.ru/math/74/

Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector