Медиана. Визуальный гид (2019)

Содержание

Медиана. Визуальный гид (2019)

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Теорема. Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника. Обратное утверждение: «Если отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, делит данный треугольник на два равновеликих треугольника, то этот отрезок является его медианой». Докажем, к примеру, обратное утверждение.

II способ. 1. Пусть ВМ – данный отрезок и S ABM = S BMC. Отрезки AP и СQ – высоты треугольников АВМ и ВМС, проведенные к одной и той же стороне. 2. Так как S ABM = S BMC, то AP BM = CQ BM, откуда AP = CQ. 3. AMP = CMQ (по катету и острому углу).AM = CM. Следовательно, отрезок ВМ – медиана данного треугольника. A B C Q P M

Значит, S AOC = S BOC, то есть отрезок CP — медиана треугольника ABC, следовательно, A B C M N O Р S1S1 S1S1 S1S1 S1S1 2S1 медианы треугольника пересекаются в одной точке. Треугольники BOC и CON имеют общую высоту, проведенную к сторонам BO и ON соответственно и S BOC: S CON = 2: 1.

Итак, BO: ON = 2: 1. Тем самым доказано, что медианы точкой пересечения делятся в отношении 2: 1, считая от вершин, из которых они проведены. OP – медиана треугольника АОВ, поэтому S AOP =S BOP =S 1. Следовательно, все шесть треугольников равновелики. A B C M N O Р S1S1 S1S1 S1S1 S1S1 2S1

Медианой именуется отрезок, проведенный из вершины треугольника на середину противоположной стороны, то есть делит ее точкой пересечения пополам. Точка, в которой медиана пересекает противоположную вершине, из которой она выходит, сторону, именуется основанием. Через одну точку, называемую точкой пересечения, проходит каждая медиана треугольника. Формула длины ее может выражаться несколькими способами.

Формулы для выражения длины медианы

  • Зачастую в задачах по геометрии ученикам приходится иметь дело с таким отрезком, как медиана треугольника. Формула ее длины выражается через стороны:

где a, b и c — стороны. Причем с является стороной, на которую медиана опускается. Таким образом выглядит самая простая формула. Медианы треугольника иногда требуется проводить для вспомогательных расчетов. Есть и другие формулы.

  • Если при расчете известны две стороны треугольника и определенный угол α, находящийся между ними, то длина медианы треугольника, опущенной к третьей стороне, будет выражаться так.

Основные свойства

  • Все медианы имеют одну общую точку пересечения O и ею же делятся в отношении два к одному, если вести отсчет от вершины. Такая точка носит название центра тяжести треугольника.
  • Медиана разделяет треугольник на два других, площади которых равны. Такие треугольники называются равновеликими.
  • Если провести все медианы, то треугольник будет разделен на 6 равновеликих фигур, которые также будут треугольниками.
  • Если в треугольнике все три стороны равны, то в нем каждая из медиан будет также высотой и биссектрисой, то есть перпендикулярна той стороне, к которой она проведена, и делит надвое угол, из которого она выходит.
  • В равнобедренном треугольнике медиана, опущенная из вершины, которая находится напротив стороны, не равной никакой другой, будет также высотой и биссектрисой. Медианы, опущенные из других вершин, равны. Это также является необходимым и достаточным условием равнобедренности.
  • Если треугольник является основанием правильной пирамиды, то высота, опущенная на данное основание, проецируется в точку пересечения всех медиан.

  • В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к наибольшей стороне, равняется половине ее длины.
  • Пусть O — точка пересечения медиан треугольника. Формула, приведенная ниже, будет верная для любой точки M.

  • Еще одним свойством обладает медиана треугольника. Формула квадрата ее длины через квадраты сторон представлена ниже.

Свойства сторон, к которым проведена медиана

  • Если соединить любые две точки пересечения медиан со сторонами, на которые они опущены, то полученный отрезок будет являться средней линией треугольника и составлять одну вторую от стороны треугольника, с которой она не имеет общих точек.
  • Основания высот и медиан в треугольнике, а также середины отрезков, соединяющих вершины треугольника с точкой пересечения высот, лежат на одной окружности.
Читать еще:  Год Козы: характеристика. Люди, рожденные в год Козы

В заключение логично сказать, что одним из самых важных отрезков является именно медиана треугольника. Формула ее может использоваться при нахождении длин других его сторон.

Медиана делит площадь треугольника пополам

Два треугольника называются равновеликими . Если они имеют одинаковую площадь.

Теорема 1. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Пусть ВМ – медиана треугольника АВС. Докажем, что

https://pandia.ru/text/78/448/images/image002_97.jpg» width=»289″ height=»227″>

Проведем высоту BH треугольника АВС. Тогда

,

https://pandia.ru/text/78/448/images/image005_99.gif» width=»136″ height=»34 src=»>.

https://pandia.ru/text/78/448/images/image007_80.gif» width=»217″ height=»55 src=»>.

Что и требовалось доказать.

Теорема 2 . Медианы треугольника разбивают его на шесть равновеликих треугольников.

Из теоремы, в частности следует, что если точку пересечения медиан треугольника соединить со всеми его вершинами, то треугольник разобьется на три равновеликие части.

Задача 1 Две медианы треугольника взаимно перпендикулярны и равны соответственно 3 и 4. Найти площадь треугольника.

Пусть в треугольнике АВС медианы АМ и ВЕ равны 3 и 4 соответственно, , К – точка пересечения медиан.

https://pandia.ru/text/78/448/images/image013_46.gif» width=»120″ height=»47 src=»>.

Так как треугольник АВК прямоугольный с прямым углом ВКА, то .

Так как медиан делят треугольник на 6 равновеликих частей, то .

Задача 2 Медианы треугольника равны 6, 8 и 10, найти площадь треугольника.

Пусть медианы А M , BE и CD данного треугольника соответственно равны 6, 8 и 10, К – точка их пересечения. Отложим на продолжении луча ВЕ за точку Е отрезок EF = KE . Соединим точки С, F и A.

Рассмотрим треугольник KAF .

https://pandia.ru/text/78/448/images/image018_31.gif» width=»152″ height=»41 src=»>

https://pandia.ru/text/78/448/images/image020_25.gif» width=»67″ height=»19 src=»https://sherstinka.ru/vremya-prokachatsya/mediana-vizualnyi-gid-2019-teorema-mediana-treugolnika/%3E,%20%D1%82%D0%B0%D0%BA%20%D0%BA%D0%B0%D0%BA%20CKAE%20%E2%80%93%20%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%20(%D0%BF%D0%BE%20%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D1%83%20%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0:%20%D0%B5%D0%BB%D0%B8%20%D0%B4%D0%B8%D0%B0%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%20%D1%87%D0%B5%D1%82%D1%8B%D1%80%D0%B5%D1%85%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0%20%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%82%D1%81%D1%8F%20%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%BE%D0%B9%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D0%B5%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D0%BF%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%B0%D0%BC,%20%D0%B4%D0%BE%20%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9%20%D1%87%D0%B5%D1%82%D1%8B%D1%80%D0%B5%D1%85%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%20%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC),%20%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B5%D0%BC%20%3Cimg%20src=»https://i0.wp.com/pandia.ru/text/78/448/images/image021_24.gif» />.

Так как https://pandia.ru/text/78/448/images/image023_26.gif» width=»125″ height=»20 src=»>, то по обратной теореме Пифагора (если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то треугольник прямоугольный) треугольник KAF – прямоугольный и .

Вычислим площадь треугольника AKF:

https://pandia.ru/text/78/448/images/image026_24.gif» width=»104″ height=»41 src=»https://sherstinka.ru/vremya-prokachatsya/mediana-vizualnyi-gid-2019-teorema-mediana-treugolnika/%3E.gif» width=»104″ height=»41 src=»>.

https://pandia.ru/text/78/448/images/image030_18.gif» width=»16 height=41″ height=»41″> от площади самого треугольника.

Доказательство можно посмотреть, например, в методическом пособии «Опорные задачи по планиметрии».

Вопросы для самопроверки:

1. Какие треугольники называются равновеликими?

2. Площадь треугольника равна S. Чему равна площадь каждого из треугольников, на которые его разбивает медиана, проведенная к какой-либо стороне этого треугольника?

