Объединение чисел. Урок “Теория множеств

Урок “Теория множеств. Пересечение и объединение множеств”

Основные понятия теории множеств.
Пересечение и объединение множеств

Цели: ознакомить учащихся с основными понятиями теории множеств, операциями над множествами (пересечение и объединение множеств); формировать умения задавать множества и проводить над ними основные операции.

I. Организационный момент.

II. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Запишите в виде двойного неравенства b = 5,82 ± 0,01.

2. Представьте каждое из чисел 2 и 14 в виде десятичной дроби. Округлите полученные дроби до сотых и найдите абсолютную и относительную погрешности приближения.

В а р и а н т 2

1. Запишите в виде двойного неравенства u = 6,75 ± 0,01.

2. Представьте каждое из чисел 6 и 18 в виде десятичной дроби. Округлите полученные дроби до десятых и найдите абсолютную и относительную погрешности приближения.

III. Объяснение нового материала.

Наиболее ответственным шагом при ознакомлении учащихся с теоретико-множественными понятиями является введение неопределяемых понятий множества, его элемента и принадлежности.

1. О с н о в н ы е п о н я т и я.

Одно из основных понятий современной математики – множество. Это понятие обычно принимается за первичное и поэтому не определяется через другие.

Когда в математике говорят о множестве (чисел, точек, функций и т. д.), то объединяют эти объекты в одно целое – множество, состоящее из этих объектов (чисел, точек, функций и т. д.). Основатель теории множеств, немецкий математик Георг Кантор (1845–1918), выразил эту мысль следующим образом: «Множество есть многое, мыслимое как единое, целое».

Множество – это совокупность объектов, объединённых между собой по какому-либо признаку.

Слово «множество» в обычном смысле всегда связывается с большим числом предметов. Например, мы говорим, что в лесу множество деревьев, но если перед домом два дерева, в обычной речи не говорят, что перед домом «множество деревьев».

Математическое же понятие множества не связывается обязательно с большим числом предметов. В математике удобно рассматривать и «множества», содержащие 3; 2 или 1 предмет и даже «множество», не содержащее ни одного предмета (пустое множество). Например, мы говорим о множестве решений уравнения до того, как узнаем, сколько оно имеет решений.

Произвольные множества обозначают большими латинскими буквами А, В, С, . Пустое множество, то есть множество, которое не имеет элементов, обозначается символом .

О предметах, составляющих множество, говорят, что они принадлежат этому множеству, или являются его элементами. Элементы множества обозначают малыми латинскими буквами а, b, с, . или одной какой-нибудь буквой с индексом, например а₁, а₂, . , а_п.

Предложение «предмет а принадлежит множеству А», или «предмет а – элемент множества А», обозначают символом а А.

2. С п о с о б ы з а д а н и я м н о ж е с т в:

1) Множество может быть задано непосредственным перечислением всех его элементов (в произвольном порядке). В таком случае названия всех элементов множества записываются в строчку, отделяются между собой запятыми и заключаются в фигурные скобки.

Н а п р и м е р: <0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9>– множество цифр десятичной системы счисления.

Необходимо различать объекты, обозначаемые символами а и <а>. Символом а означается предмет, символом <а>– множество, состоящее из одного элемента а (единичное множество). Перечислением всех элементов можно задать лишь конечное множество. Такие множества, как, например, множество всех натуральных (N) или всех целых чисел (Z), нельзя задать таким способом, так как мы не можем перечислить все N и все Z – таких чисел бесконечное множество.

2) Имеется другой (универсальный) способ задания множества в том смысле, что этим способом может быть задано не только конечное, но и бесконечное множество. Множество может быть задано указанием характеристического свойства, то есть такого свойства, которым обладают все элементы этого множества и не обладает ни один предмет, не являющийся его элементом.

Н а п р и м е р: <x | x – делятся на 10>;

A = <a | a – число, которое меньше, чем 100>.

3. У п р а ж н е н и я:

а) Назовите известные вам множества людей (например, команда).

б) Запишите множества, элементами которых являются:

1) планеты Солнечной системы;

2) столицы государств;

3) все двузначные числа;

4) числа, делящиеся на 7.

в) Пусть А – множество чисел, на которые делится 100 без остатка. Верна ли запись:

1) 5 А; 2) 12 А; 3) 7 А; 4) 4 А?

г) Пусть даны множества А = <а  а – число, кратное двум> и В =
= <b  b – число, кратное шести>.

В ы п и ш и т е:

1) два элемента, принадлежащих множеству А, но не принадлежащих множеству В;

2) два элемента, принадлежащих и множеству А, и множеству В;

3) два элемента не принадлежащих ни множеству А, ни множеству В.

1. Р а в е н с т в о м н о ж е с т в.

Очень важной особенностью множества является то, что в нём нет одинаковых элементов, вернее, что все они отличны друг от друга. Это значит, можно записать сколько угодно одинаковых элементов, но выступать они будут как один. То есть множество не может содержать одни и те же элементы в нескольких вариантах. Предположим, что мы записали множество <7, 9, 7, 11, 7>. В этом множестве элемент 7 повторяется несколько раз, но мы его будем рассматривать как один. Поэтому наше множество будет <7, 9, 11>.

Рассмотрим два множества: <а, b, с> и <b, а, с>. Эти множества состоят из одних и тех же элементов, хотя они записаны в разном порядке. Такие множества называются равными. Итак, два множества равны, если содержат одни и те же элементы.

2. П е р е с е ч е н и е м н о ж е с т в.

Рассмотрим два множества: А = <1, 2, 3, 4, 5, 6>и В = <5, 6, 7, 8, 9>. Составим новое множество С, в которое запишем общие элементы А и В. Общими у них являются элементы 5 и 6, значит, С = <5, 6>. Множество С является пересечением множеств А и В, обозначается так:

О п р е д е л е н и е: Пересечением двух множеств называют множество, состоящее из всех общих элементов этих множеств.

3. О б ъ е д и н е н и е м н о ж е с т в.

Возьмём те же два множества: А = <1, 2, 3, 4, 5, 6>и В = <5, 6, 7, 8, 9>. Составим теперь множество D таким образом, чтобы в него вошли все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А и В.

Здесь следует ознакомить учащихся с приёмом задания объединения множеств: сперва мы выписываем все элементы множества А, а затем те элементы множества В, которые не принадлежат множеству А. Получим: D = <1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9>. Множество D является объединением множеств А и В, обозначается так:

О п р е д е л е н и е: Объединением двух множеств называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств.

4. У п р а ж н е н и я:

а) Верна ли запись:

б) Запишите множества, равные:

1) А K; 5) А K;

2) А С; 6) А С;

3) А В; 7) А В;

4) А K В; 8) А K В.

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке отрабатываются умения задавать множества, правильно оформляя запись, а также находить пересечение и объединение множеств, пользуясь введенными определениями.

х у = <11, 13, 17, 19>;

х у = <2, 3, 5, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20>.

2. Найдите пересечение и объединение множеств букв, которые используются при записи слов «типография» и «фотография».

А = <т, и, п, о, г, р, а, ф, я> – множество букв, используемых в записи слова «типография»;

В = <ф, о, т, г, р, а, и, я> – множество букв, используемых в записи слова «фотография».

А В = <т, и, о, г, р, а, ф, я>,

А В = <т, и, п, о, г, р, а, ф, я>.

П р и м е ч а н и е. Обращаем внимание учащихся, что в этом случае А В = А.

х у = <1, 2, 3>; х у = <1, 2, 3, 4, 6>.

П р и м е ч а н и е. Подчёркиваем необходимость «упорядоченной» записи множеств, так как в этом случае будет удобнее отыскивать общие элементы множеств.

а) Чтобы число принадлежало пересечению множеств А и В, оно должно являться одновременно квадратом натурального числа и кубом натурального числа.

1= 1 2 ; 1 = 1 3 , значит, 1 А В;

4 = 2 2 , но не является кубом натурального числа, значит, 4 А В.

64 = 8 2 , 64 = 4 3 , значит, 64 А В.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какие способы задания множеств существуют?

– Какие два множества являются равными?

– Как называется множество, в котором нет ни одного элемента?

– Что называется пересечением двух множеств?

– Что называется объединением двух множеств?

1. № 800, № 801 (б), № 802 (б).

2. Укажите наибольший и наименьший элементы пересечения множества двузначных чисел, кратных 9, и множества нечётных двузначных чисел.

Объединение чисел. Урок “Теория множеств

Ключевые слова конспекта: множества, операции над множествами, подмножество, пересечение множеств, объединение множеств, элемент множества, числовые множества, обозначение некоторых числовых множеств.

В жизни часто приходится встречаться с различными совокупностями объектов, объединёнными в одно целое по некоторому признаку. Для обозначения этих совокупностей используются различные слова. Например, говорят: «стадо коров», «букет цветов», «команда футболистов» и т. д.

В математике в целях единообразия для обозначения совокупностей употребляется единый термин — множество. Например, говорят: множество чётных чисел, множество двузначных чисел, множество правильных дробей со знаменателем 5.

Термин «множество» употребляется и тогда, когда речь идёт о нечисловых множествах. Например, говорят о множестве диагоналей многоугольника, о множестве точек координатной плоскости, о множестве прямых, проходящих через данную точку.

Объекты или предметы, составляющие множество, называют элементами множества. Например, число 89 — элемент мнoжества двузначных чисел; точка В — элемент мнoжества вершин многоугольника ABCDE.

Множeства бывают конечные и бесконечные. Например, множество двузначных чисел — конечное множество (оно содержит 90 элементов), а множество чётных чисел — бесконечное множество.

Конечное мнoжество может содержать миллиард элементов, 2 элемента, 1 элемент или даже не содержать ни одного элемента.

Пустое множeство — это мнoжество, не содержащее ни одного элемента. Для обозначения пустого мнoжества ввели специальный знак ∅.

Конечные множeства обычно записывают с помощью фигурных скобок. Например, множество вершин пятиугольника ABCDE можно записать так: , а множество двузначных чисел, кратных 15, так: . В таких случаях говорят, что множество задано перечислением его элементов.

Множeства принято обозначать большими буквами латинского алфавита. Например, рассмотренные выше множества вершин пятиугольника и двузначных чисел, кратных 15, можно обозначить соответственно буквами К и L и записать так: К = <А, В, С, D, Е>; L = <15, 30, 45, 60, 75, 90>.

Для основных числовых множеств введены специальные обозначения: множество натуральных чисел обозначают буквой N (от латинского слова natural — «естественный»), множество целых чисел — буквой Z (от немецкого слова zahl — «число»), множество рациональных чисел — буквой Q (от латинского слова quotient — «отношение»).

Читать еще:  Роль совы в лесу. Совы, описание совы

Число -8 является элементом мнoжества Z. Иначе говорят, что число -8 принадлежит множеству Z. Это предложение записывают короче: -8 ∈ Z. Число 0,17 не принадлежит множеству N (не является элементом множества N). Для выражения этого факта принята следующая запись: 0,17 ∉ N.

В тех случаях, когда задание множества перечислением элементов невозможно (как для бесконечного множества) или громоздко (как для конечного мнoжества с большим числом элементов), множество задают описанием, указав его характеристическое свойство, т. е. свойство, которым обладают все элементы этого множeства и не обладают никакие другие объекты.

Зададим с помощью описания некоторые мнoжества. Пусть А = <1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14>. Зададим это множество описанием, используя понятие характеристического свойства. Множeство А можно охарактеризовать как «множество всех натуральных чисел от 1 до 14 включительно», или как «множество всех натуральных чисел, меньших 15», или, используя знаки ∈ ,

Это конспект по математике на тему «Множества. Операции над множествами». Выберите дальнейшие действия:

Информатика. 10 класс

Конспект урока

Информатика, 10 класс. Урок № 10.

Тема — Некоторые сведения из теории множеств

Понятие множества является одним из наиболее общих и наиболее важных математических понятий. Оно было введено в математику немецким ученым Георгом Кантором, создателем теории множеств.

Немецкий математик, создатель теории множеств

Множество — это совокупность объектов произвольной природы, которая рассматривается как единое целое. Под множеством мы можем понимать: учеников класса, фрукты, деревянные предметы, числа и т. д.

Множество учеников класса

Множество деревянных предметов

Множества принято обозначать прописными буквами латинского алфавита (A,B,C,D и т. д.).

Множество можно задать перечислением всех его элементов, заключенных в фигурные скобки:

Из некоторых элементов одного множества можно составить новое. Тогда такое множество Е принято называть подмножеством D:

Для наглядности множества можно изображать в виде окружности, так называемых кругов Эйлера, где элементы, входящие в множество, изображают внутри круга, а остальные вне:

Пересечением множеств называется множество их общих элементов.

Пусть множество A будет состоять из элементов 1,3,6,9,12,15, а множество B из элементов 2,4,6,8,10,12. Тогда в пересечение этих множеств будет входить 2,6,12:

Множество может не содержать элементы, тогда оно будет называться пустым.

Если множества не имеют общих элементов, то их пересечение — пустое множество:

Объединением двух множеств называется множество, состоящее из всех элементов этих множеств и не содержащее никаких других элементов:

Разностью множеств А и В называется множество элементов, принадлежащих множеству А, которые не принадлежат множеству В:

Если множество А является подмножеством B, то дополнением называется разность множества А и В:

Мощностью множества называется число его элементов: A=

Таким образом, мощность непересекающихся множеств будет являться суммой мощностей каждого множества:

Для вычисления мощности пересекающихся множеств можно использовать принцип включений и исключений:

Для вычисления мощности пересечения трех множеств принцип включений и исключений выглядит так:

В классе 17 пловцов, 8 борцов и 13 футболистов. Известно, что в классе 25 детей, а ребят занимающихся футболом и плаваньем — 10, борьбой и плаваньем — 3, борьбой и футболом — 2 и только один ребенок занимается всеми тремя видами спорта. Сколько детей в классе не занимаются спортом?

по формуле включения:

Таким образом, в классе 24 ребенка занимаются хотя бы одним видом спорта, ответ 1

1. Множество общих элементов двух множеств
2. Совокупность объектов произвольной природы, которая рассматривается как единое целое
3. Число элементов множества
4. Множество элементов, не входящих в подмножество
5. Множество, состоящее из всех элементов двух (или более) множеств и не содержащее никаких других элементов

Проверьте свои ответы:

1. Пересечение
2. Множество
3. Мощность
4. Дополнение
5. Объединение

Источники:

http://urokimatematiki.ru/urok-teoriya-mnozhestv-peresechenie-i-obedinenie-mnozhestv-2792.html

Множества. Операции над множествами

http://resh.edu.ru/subject/lesson/6061/conspect/