Решение однородного уравнения первого порядка. Однородные уравнения

Линейные однородные уравнения первого порядка. Линейные неоднородные уравнения первого порядка

Лекция № 30.

Определение. Дифференциальное уравнение вида называется однородным, если его правая часть f(x, y) есть однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов.

Определение. Дифференциальное уравнение называется линейным относительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде:

при этом, если правая часть Q(x) равна нулю, то такое уравнение называется линейным однороднымдифференциальным уравнением, если правая часть Q(x) не равна нулю, то такое уравнение называется линейным неоднороднымдифференциальным уравнением.

P(x) и Q(x)- функции непрерывные на некотором промежутке a

Для интегрирования линейных неоднородных уравнений (Q(x)¹0) применяются в основном два метода: метод Бернулли и метод Лагранжа.

(Якоб Бернулли (1654-1705) – швейцарский математик.)

Суть метода заключается в том, что искомая функция представляется в виде произведения двух функций .

При этом очевидно, что — дифференцирование по частям.

Подставляя в исходное уравнение, получаем:

Далее следует важное замечание – т.к. первоначальная функция была представлена нами в виде произведения, то каждый из сомножителей, входящих в это произведение, может быть произвольным, выбранным по нашему усмотрению.

Например, функция может быть представлена как

и т.п.

Таким образом, можно одну из составляющих произведение функций выбрать так, что выражение .

Таким образом, возможно получить функцию u, проинтегрировав, полученное соотношение как однородное дифференциальное уравнение по описанной выше схеме:

Для нахождения второй неизвестной функции v подставим поученное выражение для функции u в исходное уравнение с учетом того, что выражение, стоящее в скобках, равно нулю.

Интегрируя, можем найти функцию v:

; ;

Т.е. была получена вторая составляющая произведения , которое и определяет искомую функцию.

Подставляя полученные значения, получаем:

Окончательно получаем формулу:

, С2 — произвольный коэффициент.

Это соотношение может считаться решением неоднородного линейного дифференциального уравнения в общем виде по способу Бернулли.

( Ларганж Жозеф Луи (1736-1813) — французский математик, през. Берлинской АН,

поч. чл. Пет. АН (1776)).

Метод Лагранжа решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений еще называют методом вариации произвольной постоянной.

Вернемся к поставленной задаче:

Первый шаг данного метода состоит в отбрасывании правой части уравнения и замене ее нулем.

Далее находится решение получившегося однородного дифференциального уравнения:

.

Для того, чтобы найти соответствующее решение неоднородного дифференциального уравнения, будем считать постоянную С1 некоторой функцией от х.

Тогда по правилам дифференцирования произведения функций получаем:

109.201.137.33 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Как решить однородное дифференциальное уравнение

Чтобы решить однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка, используют подстановку u=y/x, то есть u — новая неизвестная функция, зависящая от икса. Отсюда y=ux. Производную y’ находим с помощью правила дифференцирования произведения: y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u (так как x’=1). Для другой формы записи: dy=udx+xdu.После подстановки уравнение упрощаем и приходим к уравнению с разделяющимися переменными.

Читать еще:  Икона серафима саровского, значение и фото. Преподобный Серафим Саровский

Примеры решения однородных дифференциальных уравнений 1-го порядка.

1) Решить уравнение

Проверяем, что это уравнение является однородным (см. Как определить однородное уравнение). Убедившись, делаем замену u=y/x, откуда y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Подставляем: u’x+u=u(1+ln(ux)-lnx). Так как логарифм произведения равен сумме логарифмов, ln(ux)=lnu+lnx. Отсюда

u’x+u=u(1+lnu+lnx-lnx). После приведения подобных слагаемых: u’x+u=u(1+lnu). Теперь раскрываем скобки

u’x+u=u+u·lnu. В обеих частях стоит u, отсюда u’x=u·lnu. Поскольку u — функция от икса, u’=du/dx. Подставляем,

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные, для чего обе части умножаем на dx и делим на x·u·lnu, при условии, что произведение x·u·lnu≠0

В левой части — табличный интеграл. В правой — делаем замену t=lnu, откуда dt=(lnu)’du=du/u

ln│t│=ln│x│+C. Но мы уже обсуждали, что в таких уравнениях вместо С удобнее взять ln│C│. Тогда

ln│t│=ln│x│+ln│C│. По свойству логарифмов: ln│t│=ln│Сx│. Отсюда t=Cx. ( по условию, x>0). Пора делать обратную замену: lnu=Cx. И еще одна обратная замена:

По свойству логарифмов:

Это — общий интеграл уравнения.

Вспоминаем условие произведение x·u·lnu≠0 (а значит, x≠0,u≠0, lnu≠0, откуда u≠1). Но x≠0 из условия, остается u≠1, откуда x≠y. Очевидно, что y=x ( x>0) входят в общее решение.

2) Найти частный интеграл уравнения y’=x/y+y/x, удовлетворяющий начальным условиям y(1)=2.

Сначала проверяем, что это уравнение является однородным (хотя наличие слагаемых y/x и x/y уже косвенно указывает на это). Затем делаем замену u=y/x, откуда y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Подставляем полученные выражения в уравнение:

u’x=1/u. Так как u — функция от икса, u’=du/dx:

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Чтобы разделить переменные, умножаем обе части на dx и u и делим на x (x≠0 по условию, отсюда u≠0 тоже, значит, потери решений при этом не происходит).

и поскольку в обеих частях стоят табличные интегралы, сразу же получаем

Выполняем обратную замену:

Это — общий интеграл уравнения. Используем начальное условие y(1)=2, то есть подставляем в полученное решение y=2, x=1:

3) Найти общий интеграл однородного уравнения:

(x²-y²)dy-2xydx=0.

Замена u=y/x, откуда y=ux, dy=xdu+udx. Подставляем:

(x²-(ux)²)(xdu+udx)-2ux²dx=0. Выносим x² за скобки и делим на него обе части (при условии x≠0):

(1-u²)(xdu+udx)-2udx=0. Раскрываем скобки и упрощаем:

xdu-u²xdu-u³dx-udx=0. Группируем слагаемые с du и dx:

(x-u²x)du-(u³+u)dx=0. Выносим общие множители за скобки:

x(1-u²)du-u(u²+1)dx=0. Разделяем переменные:

x(1-u²)du=u(u²+1)dx. Для этого обе части уравнения делим на xu(u²+1)≠0 (соответственно, добавляем требования x≠0 (уже отметили), u≠0):

В правой части уравнения — табличный интеграл, рациональную дробь в левой части раскладываем на простые множители:

(или во втором интеграле можно было вместо подведения под знак дифференциала сделать замену t=1+u², dt=2udu — кому какой способ больше нравится). Получаем:

По свойствам логарифмов:

Вспоминаем условие u≠0. Отсюда y≠0. При С=0 y=0, значит, потери решений не происходит, и y=0 входит в общий интеграл.

Можно получить запись решения в другом виде, если слева оставить слагаемое с x:

Геометрический смысл интегральной кривой в этом случае — семейство окружностей с центрами на оси Oy и проходящих через начало координат.

Задания для самопроверки:

Читать еще:  Обозначение имени алик. Имя Алик: значение и происхождение

Так как u=y/x, u²=y²/x², то есть y²=u²x²,

2) Проверив, что данное уравнение является однородным, делаем замену y=ux, отсюда y’=u’x+u. Подставляем в условие:

Делим обе части уравнения на x:

Интегрируем обе части:

и, умножив на x обе части уравнения, получаем:

Однородные уравнения первого порядка

Понятие однородного уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка, представленное в стандартном виде $y’=fleft(x,yright)$, является однородным, если его правая часть зависит не просто от переменных $x$ и $y$, а от отношения функции $y$ к независимой переменной $x$, то есть $ f (x,y) = f (x/y)$.

Зависимость функции от отношения $frac $ следует понимать так, что функция не изменяется при замене в ней данного отношення на любое другое, имеющее вид $frac $. Например, именно такое свойство имеет функция $fleft(x,yright)=frac cdot cos frac $. Действительно, $fleft(x,yright)=frac cdot cos frac =frac cdot cos frac $. После замены переменных $x$ и $y$ на $tcdot x$ и $tcdot y$ соответственно и последующего сокращения на $t$ данная функция приобретает свой исходный вид. В этом и состоит основное свойство однородного дифференциального уравнения.

Общий метод решения

Однородное дифференциальное уравнение $y’=f (x/y)$ решают посредством применения замены $frac =u$, где $u=uleft(xright)$ — новая неизвестная функция. Идея состоит в том, что найдя функцию $u$ и умножив её на $x$, можно будет найти и нужную функцию $y$.

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Представим замену в виде $y=ucdot x$ и продифференцируем её: $frac =frac cdot x+ucdot frac =frac cdot x+u$. Подставим $y$ и $frac $ в данное дифференциальное уравнение: $frac cdot x+u=fleft(uright)$.

Полученное дифференциальное уравнение представляет собой уравнение с разделяющимися переменными. Действительно, после элементарных преобразований его можно представить в виде $frac =frac $, где $f_ <1>left(xright)=frac<1> $ — функция, зависящая только от $x$, и $f_ <2>left(uright)=fleft(uright)-u$ — функция, зависящая только от $u$. Применим к этому дифференциальному уравнению метод решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

Сначала вычисляем интеграл $I_ <1>=int f_ <1>left(xright)cdot dx $. Получаем: $I_ <1>=int frac<1> cdot dx=ln left|xright| $. Теперь записываем интеграл $I_ <2>=int frac left(uright)> $. Получаем: $I_ <2>=int frac $. Общее решение записываем в форме $I_ <2>=I_ <1>+C$, то есть $int frac =ln left|xright|+C$. Правую часть полученного решения можно упростить, если представить произвольную постоянну в более удобной форме $ln left|Cright|$. При этом получим: $ln left|xright|+ln left|Cright|=ln left|xcdot Cright|$.

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Окончательно получаем: $int frac =ln left|xcdot Cright|$. После вычисления интеграла $int frac $ и замены $u$ на $frac $ общее решение данного однородного дифференциального уравнения будет найдено.

Общий метод решения можно представить в виде следующего алгоритма:

  1. В первую очередь убеждаемся, что решаемое дифференциальное уравнение является однородным. Для этого нужно представить его в стандартном виде $y’=fleft(x,yright)$, после чего в функции $fleft(x,yright)$ переменные $x$ и $y$ заменить на $tcdot x$ и $tcdot y$ соответственно. Если после элементарных тождественных преобразований удается вернуться к той же функции $fleft(x,yright)$, то данное дифференциальное уравнение является однородным и $ f (x,y) = f (x/y)$. Если добиться этого оказалось невозможным, то данное дифференциальное уравнение должно решаться иным методом.
  2. Находим $fleft(uright)$, выполнив для функции $f (x/y)$ замену $y=ucdot x$, после чего записываем функцию $fleft(uright)-u$.
  3. Находим интеграл $I=int frac$ и записываем общее решение в виде $I=ln left|xcdot Cright|$.
  4. Выполняем обратную замену $u=frac$ и проводим упрощающие тождественные преобразования.
  5. Находим особые решения, которые могли быть утрачены при разделении переменных.

Решение типичных задач

Найти общее решение дифференциального уравнения $y’=2+frac $.

По внешнему виду данного дифференциального уравнения его можно сразу отнести к однородному.

Для функции $f (x/y)=2+frac $ выполняем замену $y=ucdot x$ и находим $fleft(uright)=2+frac =2+u$. Записываем функцию $fleft(uright)-u=2+u-u=2$.

Записываем общее решение в виде $frac <2>=ln left|xcdot Cright|$.

Выполняем обратную замену $u=frac $ и получаем $frac <2cdot x>=ln left|xcdot Cright|$ или $y=2cdot xcdot ln left|xcdot Cright|$.

Так как $fleft(uright)-u=2$, то особых решений данное дифференциальное уравнение не имеет.

Найти общее решение дифференциального уравнения $xcdot y’=5cdot y+x$.

Приводим данное дифференциальное уравнение к стандартному виду $y’=5cdot frac +1$, после чего можно сделать вывод, что оно является однородным.

Для функции $f (x/y)=5cdot frac +1$ выполняем замену $y=ucdot x$ и находим $fleft(uright)=5cdot frac +1=5cdot u+1$.

Записываем функцию $fleft(uright)-u=5cdot u+1-u=4cdot u+1$.

Находим интеграл $I=int frac =int frac <4cdot u+1>=frac<1> <4>cdot ln left|4cdot u+1right|$.

Записываем общее решение в виде $frac<1> <4>cdot ln left|4cdot u+1right|=ln left|xcdot Cright|$, откуда $ln left|4cdot u+1right|=ln left|xcdot Cright|^ <4>$; $4cdot u+1=x^ <4>cdot C^ <4>$ или просто $4cdot u+1=Ccdot x^ <4>$.

Выполняем обратную замену $u=frac $ и получаем $4cdot frac +1=Ccdot x^ <4>$.

Таким образом, общее решение имеет вид: $4cdot y+x=Ccdot x^ <5>$.

Решая уравнение $fleft(uright)-u=4cdot u+1=0$ или $4cdot frac +1=0$, находим особое решение $y=-frac <4>$. Проверка подстановкой в данное дифференциальное уравнение $xcdot left(-frac<1> <4>right)=5cdot left(-frac <4>right)+x$ показывает, что особое решение $y=-frac <4>$ удовлетворяет данному дифференциальному уравнению.

Однако это же решение можно получить из общего решения $4cdot y+x=Ccdot x^ <5>$, положив в нём $C=0$.

Таким образом, окончательный результат: $4cdot y+x=Ccdot x^ <5>$.

Уравнения, приводящиеся к однородным

При определенных условиях дифференциальное уравнение вида $y’=frac cdot x+b_ <1>cdot y+c_ <1>> cdot x+b_ <2>cdot y+c_ <2>> $, в котором $a_ <1>$, $b_ <1>$, $c_ <1>$, $a_ <2>$, $b_ <2>$, $c_ <2>$ — постоянные коэффициенты, может быть приведено к однородному.

Если $Delta equiv left|begin > & > \ > & > endright|ne 0$, то приведение его к однородному достигается с помощью замен $x=m+alpha $ и $y=n+beta $, где постоянные $alpha $ и $beta $ следует выбрать как результат решения системы $left cdot alpha +b_ <1>cdot beta =-c_ <1>> \ cdot alpha +b_ <2>cdot beta =-c_ <2>> endright. $.

Так как $Delta ne 0$, то эта система имеет единственное решение, которое проще всего найти по формулам Крамера.

Используя найденные выражения для $x=m+alpha $ и $y=n+beta $, получим дифференциальное уравнение $frac =frac cdot m+b_ <1>cdot n> cdot m+b_ <2>cdot n> $, которое является однородным.

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь

Источники:

http://studopedia.ru/2_99226_lineynie-odnorodnie-uravneniya-pervogo-poryadka-lineynie-neodnorodnie-uravneniya-pervogo-poryadka.html

Как решить однородное дифференциальное уравнение

http://spravochnick.ru/matematika/differencialnye_uravneniya/odnorodnye_uravneniya_pervogo_poryadka/

Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector