Рациональные неравенства и их системы. Системы рациональных неравенств

Рациональные неравенства. Подробная теория с примерами (2020)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Рациональные неравенства – это неравенства, обе части которых являются рациональными выражениями.

Что такое рациональное выражение? Напомню:

Рациональное выражение – это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем.

Например, такое рациональное неравенство:

Решение всех рациональных неравенств сводится к двум основным шагам:

Шаг 1. Переносим все в одну сторону, приводим к общему знаменателю и раскладываем числитель и знаменатель на множители. Все множители должны быть «линейными», то есть переменная в каждом из них – только в первой степени. Если какой-то из множителей нелинейный, и его невозможно разложить на линейные, от него надо избавиться.

Если забыл, как раскладывать выражение на множители, прочти тему «Разложение многочленов на множители».

Шаг 2. Метод интервалов.

Если не знаешь, что это такое, прочти тему «Метод интервалов».

Первый шаг у нас уже раньше встречался. Где? В рациональных уравнениях! Но в отличие от уравнений, в неравенствах мы никогда не разделяем числитель и знаменатель! Более того, если в числителе и знаменателе есть одинаковые нечисловые множители, мы их не сокращаем! Это правило у нас уже было в теме «Метод интервалов». И вообще, в этой теме мы уже учились решать рациональные неравенства. Поэтому здесь ограничимся отдельными примерами.

Пример 1.

Решение:

Очень распространенной ошибкой здесь будет домножить все на знаменатель. Делать этого нельзя: мы ведь не знаем какой знак имеет выражение ; но при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется! А на положительное – не меняется. Так что, менять нам знак или нет? Лучше просто не умножать! Следуем нашим двум шагам: переносим все в одну сторону.

Почему корень выколотый? Потому что он из знаменателя!

Пример 2.

Решение:

Пример 3.

Решение:

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, разложим их знаменатели на множители. Это квадратные трехчлены, надо вспомнить, как их раскладывают на множители? (подробное описание см. в разделе «Разложение на множители»). Напомню, что для этого нужно найти корни соответствующих квадратных уравнений:

Решим их с помощью теоремы Виета: у первого корни и , у второго и .

Для того, чтобы разложить на множители числитель, так же как и раньше, решим соответствующее квадратное уравнение:

Вернемся к неравенству. Оно принимает вид:

Теперь нужно расположить эти корни на числовой оси, а для этого надо понять, где находятся числа и относительно , и . Подробно о том, как это делается, читай в теме «Сравнение чисел» .

Пример 4.

Решение:

Ты уже попробовал привести к общему знаменателю? Ужас, правда? Но ты не мог не заметить, что куда ни посмотри, нам все время попадается одно и то же выражение . А это верный знак, что сейчас будет замена переменных (повтори одноименную тему «Замена переменных»):

Тогда наше неравенство принимает вид:

Такое мы решать уже умеем:

Не забываем вернуться к начальной переменной – . Для этого нужно переписать полученное решение для в виде неравенств:

0text< >-text< корней нет >Rightarrow text< выполняется> text<при> text<всех> text\<^<2>>-x 0text< >Leftrightarrow text< >left( -2 right)left( x+1 right)>0text< >Leftrightarrow text< >xin left( -infty ;-1 right)cup left( 2;+infty right)\<^<2>>--5

0text< >Leftrightarrow text< >xin left( -infty ;-1 right)cup left( 2;+infty right)\left( -frac<1-sqrt<21>> <2>right)left( -frac<1+sqrt<21>> <2>right)

РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА. КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Рациональное неравенство – неравенство, левая и правая части которого являются дробно-рациональными функциями, то есть функциями, представимыми в виде отношения многочленов и .

Стандартный вид рационального неравенства: 0″> .

Строгие рациональные неравенства:

• 0″> , тогда и только тогда, когда 0″> ;
• , тогда и только тогда, когда .

Нестрогие рациональные неравенства:

Алгоритм решения рациональных неравенств:

1. Переносим все в одну сторону и приводим к общему знаменателю, чтобы получить рациональное неравенство в стандартном виде: 0″> ;
2. Раскладываем числитель ( ) и знаменатель ( ) на множители. Для этого решаем уравнения и ;
3. Находим ОДЗ ( );
4. Отмечаем на числовой оси нули числителя и нули знаменателя;
5. Определяем знаки для каждого интервала. Для этого берем произвольный из одного из интервалов и определяем знак в интервале к которому относится корень, чередуем знаки, обращая внимание на корни, повторяющиеся в неравенстве несколько раз, от четности или нечетности количества раз их повторения зависит, меняется знак при прохождении через них или нет;
6. Выбираем интервалы, на которых значения функции имеют знак, соответствующий знаку неравенства;
7. Записываем ответ, обращая внимания на знак неравенства и на ОДЗ. Если неравенство строгое – все точки выколотые; если неравенство нестрогое – нули знаменателя – выколотые точки (по ОДЗ), а нули числителя – не выколотые точки.

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике,

А также получить доступ к учебнику YouClever без ограничений.

можно кликнув по этой ссылке.

Комментарии

Почему на второй прямой у Вас x принадлежит (-∞;-1) и (2;+∞), если на этих интервалах неравенство больше нуля, а нам нужно меньше? Т.е (-1;2)

Вторая прямая в примере 4 соответствует неравенству (x-2)(x+1)>0, там всё верно.

Пример 3, четвёртая строчка, у вас ошибка при раскрытии скобки( там будет -3х)

В 4 примере t(t+4), а не t(t-4)

Муниса, спасибо за найденные ошибки!

в третьем примере, при приведении слагаемых к общему знаменателю допущена ошибка. Вы перемножаете на несуществующий множитель второе слагаемое.

Распространение материалов без согласования допустимо при наличии dofollow-ссылки на страницу-источник.

Политика конфиденциальности

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

• В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

2/3 статьи, а также разбор задач доступны только ученикам YouClever.

Или оставьте Email и получите доступ к 5-ти статьям учебника бесплатно.

Рациональные неравенства

Рациональное неравенство — это неравенство, которое можно свести к виду [Largelor 0>] где (P(x), Q(x)) — многочлены.
( (lor) — один из знаков (geqslant, leqslant, >, 0,qquad x+2+dfrac , -1) ), либо неверно ни при каких значениях (x) (например, если это (0leqslant -3) ).
То есть ответом будут либо (xinmathbb) , либо (xin varnothing) .

Замечание
Заметим, что знаку (leqslant) противоположен знак (geqslant) , а знаку ( ) . И наоборот.

Пример 1
Решить неравенство (5-3x>-1) .

Решение. I способ
Сделаем цепочку преобразований:

[5-3x>-1 Rightarrow -3x>-1-5 Rightarrow -3x>-6 Rightarrow x -1 Rightarrow 5+1>3x Rightarrow 3x )]

Область допустимых значений (x) (ОДЗ) таких неравенств — все вещественные числа, кроме нулей знаменателя.

Существует два способа решения таких неравенств:

1 способ: Классический. Т.к. дробь положительна (отрицательна) тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель дроби одного знака (разных знаков), то неравенство ((*)) равносильно совокупности: [ begin &begin P(x)geqslant 0\ Q(x)>0 end\ &begin P(x)leqslant 0\ Q(x) 0) , то при всех значениях (x) выражение (ax^2+bx+c) положительно (не может быть равно нулю!). Т.к. мы имеем право делить неравенство на любое число/выражение, не равное (0) , то разделим обе части неравенства на такие скобки (в нашем неравенстве такой скобкой является ((2x^2+3x+5)) ). Причем заметим, что т.к. мы делим на положительное выражение, то знак неравенства не меняется!

5 ШАГ. Неравенство практически решено и нам остается только записать ответ. В нашем случае, т.к. знак преобразованного ((***)) неравенства (geqslant 0) (нестрогий), то в ответ пойдут промежутки со знаком “ (+,) ” (где значение функции больше нуля) и закрашенные точки (где значение функции равно нулю): [xin Big(-infty;-1Big)cup left(-1;dfrac23right)cup left(dfrac23;1right]cupBig(3;+inftyBig)] Напоминаем, что если точка не входит в ответ, то она пишется в круглой скобке “ (() ” или “ ()) ”, если входит в ответ – то в квадратной скобке “ ([) ” или “ (]) ”. Бесконечности всегда пишутся в круглых скобках.

Квадратичным неравенством называется любое неравенство вида [ax^2+bx+c lor 0, quad ane 0,]

или сводящееся к такому виду.

Область допустимых значений (x) (ОДЗ) таких неравенств — все вещественные числа ( (xin mathbb) ).

Квадратичные неравенства – это те же самые рациональные неравенства, следовательно, их также можно решать с помощью метода интервалов. Но давайте рассмотрим еще один способ, при помощи которого, как правило, удобнее решать квадратичные неравенства. Для этого нам понадобится вспомнить про параболу.

Замечание

Вспомним, как преобразуется квадратичный трехчлен (ax^2+bx+c) в зависимости от того, сколько корней он имеет.
Если квадратное уравнение (ax^2+bx+c=0)

(bullet) имеет два корня (x_1) и (x_2) (дискриминант (D>0) ), то (ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)) .

(bullet) имеет один корень (x_1) ( (D=0) ), то (ax^2+bx+c=a(x-x_1)^2) .

(bullet) не имеет корней ( (D 0) , то ветви направлены вверх, если (a 0) ;
часть параболы, находящаяся ниже оси (Ox) , отвечает за (f(x) 0)

Решение
Решим уравнение (11x-3x^2-6=0 quadLeftrightarrowquad x_1=dfrac23, x_2=3) . Таким образом, неравенство можно переписать в виде: (-3(x-3)(x-frac23)>0) .

1 способ. Ветви параболы направлены вниз, следовательно, схематично она выглядит как ((5)) . Т.к. знак неравенства (>) , то решением неравенства будут (xin left(dfrac23;3right)) .

2 способ. Домножим правую и левую части неравенства на (-1) , получим (3(x-3)(x-frac23)

Рациональные неравенства и их системы. Системы рациональных неравенств

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

С помощью данного урока вы узнаете о рациональных неравенствах и их системах. Решается система рациональных неравенств с помощью эквивалентных преобразований. Рассматривается определение эквивалентности, способ замены дробно-рационального неравенства – квадратным,а также разбирается в чем отличие неравенства от уравнения и как осуществляются равносильные преобразования.

Введение

Алгебра 9 класс

Итоговое повторение курса алгебры 9-го класса

Рациональные неравенства и их системы. Системы рациональных неравенств.

Эквивалентные преобразования рациональных неравенств

1. Эквивалентные преобразования рациональных неравенств.

Решить рациональное неравенство означает – найти все его решения. В отличии от уравнения, при решении неравенства, как правило, возникает бесчисленное множество решений. Бесчисленное множество решений нельзя проверить методом подстановки. Поэтому, нужно так преобразовывать исходное неравенство, чтобы в каждой следующей строчке получалось неравенство с тем же множеством решений.

Рациональные неравенства решаются только с помощью эквивалентных или равносильных преобразований. Такие преобразования не искажают множество решений.

Определение. Рациональные неравенства называют эквивалентными, если множества их решений совпадают.

Для обозначения эквивалентности используют знак

Решение системы неравенств. Эквивалентные преобразования системы

2. Решение системы неравенств

Первое и второе неравенство – это дробно-рациональные неравенства. Методы их решения являются естественным продолжением методов решения линейных и квадратных неравенств.

Перенесем числа, стоящие в правой части, в левую с противоположным знаком.

В итоге в правой части останется 0. Это преобразование является эквивалентным. На это указывает знак

Выполним действия, которые предписывает алгебра. Вычтем «1» в первом неравенстве и «2» во втором.

Упростим полученные неравенства. Далее будем решать каждое неравенство по- очереди.

Решение первого неравенства методом интервалов

3. Решение неравенства методом интервалов

1) Введем функцию. Нам нужно узнать, когда эта функция меньше 0.

2) Найдем область определения функции: в знаменателе не должен стоять 0. «2» – точка разрыва. При х=2 функция неопределенна.

3) Найдем корни функции. Функция равна 0,если в числителе стоит 0.

Поставленные точки разбивают числовую ось на три интервала – это интервалы знакопостоянства. На каждом интервале функция сохраняет знак. Определим знак на первом интервале. Подставим какое-нибудь значение. Например, 100. Ясно, что и числитель, и знаменатель больше 0. Значит и вся дробь положительна.

Определим знаки на остальных промежутках. При переходе через точку х=2 только знаменатель меняет знак. Значит, и вся дробь поменяет знак, и будет отрицательной. Проведем аналогичное рассуждение. При переходе через точку х=-3 только числитель меняет знак. Значит, дробь поменяет знак и будет положительной.

Выберем интервал соответствующий условию неравенства. Заштрихуем его и запишем в виде неравенства

Прием сведения дробно-рационального неравенства к квадратному.

4. Решение неравенства с помощью квадратичного неравенства

При сравнении с 0 ( в случае строгого неравенства) дробь можно заменить на произведение числителя на знаменатель или поменять числитель или знаменатель местами.

Это так, потому, что все три неравенства выполняются при условии, что u и v разного знака. Эти три неравенства эквивалентны.

Используем это факт и заменим дробно-рациональное неравенство квадратным.

. Решим квадратное неравенство.

Введем квадратичную функцию. Найдем ее корни и построим эскиз ее графика.

Значит, ветви параболы вверх. Внутри интервала корней функция сохраняет знак. Она отрицательна.

Вне интервала корней функция положительна.

Решение первого неравенства:

Решение второго неравенства

5. Решение неравенства

Найдем ее интервалы знакопостоянства:

Для этого найдем корни и точки разрыва области определения функции. Точки разрыва выкалываем всегда. (х=3/2) Корни выкалываем в зависимости от знака неравенства. Наше неравенство строгое. Поэтому корень выкалываем.

Пересечение множеств решений первого и второго неравенств. Форма записи решения

Закончим решение системы. Найдем пересечение множества решений первого неравенства и множества решений второго неравенства.

Решить систему неравенств означает найти пересечение множества решений первого неравенства и множества решений второго неравенства. Поэтому, решив первое и второе неравенство по отдельности нужно записать полученные результаты в одну систему.

Изобразим решение первого неравенства над осью Ох.

Решение же второго неравенства изобразим под осью.

Решением системы будут те значения переменной, которые удовлетворяют как первому, так и второму неравенству. Итак, решение системы:

Заключение

1.2. Список рекомендованной литературы

1.3. Дополнительные веб-ресурсы

http://slovo.ws/urok/algebra -Учебные материалы (учебники, статьи) по алгебре для 9 класса. Все учебники, указанные в списке можно посмотреть в режиме онлайн , без скачивания.

Домашнее задание: 4.24; 4.28

Другие задания: 4.25; 4.26

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

Источники:

Рациональные неравенства (ЕГЭ — 2021)

http://shkolkovo.net/theory/40

http://interneturok.ru/lesson/algebra/9-klass/itogovoe-povtorenie-kursa-algebry-9go-klassa/ratsionalnye-neravenstva-i-ih-sistemy-sistemy-ratsionalnyh-neravenstv