3. На сколько равновеликих частей разбивают треугольник проведенные в нем три медианы?

4. Площадь треугольника равна S. Цент тяжести этого треугольника соединили с его вершинами. Чему равна площадь каждого из получившихся треугольников?

5. Площадь треугольника равна 48, чему равна площадь треугольника, составленного из медиан этого треугольника?

6. Площадь треугольника, составленного из медиан некоторого треугольника равна 24, чему равна площадь треугольника?

Задачи для самостоятельного решения:

1. Две медианы треугольника взаимно перпендикулярны и равны соответственно 6 и 8. Найти площадь треугольника.

2. Медианы треугольника равны 3, 4 и 5 найти площадь треугольника.

3. Треугольник АВС, стороны которого 13 см, 14 см и 15 см, разбит на три треугольника отрезками, соединяющими точку М пересечения медиан треугольника с вершинами треугольника. Найти площадь треугольника ВМС.

4. Две стороны треугольника равны 10 и 12, а медиана, проведённая к третьей, равна 5. Найдите площадь треугольника.

Медиана. Визуальный гид (2019)

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Медиана прямоугольного треугольника. Теорема: Медиана прямоугольного треугольника проведенная из прямого угла, равна половине гипотенузы Дано: АВС – прямоугольный треугольник, O – середина АВ, СО — медиана, CO = ½AB = R Теорема (обратная): если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный. СО – медиана, СО = ½ АВ => АВС – прямоугольный.

2 слайд

Задача №2 Через основания биссектрис АD равнобедренного треугольника АВС с вершиной В проведен перпендикуляр к этой биссектрисе, пересекающей прямую АС в точке Е. Найдите отрезок АЕ, если известно, что СD = 4. Дано: АВС – равнобедренный треугольник. М – середина АЕ, СD = 4, DM = медиана, Найти: АЕ Решение: 1)DM – медиана прямоугольного треугольника АDE, проведенная из вершины прямого угла, => АМ = DM = МЕ, 2) угол ВАС = угол ВСА = α. По теореме о внешнем угле => треугольник DCM – равнобедренный. Следовательно, АЕ = 2DM = 2DC = 8 Ответ: 8.

3 слайд

Задача №1.2 Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна m и делит прямой угол в отношении 1:2. Найдите стороны треугольника. Дано: АВС – прямоугольный треугольник, угол C – прямой, CО = m Найти: АВ, ВС, СВ Решение: 1) 2)CО – медиана, по теореме AB=2m 3) По свойству прямоугольного треугольника: из АВС: АС = m 4) По теореме Пифагора: Ответ: 2m, m,

Читать еще:  Так же как и то. Как пишется так же и также – слитно или раздельно

4 слайд

Задача №1.3 Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разбивает его на два треугольника с периметрами 8 и 9. Найдите стороны треугольника. Дано АВС – прямоугольный треугольник, СО – медиана, РАСО = 8; РСОВ = 9. Найти: АВ, АС, СВ. Решение: 1) Обозначим через x – СО; тогда по теореме СО = АО = ОВ = x y – AC; CB – z. 2) РАСО = АС + АО + СО; РСОВ = CB + OB + CO; AC + AO + CO = 8 AC + 2x = 8 AC = 8 – 2x AC > CB CB + OB + CO = 9; CB + 2x = 9; CB = 9 – 2x; CB = 1 + AC; 3) => x=2,5 Ответ: 3, 4, 5.

Примечание . В данном уроке изложены теоретические материалы и решение задач по геометрии на тему «медиана в прямоугольном треугольнике». Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме. Почти наверняка курс будет дополнен.

Свойства медианы прямоугольного треугольника

Определение медианы

  • Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины угла. Точка их пересечения называется центром тяжести треугольника (относительно редко в задачах для обозначения этой точки используется термин «центроид»),
  • Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника.
  • Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
  • Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.

Задачи по геометрии, предлагаемые для решения, в основном, используют следующие свойства медианы прямоугольного треугольника .

  • Сумма квадратов медиан, опущенных на катеты прямоугольного треугольника равна пяти квадратам медианы, опущенной на гипотенузу (Формула 1)
  • Медиана, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы (Формула 2)
  • Медиана, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, равна радиусу окружности, описанной вокруг данного прямоугольного треугольника (Формула 2)
  • Медиана, опущенная на гипотенузу, равна половине корня квадратного из суммы квадратов катетов (Формула 3)
  • Медиана, опущенная на гипотенузу, равна частному от деления длины катета на два синуса противолежащего катету острого угла (Формула 4)
  • Медиана, опущенная на гипотенузу, равна частному от деления длины катета на два косинуса прилежащего катету острого угла (Формула 4)
  • Сумма квадратов сторон прямоугольного треугольника равна восьми квадратам медианы, опущенной на его гипотенузу (Формула 5)

Обозначения в формулах :

a, b — катеты прямоугольного треугольника

c — гипотенуза прямоугольного треугольника

Если обозначить треугольник, как ABC, то

(то есть стороны a,b,c — являются противолежащими соответствующим углам)

m a — медиана, проведенная к катету а

m b — медиана, проведенная к катету b

m cмедиана прямоугольного треугольника , проведенная к гипотенузе с

α (альфа) — угол CAB, противолежащий стороне а

Задача про медиану в прямоугольном треугольнике

Медианы прямоугольного треугольника, проведенные к катетам, равны, соответственно, 3 см и 4 см. Найдите гипотенузу треугольника

Решение

Прежде чем начать решение задачи, обратим внимание на соотношение длины гипотенузы прямоугольного треугольника и медианы, которая опущена на нее. Для этого обратимся к формулам 2, 4, 5 свойств медианы в прямоугольном треугольнике . В этих формулах явно указано соотношение гипотенузы и медианы, которая на нее опущена как 1 к 2. Поэтому,для удобства будущих вычислений (что никак не повлияет на правильность решения, но сделает его более удобным), обозначим длины катетов AC и BC через переменные x и y как 2x и 2y (а не x и y).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. Угол C у него прямой по условию задачи, катет AC — общий с треугольником ABC, а катет CD равен половине BC согласно свойствам медианы. Тогда, по теореме Пифагора

AC 2 + CD 2 = AD 2

Поскольку AC = 2x, CD = y (так как медиана делит катет на две равные части), то
4x 2 + y 2 = 9

Одновременно, рассмотрим прямоугольный треугольник EBC. У него также угол С прямой по условию задачи, катет BC является общим с катетом BC исходного треугольника ABC, а катет EC по свойству медианы равен половине катета AC исходного треугольника ABC.
По теореме Пифагора:
EC 2 + BC 2 = BE 2

Поскольку EC = x (медиана делит катет пополам), BC = 2y, то
x 2 + 4y 2 = 16

Так как треугольники ABC, EBC и ADC связаны между собой общими сторонами, то оба полученных уравнения также связаны между собой.
Решим полученную систему уравнений.
4x 2 + y 2 = 9
x 2 + 4y 2 = 16

Три медианы делят треугольник на. Медиана. Визуальный гид (2019)

Медианой именуется отрезок, проведенный из вершины треугольника на середину противоположной стороны, то есть делит ее точкой пересечения пополам. Точка, в которой медиана пересекает противоположную вершине, из которой она выходит, сторону, именуется основанием. Через одну точку, называемую точкой пересечения, проходит каждая медиана треугольника. Формула длины ее может выражаться несколькими способами.

Формулы для выражения длины медианы

  • Зачастую в задачах по геометрии ученикам приходится иметь дело с таким отрезком, как медиана треугольника. Формула ее длины выражается через стороны:

где a, b и c — стороны. Причем с является стороной, на которую медиана опускается. Таким образом выглядит самая простая формула. Медианы треугольника иногда требуется проводить для вспомогательных расчетов. Есть и другие формулы.

  • Если при расчете известны две стороны треугольника и определенный угол α, находящийся между ними, то длина медианы треугольника, опущенной к третьей стороне, будет выражаться так.

Основные свойства

  • Все медианы имеют одну общую точку пересечения O и ею же делятся в отношении два к одному, если вести отсчет от вершины. Такая точка носит название центра тяжести треугольника.
  • Медиана разделяет треугольник на два других, площади которых равны. Такие треугольники называются равновеликими.
  • Если провести все медианы, то треугольник будет разделен на 6 равновеликих фигур, которые также будут треугольниками.
  • Если в треугольнике все три стороны равны, то в нем каждая из медиан будет также высотой и биссектрисой, то есть перпендикулярна той стороне, к которой она проведена, и делит надвое угол, из которого она выходит.
  • В равнобедренном треугольнике медиана, опущенная из вершины, которая находится напротив стороны, не равной никакой другой, будет также высотой и биссектрисой. Медианы, опущенные из других вершин, равны. Это также является необходимым и достаточным условием равнобедренности.
  • Если треугольник является основанием правильной пирамиды, то высота, опущенная на данное основание, проецируется в точку пересечения всех медиан.

  • В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к наибольшей стороне, равняется половине ее длины.
  • Пусть O — точка пересечения медиан треугольника. Формула, приведенная ниже, будет верная для любой точки M.

  • Еще одним свойством обладает медиана треугольника. Формула квадрата ее длины через квадраты сторон представлена ниже.

Свойства сторон, к которым проведена медиана

  • Если соединить любые две точки пересечения медиан со сторонами, на которые они опущены, то полученный отрезок будет являться средней линией треугольника и составлять одну вторую от стороны треугольника, с которой она не имеет общих точек.
  • Основания высот и медиан в треугольнике, а также середины отрезков, соединяющих вершины треугольника с точкой пересечения высот, лежат на одной окружности.
Читать еще:  Угарный газ свойства. Угарный газ: формула и свойства

В заключение логично сказать, что одним из самых важных отрезков является именно медиана треугольника. Формула ее может использоваться при нахождении длин других его сторон.

Медиана делит площадь треугольника пополам

Два треугольника называются равновеликими . Если они имеют одинаковую площадь.

Теорема 1. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Пусть ВМ – медиана треугольника АВС. Докажем, что

https://pandia.ru/text/78/448/images/image002_97.jpg» width=»289″ height=»227″>

Проведем высоту BH треугольника АВС. Тогда

,

https://pandia.ru/text/78/448/images/image005_99.gif» width=»136″ height=»34 src=»>.

https://pandia.ru/text/78/448/images/image007_80.gif» width=»217″ height=»55 src=»>.

Что и требовалось доказать.

Теорема 2 . Медианы треугольника разбивают его на шесть равновеликих треугольников.

Из теоремы, в частности следует, что если точку пересечения медиан треугольника соединить со всеми его вершинами, то треугольник разобьется на три равновеликие части.

Задача 1 Две медианы треугольника взаимно перпендикулярны и равны соответственно 3 и 4. Найти площадь треугольника.

Пусть в треугольнике АВС медианы АМ и ВЕ равны 3 и 4 соответственно, , К – точка пересечения медиан.

https://pandia.ru/text/78/448/images/image013_46.gif» width=»120″ height=»47 src=»>.

Так как треугольник АВК прямоугольный с прямым углом ВКА, то .

Так как медиан делят треугольник на 6 равновеликих частей, то .

Задача 2 Медианы треугольника равны 6, 8 и 10, найти площадь треугольника.

Пусть медианы А M , BE и CD данного треугольника соответственно равны 6, 8 и 10, К – точка их пересечения. Отложим на продолжении луча ВЕ за точку Е отрезок EF = KE . Соединим точки С, F и A.

Рассмотрим треугольник KAF .

https://pandia.ru/text/78/448/images/image018_31.gif» width=»152″ height=»41 src=»>

https://pandia.ru/text/78/448/images/image020_25.gif» width=»67″ height=»19 src=»https://alluz.ru/opyt-raboty-polzovatelejj/%3E,%20%D1%82%D0%B0%D0%BA%20%D0%BA%D0%B0%D0%BA%20CKAE%20%E2%80%93%20%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%20(%D0%BF%D0%BE%20%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D1%83%20%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0:%20%D0%B5%D0%BB%D0%B8%20%D0%B4%D0%B8%D0%B0%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%20%D1%87%D0%B5%D1%82%D1%8B%D1%80%D0%B5%D1%85%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0%20%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%82%D1%81%D1%8F%20%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%BE%D0%B9%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D0%B5%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D0%BF%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%B0%D0%BC,%20%D0%B4%D0%BE%20%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9%20%D1%87%D0%B5%D1%82%D1%8B%D1%80%D0%B5%D1%85%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%20%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC),%20%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B5%D0%BC%20%3Cimg%20src=»https://i0.wp.com/pandia.ru/text/78/448/images/image021_24.gif» />.

Так как https://pandia.ru/text/78/448/images/image023_26.gif» width=»125″ height=»20 src=»>, то по обратной теореме Пифагора (если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то треугольник прямоугольный) треугольник KAF – прямоугольный и .

Вычислим площадь треугольника AKF:

https://pandia.ru/text/78/448/images/image026_24.gif» width=»104″ height=»41 src=»https://alluz.ru/opyt-raboty-polzovatelejj/%3E.gif» width=»104″ height=»41 src=»>.

https://pandia.ru/text/78/448/images/image030_18.gif» width=»16 height=41″ height=»41″> от площади самого треугольника.

Доказательство можно посмотреть, например, в методическом пособии «Опорные задачи по планиметрии».

Вопросы для самопроверки:

1. Какие треугольники называются равновеликими?

2. Площадь треугольника равна S. Чему равна площадь каждого из треугольников, на которые его разбивает медиана, проведенная к какой-либо стороне этого треугольника?

3. На сколько равновеликих частей разбивают треугольник проведенные в нем три медианы?

4. Площадь треугольника равна S. Цент тяжести этого треугольника соединили с его вершинами. Чему равна площадь каждого из получившихся треугольников?

5. Площадь треугольника равна 48, чему равна площадь треугольника, составленного из медиан этого треугольника?

6. Площадь треугольника, составленного из медиан некоторого треугольника равна 24, чему равна площадь треугольника?

Задачи для самостоятельного решения:

1. Две медианы треугольника взаимно перпендикулярны и равны соответственно 6 и 8. Найти площадь треугольника.

2. Медианы треугольника равны 3, 4 и 5 найти площадь треугольника.

3. Треугольник АВС, стороны которого 13 см, 14 см и 15 см, разбит на три треугольника отрезками, соединяющими точку М пересечения медиан треугольника с вершинами треугольника. Найти площадь треугольника ВМС.

4. Две стороны треугольника равны 10 и 12, а медиана, проведённая к третьей, равна 5. Найдите площадь треугольника.

Теорема. Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника. Обратное утверждение: «Если отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, делит данный треугольник на два равновеликих треугольника, то этот отрезок является его медианой». Докажем, к примеру, обратное утверждение.

II способ. 1. Пусть ВМ – данный отрезок и S ABM = S BMC. Отрезки AP и СQ – высоты треугольников АВМ и ВМС, проведенные к одной и той же стороне. 2. Так как S ABM = S BMC, то AP BM = CQ BM, откуда AP = CQ. 3. AMP = CMQ (по катету и острому углу).AM = CM. Следовательно, отрезок ВМ – медиана данного треугольника. A B C Q P M

Значит, S AOC = S BOC, то есть отрезок CP — медиана треугольника ABC, следовательно, A B C M N O Р S1S1 S1S1 S1S1 S1S1 2S1 медианы треугольника пересекаются в одной точке. Треугольники BOC и CON имеют общую высоту, проведенную к сторонам BO и ON соответственно и S BOC: S CON = 2: 1.

Итак, BO: ON = 2: 1. Тем самым доказано, что медианы точкой пересечения делятся в отношении 2: 1, считая от вершин, из которых они проведены. OP – медиана треугольника АОВ, поэтому S AOP =S BOP =S 1. Следовательно, все шесть треугольников равновелики. A B C M N O Р S1S1 S1S1 S1S1 S1S1 2S1

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Источники:

http://sherstinka.ru/vremya-prokachatsya/mediana-vizualnyi-gid-2019-teorema-mediana-treugolnika/

http://pantivistland.ru/mediana-vizualnyi-gid-2019.html

http://alluz.ru/opyt-raboty-polzovatelejj/tri-mediany-delyat-treugolnik-na-mediana-vizualnyi-gid-2019.html

Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему: