Смещение синусоиды. Тригонометрические кривые

Разложение периодической несинусоидальной кривой в тригонометрический ряд

Явления, происходящие в линейных цепях при периодических, но несинусоидальных ЭДС, напряжениях и токах, проще всего поддаются исследованию, если кривые ЭДС, напряжений и токов разложить в тригонометрические ряды Эйлера — Фурье.

Как известно, всякая периодическая функция , удовлетворяющая условиям Дирихле, т. е. имеющая на всяком конечном интервале конечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов, может быть разложена в тригонометрический ряд:

Первый член ряда называется постоянной составляющей или нулевой гармоникой, второй член — основной синусоидой или 1-й гармоникой, а все остальные члены вида при k>1 носят название высших гармоник; — основная частота (угловая); Т — период несинусоидальной периодической функции.

Тригонометрический ряд после раскрытия синуса суммы для каждой из гармонических составляющих, или, короче, гармоник, записывается и в иной форме:

Здесь .

Коэффициенты могут быть вычислены при помощи следующих интегралов:

Постоянная составляющая равна среднему значению функции за ее период .

Зная коэффициенты ряда (12.2), легко перейти к форме (12.1), подсчитывая

Вводя условно отрицательные частоты, т. е. переходя к суммированию по k от до , можно ряду (12.2) придать более компактный вид (где, по существу, каждая гармоника, кроме нулевой, входит под знак суммы дважды):

Постоянная составляющая в этом выражении получается при k=0, что соответствует выражению (12.3), так как .

Выражению (12.2а) можно придать несколько иной вид, если воспользоваться формулами Эйлера для тригонометрических функций времени:

и вместо (12.2а) получим

где согласно (12.3)

Учитывая, что а и что сумма двух комплексно-сопряженных величин равна их удвоенной действительной части, выражение (12.26) можно упростить. Оно принимает вид

Комплексная форма ряда Фурье [(12.2в) и (12.3а)] имеет большое значение при переходе от дискретного спектра к непрерывному.

Рис. 12.4

Значительное число непериодических функций времени, с которыми приходится встречаться в электротехнике (рис. 12.4, а), удовлетворяет условию

Функции, удовлетворяющие этому условию, называются симметричными относительно оси абсцисс. Они раскладываются в ряд, который не содержит четных гармоник и постоянной составляющей:

В схемах выпрямления переменного тока часто приходится встречаться с функциями, которые при соответствующем выборе начала координат удовлетворяют условию (рис. 12.4, 6)

Такие функции называются симметричными относительно оси ординат.

В этом случае ряд не содержит синусов:

В схемах умножения частоты встречаются функции, которые при выборе начала координат в точке нуля функции удовлетворяют условию (рис. 12.4, в)

Такие функции называются симметричными относительно начала координат и раскладываются в ряд, не содержащий косинусов и постоянной составляющей:

Примеры разложения в ряд некоторых простейших из наиболее часто встречающихся в электротехнике кривых приведены в приложении 3.

Если начало отсчета времени сдвигается, то соответственно изменяется вид ряда, в котором амплитуды гармоник остаются прежними, но изменяются их начальные фазы. Например, если перейти от функции , выражаемой рядом (12.1), к , т. е. сместить начало отсчета времени на , то получим ряд

Совокупность гармонических составляющих несинусоидальной периодической функции называется ее дискретным частотным спектром.

Спектр можно характеризовать некоторой зависимостью (спектр амплитуд) и (спектр фаз) от частоты .

Построить спектр для несинусоидальной функции в виде ряда прямоугольных импульсов

Построить спектр для несинусоидальной функции в виде ряда прямоугольных импульсов продолжительностью с высотой , следующих один за другим через интервалы времени (рис. 12.5, а). Напряжения такой формы встречаются в различных схемах телеграфии, телемеханики и автоматики.

Рис. 12.5

Решение. Найдя коэффициенты разложения по формулам (12.3) или выписав их из таблицы (приложение 3), представим рассматриваемую функцию в виде ряда

где .

Дискретный спектр амплитуд этих импульсов представлен на рис. 12.5, б. Там же показан спектр фаз, изображенный в виде непрерывной функции. Эта функция реально существует только в тех точках, где .

Построить спектр той же функции, что в примере 12.1, при начале отсчета времени, сдвинутом на (рис. 12.6, а).

Рис. 12.6

Решение. Эта функция симметрична относительно оси ординат, и ее разложение в тригонометрический ряд имеет вид:

Спектры амплитуд и фаз этой функции показаны на рис. 12.6, б. Естественно, что спектр амплитуд остался прежним.

Рассматривая каждую гармонику как сумму членов ряда для и переходя от записи (12.2) к (12.2а), можно этому выражению придать следующий вид:

Действительно, при k=0

т. е. получаем постоянную составляющую; при четных значениях k члены ряда обращаются в нуль, а при k нечетных и при суммировании членов для положительных и отрицательных к дают амплитуду, равную .

Спектр амплитуд в этом случае имеет симметричный вид (рис. 12.6, в).

Читать еще:  Керн Анна Петровна. Биография

Такое рассмотрение гармонические составляющих как совокупности колебаний положительных и отрицательных часто во многих случаях позволяет получить более простое общее выражение. Отрицательная частота, конечно, не имеет физического смысла, и составляющие ряда при k

Синусоида — свойства, формула и график функции

Основные понятия

Кривая получается из синусоидальной дуги путём смещения к пи/2 в сторону со знаком минус. Кривая представляет график функции у=sin x. В формуле синусоиды y=a+b cos (cx+d) присутствуют следующие аргументы:

  • a: показывает сдвиг графика синусоиды по оси Oy (чем больше значение, тем выше прямая);
  • b: описывает растяжения функции по оси Oy (чем выше постоянная, тем сильнее колебания);
  • c: определяет растяжение по оси Ох (если постоянная увеличивается, наступает период колебаний);
  • d: описывает сдвиг по оси Ох (если d увеличивается, тогда при построении синусоиды учитывается сдвиг в область со знаком минус по оси абсцисс).

Сжатие, растяжение либо сдвиг кривой приводит к изменению величины. Явления называются гармоническими колебаниями. Примеры синусоиды: экспонент или показательная функция в виде винтовой линии, проведённой на плоскости, скрученный провод, развёрнутый рулон бумаги.

Особенности построения

Чтобы выявить свойства синусоиды, необходимо построить её график, провести исследование синуса. В алгебре под функцией представлена плоская кривая, которая выражает закон колебания sin с учётом изменения центрального угла. Сама синусоида строится в схематической последовательности:

  • проводится горизонтальная ось, на которой откладывается заданная длина волны;
  • отрезок делится на равные части;
  • слева чертится окружность с радиусом, равным величине амплитуды;
  • окружность делится на 12 одинаковых частей;
  • через полученные точки проводятся прямые;
  • из точек проводятся перпендикуляры к оси.

График можно построить на онлайн ресурсе либо с помощью специальных программ (Excel). Для расчёта используется калькулятор, основная формула y=sin х. При решении задач учитывается длина волны, которая равна 2 пи. Такое преобразование объясняется тем, что значение функции при любом икс совпадает с её периодичностью x+2π.

Пересечение оси Ох происходит в точках перегиба πK. Максимум достигается при положительном π/2+2πK, а обратное — -π/2+2πK. Свойства кривой проявляются в частном либо комплексном виде:

  • размах;
  • растяжение/сжатие;
  • фазовые колебания;
  • круговая частота.

При сдвиге графика влево к значению пи/2 образуется косинусоида. Любое изменение величины характерно для квадрата с гармоническими колебаниями. Примеры подобных явлений: движение маятника, сбои с напряжением в электросети. Другой случай с синусоидальными колебаниями — звук. Он редко бывает чистым, соответствуя y=A sin wt, где:

  • А (а) — модуль неизвестной (расстояние от начала координат до точки А);
  • w — угловая частота;
  • t — время.

Чаще издаются обертоны, для которых характерны низкие амплитуды. Подобные явления изучаются в школе на уроках физики в старших классах.

Свойства и доказательства

К главным свойствам синусоиды относятся область значений (включая нуль) и определений, чётность/нечётность, периодичность, точки пересечения с осью координат, промежуточности постоянства, убывания и возрастания, минимум и максимум. При пересечении графика функции (ГФ) с осью Ох результат равняется нулю. Под значением синуса подразумевается ордината соответствующей точки единичной окружности.

Так как через круг в одной области можно провести только одну прямую, перпендикулярную оси, поэтому для области определения функции подходят все числа. Такое свойство записывается следующим образом: D (sin x) = R.

Значения ординаты единичной окружности (ЕД) расположены на отрезке [—1; 1]. Они принимают значения от -1 до 1. Через любую точку указанного промежутка оси ординат, равного диаметром ЕД, проводится прямая, перпендикулярная оси ординат. Таким способом получается точка с рассматриваемой ординатой.

Из свойства вытекает следующее: функция y= sin x имеет область значений (-1; 1). Утверждение записывается так: E (sin x)=(-1; 1). Максимальное значение функции равняется единице. Подобное возможно, если соответствующей точкой ЕД является точка А. Минимальное число y равно -1 в случае, когда точкой ЕД является В (х=пи/2 +2пиk, где k принадлежит области Z.

Нечётность и постоянство

Функция считается нечётной, если sin (-x)=- sin x. Её график симметричен по отношению к началу координат. Сам синус является периодической величиной, у которой наименьший положительный период. Через отрезок 2пи вид кривой повторяется. Это свойство учитывается при построении графика.

Предварительно чертится кривая на любом отрезке соответствующей длины. При переносе линии влево и вправо соблюдается шаг в kT=2 πk, где k — любая натуральная цифра. Для вычисления точек пересечения линии с осями координат используется равенство х=0. Если значение подставить в функцию, получится следующее: y=sin 0=0. В таком случае график проходит через начало координат.

Так как y равен нулю, поэтому можно рассчитать х, воспользовавшись формулой y= sin x. Координата подходящей точки ЕД равняется нулю. Такое явление будет наблюдаться только в случае, если на ЕД будут выбраны точки D либо C, при x=πk, k принадлежит Z.

Функция имеет положительное значение в первой и во второй четвертях. На этих промежутках sin x больше нуля, а любое значение х находится в пределах 0-π. При решении задач учитывается период при всех x, принадлежащих отрезку (2πk; π+2πk), где k принадлежит Z. Функция считается отрицательной в третьем и четвёртом квадрате. При этом sin меньше нуля, а иск находится в пределах (пи+2пиk; 2пи+2пиk), k принадлежит области Z.

Читать еще:  Русские православные святые: список. Русские святые

Больше и меньше

С учётом периодичности y с периодом T=2π исследуется функция на возрастание и убывание на любом отрезке длиной в 2пи. Если T= (-π/2;3π/2), а х принадлежит данному промежутку, тогда при увеличении аргумента изменится в большую сторону и ордината. Следовательно, на указанном отрезке синусоида возрастает.

Если учитывать её периодичность, можно прийти к выводу, что она возрастает на каждом интервале (-π/2+2πk; π/2+2πk), k принадлежит Z. Если х находится на отрезке (-π/2;3π/2), тогда при увеличении аргумента ордината ЕД уменьшается, а функция убывает. С учётом периодичности синусоиды можно сделать вывод, что она бывает на каждом отрезке (π/2+2πk;3π/2+2πk), k находится в области Z.

Основываясь на проведённом исследовании, строится график y=sin x. С учётом периодичности 2π предварительно строится график на любом отрезке соответствующей длины. Чтобы точно построить точки, рекомендуется придерживаться значения синуса (ордината ЕД). На основе нечётности проводится кривая, симметричная началу координат. При этом необходимо придерживаться интервала (-π;0). Так как линия строится на отрезке длиной 2π, поэтому учитывается периодичность величины.

Вид графика повторяется на каждом отрезке с аналогичной длиной. Таким способом получается синусоида. Рассматриваемая тригонометрическая функция получила широкое применение в технике, физике и математике. Большинство процессов, включая колебания струн, напряжения в цепи, описываются с помощью функции, задаваемой формулой y= A sin (wx + f). Подобные явления считаются гармоническими колебаниями.

Кривая получается из синусоиды за счёт разных колебаний и путём параллельного переноса вдоль оси Ох. Чаще изменения результата связаны с функцией времени t. В таком случае используется формула y= A sin (wx + f), где через А обозначается амплитуда колебания, через w — частота, f — начальная фаза, 2пи/f — период колебания.

Смещение графика по оси х. Тригонометрические кривые. Синусоида. Косинусоида. Тангенсоида. Котангенсоида

Если Вы знаете, как выглядят графики простейших элементарных функций, или умеете быстро строить их по характерным точкам, то сумеете также быстро построить на их основе графики более сложных функций того же класса. Для этого существуют правила преобразования графиков функций. Они легко запоминаются, но если Вы всё же не уверены в результате, проверьте его по одной-двум хорошим точкам. Эти правила, разумеется, общие для всех функций, а не только для тех, которые изучают в школе, поэтому известный график дальше будем называть заданным.

Пусть задан график функции y = f (x ) . Чтобы построить график функции

  1. y = mf (x ) , где m > 0 и m ≠ 1, нужно ординаты точек заданного графика умножить на m . Такое преобразование называется растяжением от оси x c коэффициентом m , если m > 1, и сжатием к оси x , если 0 0 и, соответственно на |n | единиц вниз, если n
  2. y = f (kx ) , где k > 0 и k ≠ 1. Искомый график функции получается из заданного сжатием с коэффициентом k к оси y (если 0 0 и, соответственно на |l | единиц вправо, если m 0 вверх).

Пример 8. Задан график функции y = √x _ . Построить график функции y = −0,5 √3x − 12______ + 2.

1. Записываем формулу функции в виде y = −0,5· √3·(x − 4)_______ + 2 ,
т.е. выносим за скобки коэффициент при х под знаком квадратного корня с учетом того, что 12/3 = 4.
2. Строим известный график функции. ——
3. Производим сжатие в 3 раза к оси Oy . ——

4. — (преобразование симметрии относительно оси Oy не требуется, т.к. k = 3 > 0).
5. Сдвигаем полученный график на 4 единицы вправо. ——
6. Производим сжатие в 2 раза (растяжение с коэффициентом 0,5) к оси . ——
7. Симметрично отражаем график относительно оси Ox . ——
8. Сдвигаем последний на 2 единицы вверх. Получили требуемый график. ——

Проверим результат по «удобным» точкам. Например, x 1 = 4 и x 2 = 16.
y 1 = −0,5√3·4 − 12 _____ + 2 = 2.
y 2 = −0,5√3·16 − 12 _____ + 2 = −1.
Точки с координатами (4;2) и (16;−1) действительно принадлежат последнему графику.

§ 11. Графики синуса и косинуса

Повторить: § 5. Часы, или современный взгляд на тригонометрию.

Построим график функции y = sin x. При этом нам опять при-

годятся часы из § 5.

Если x = 0, то, очевидно, y = 0. Когда x воз-

растает от 0 до π/2, число sin x возрастает от 0 до

1 (представьте себе, как меняется ордината кон-

ца стрелки на наших фирменных часах). Участок

графика для x от 0 до π/2 изображен на рис. 11.1 .

При малых x наш график близок к прямой

y = x: вспомним, что при малых x верна при-

ближенная формула sin x ≈ x. Можно сказать,

что прямая y = x касается кривой с уравнением

y = sin x в точке (0; 0). Заметим также, что наш участок графика

расположен ниже этой прямой: ведь для острых углов x, измерен-

ных в радианах, выполнено неравенство sin x 0
вправо, если b 0) достраиваем симметрично относительно оси OY:

Важно! Два главных правила преобразования аргумента.

1. Все преобразования аргумента совершаются вдоль оси ОХ

2. Все преобразования аргумента совершаются «наоборот» и «в обратном порядке».

Например, в функции последовательность преобразований аргумента такая:

Читать еще:  Толкование снов ребенок. К чему снятся дети

1. Берем модуль от х.

2. К модулю х прибавляем число 2.

Но построение графика мы совершали в обратном порядке:

Сначала выполнили преобразование 2. — сместили график на 2 единицы влево (то есть абсциссы точек уменьшили на 2, как бы «наоборот»)

Затем выполнили преобразование f(x) f(|x|).

Коротко последовательность преобразований записывается так:

Теперь поговорим о преобразовании функции . Преобразования совершаются

2. В той же последовательности, в какой выполняются действия.

Вот эти преобразования:

2. Смещаем его вдоль оси OY на |D| единиц

  • вверх, если D>0
  • вниз, если D π /2 в силу того, что | sin х | 1

1.По графику функции у = sin x определить: a) sin 2; б) sin 4; в) sin (-3).

2.По графику функции у = sin x определить, какое число из интервала
[ — π / 2 , π / 2 ] имеет синус, равный: а) 0,6; б) -0,8.

3. По графику функции у = sin x определить, какие числа имеют синус,
равный 1 / 2 .

4. Найти приближенно (без использования таблиц): a) sin 1°; б) sin 0,03;
в) sin (-0,015); г) sin (-2°30″).

ПЕРЕНОС ВДОЛЬ ОСИ ОРДИНАТ

f(x) => f(x) — b
Пусть требуется построить график функции у = f(х) — b. Нетрудно заметить, что ординаты этого графика для всех значений x на |b| единиц меньше соответствующих ординат графика функций у = f(х) при b>0 и на |b| единиц больше — при b 0 или вверх при b Для построения графика функции y + b = f(x) следует построить график функции y = f(x) и перенести ось абсцисс на |b| единиц вверх при b>0 или на |b| единиц вниз при b

ПЕРЕНОС ВДОЛЬ ОСИ АБСЦИСС

f(x) => f(x + a)
Пусть требуется построить график функции у = f(x + a). Рассмотрим функцию y = f(x), которая в некоторой точке x = x1 принимает значение у1 = f(x1). Очевидно, функция у = f(x + a) примет такое же значение в точке x2, координата которой определяется из равенства x2 + a = x1, т.е. x2 = x1 — a, причем рассматриваемое равенство справедливо для совокупности всех значений из области определения функции. Следовательно, график функции у = f(x + a) может быть получен параллельным перемещением графика функции y = f(x) вдоль оси абсцисс влево на |a| единиц при a > 0 или вправо на |a| единиц при a Для построения графика функции y = f(x + a) следует построить график функции y = f(x) и перенести ось ординат на |a| единиц вправо при a>0 или на |a| единиц влево при a

2.y=f(x)+b

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ ВИДА Y = F(-X)

f(x) => f(-x)
Очевидно, что функции y = f(-x) и y = f(x) принимают равные значения в точках, абсциссы которых равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Иначе говоря, ординаты графика функции y = f(-x) в области положительных (отрицательных) значений х будут равны ординатам графика функции y = f(x) при соответствующих по абсолютной величине отрицательных (положительных) значениях х. Таким образом, получаем следующее правило.
Для построения графика функции y = f(-x) следует построить график функции y = f(x) и отразить его относительно оси ординат. Полученный график является графиком функции y = f(-x)

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ ВИДА Y = — F(X)

f(x) => — f(x)
Ординаты графика функции y = — f(x) при всех значениях аргумента равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку ординатам графика функции y = f(x) при тех же значениях аргумента. Таким образом, получаем следующее правило.
Для построения графика функции y = — f(x) следует построить график функции y = f(x) и отразить его относительно оси абсцисс.

1.y=-f(x)

2.y=f(-x)

3.y=-f(-x)

ДЕФОРМАЦИЯ ГРАФИКА ВДОЛЬ ОСИ ОРДИНАТ

f(x) => k f(x)
Рассмотрим функцию вида y = k f(x), где k > 0. Нетрудно заметить, что при равных значениях аргумента ординаты графика этой функции будут в k раз больше ординат графика функции у = f(x) при k > 1 или 1/k раз меньше ординат графика функции y = f(x) при k Для построения графика функции y = k f(x) следует построить график функции y = f(x) и увеличить его ординаты в k раз при k > 1(произвести растяжение графика вдоль оси ординат) или уменьшить его ординаты в 1/k раз при k
k > 1 — растяжение от оси Ох
0 — сжатие к оси OX

ДЕФОРМАЦИЯ ГРАФИКА ВДОЛЬ ОСИ АБСЦИСС

f(x) => f(k x)
Пусть требуется построить график функции y = f(kx), где k>0. Рассмотрим функцию y = f(x), которая в произвольной точке x = x1 принимает значение y1 = f(x1). Очевидно, что функция y = f(kx) принимает такое же значение в точке x = x2, координата которой определяется равенством x1 = kx2, причем это равенство справедливо для совокупности всех значений х из области определения функции. Следовательно, график функции y = f(kx) оказывается сжатым (при k 1) вдоль оси абсцисс относительно графика функции y = f(x). Таким образом, получаем правило.
Для построения графика функции y = f(kx) следует построить график функции y = f(x) и уменьшить его абсциссы в k раз при k>1 (произвести сжатие графика вдоль оси абсцисс) или увеличить его абсциссы в 1/k раз при k
k > 1 — сжатие к оси Оу
0 — растяжение от оси OY

Работу выполнили Чичканов Александр, Леонов Дмитрий под руководством Ткач Т.В, Вязовова С.М, Островерховой И.В.
©2014

Источники:

http://www.ess-ltd.ru/elektro/razlojenie-krivoi.php

http://nauka.club/matematika/sinusoid%D0%B0.html

http://voloton.ru/allergiya/smeshchenie-grafika-po-osi-h-trigonometricheskie-krivye/

Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector