Как доказать что стороны четырехугольника равны. Параллелограмм
Признаки параллелограмма
Доказательство:
Дано: АВСD – четырехугольник, АD = ВС, АD
ВС.
Доказать: АВСD – параллелограмм.
Доказательство:
1. Проведем диагональ АС четырехугольника АВСD.
2. Рассмотрим 
АВС и АDС: АС – общая, 
1 =3 (т.к. по условию АDВС, 
1 и 3 накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АD и BC секущей АС), АВС =АDС (по 1 признаку равенства треугольников), АВ = DC и 2 = 4. Но 2 и 4 накрест лежащие углы при пересечении прямых АВ и DС секущей АС, АВDС.
3. Итак, АDВС и АВDС, т.е. в четырехугольнике АВСD противоположные стороны попарно параллельны, четырехугольник АВСD – параллелограмм. Что и требовалось доказать.
Доказательство:
Дано: АВСD – четырехугольник, АВ = DС, АD = ВC.
Доказать: АВСD – параллелограмм.
Доказательство:
1. Проведем диагональ АС четырехугольника АВСD.
2. Рассмотрим АВС и АDС: АС – общая, по условию АВ = DС, АD = ВC, АВС =АDС (по 3 признаку равенства треугольников), 1 = 2, при этом 1 и 2 накрест лежащие при пересечении прямых АD и ВC секущей АС, по признаку параллельности двух прямых АDВС.
3. Итак, АD = ВC, АDВС, по 1 0 признаку параллелограмма, четырехугольник АВСD – параллелограмм. Что и требовалось доказать.
Доказательство:
Дано: АВСD – четырехугольник, АС и DВ диагонали, АС ∩ DВ = О, АО = ОС, DО = ОВ.
Доказать: АВСD – параллелограмм.
Доказательство:
1. Рассмотрим АОD и ВОС: по условию АО = ОС, DО = ОВ, АОD и ВОС (как вертикальные углы), АОD =ВОС (по 1 признаку равенства треугольников), АD = ВC и 1 = 2.
2. 1 и 2 накрест лежащие при пересечении прямых АD и ВC секущей АС, при этом 1 = 2, по признаку параллельности двух прямых АDВС.
3. Итак, АD = ВC, АDВС, по 1 0 признаку параллелограмма, четырехугольник АВСD – параллелограмм. Что и требовалось доказать.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Параллелограмм
Определение
Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Теорема (первый признак параллелограмма)
Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Доказательство
Пусть в четырехугольнике (ABCD) стороны (AB) и (CD) параллельны и (AB = CD) .
Проведём диагональ (AC) , разделяющую данный четырехугольник на два равных треугольника: (ABC) и (CDA) . Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними ( (AC) – общая сторона, (AB = CD) по условию, (angle 1 = angle 2) как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых (AB) и (CD) секущей (AC) ), поэтому (angle 3 = angle 4) . Но углы (3) и (4) накрест лежащие при пересечении прямых (AD) и (BC) секущей (AC) , следовательно, (ADparallel BC) . Таким образом, в четырехугольнике (ABCD) противоположные стороны попарно параллельны, и, значит, четырехугольник (ABCD) – параллелограмм.
Теорема (второй признак параллелограмма)
Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Доказательство
Проведём диагональ (AC) данного четырехугольника (ABCD) , разделяющую его на треугольники (ABC) и (CDA) .
Эти треугольники равны по трем сторонам ( (AC) – общая, (AB = CD) и (BC = DA) по условию), поэтому (angle 1 = angle 2) – накрест лежащие при (AB) и (CD) и секущей (AC) . Отсюда следует, что (ABparallel CD) . Так как (AB = CD) и (ABparallel CD) , то по первому признаку параллелограмма четырёхугольник (ABCD) – параллелограмм.
Теорема (третий признак параллелограмма)
Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Доказательство
Рассмотрим четырехугольник (ABCD) , в котором диагонали (AC) и (BD) пересекаются в точке (O) и делятся этой точкой пополам.
Треугольники (AOB) и (COD) равны по первому признаку равенства треугольников ( (AO = OC) , (BO = OD) по условию, (angle AOB = angle COD) как вертикальные углы), поэтому (AB = CD) и (angle 1 = angle 2) . Из равенства углов (1) и (2) (накрест лежащие при (AB) и (CD) и секущей (AC) ) следует, что (ABparallel CD) .
Итак, в четырехугольнике (ABCD) стороны (AB) и (CD) равны и параллельны, значит, по первому признаку параллелограмма четырехугольник (ABCD) – параллелограмм.
Свойства параллелограмма:
1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Свойства биссектрисы параллелограмма:
1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
2. Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.
3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.
Доказательство
1) Пусть (ABCD) – параллелограмм, (AE) – биссектриса угла (BAD) .
Углы (1) и (2) равны как накрест лежащие при параллельных прямых (AD) и (BC) и секущей (AE) . Углы (1) и (3) равны, так как (AE) – биссектриса. В итоге (angle 3 = angle 1 = angle 2) , откуда следует, что треугольник (ABE) – равнобедренный.
2) Пусть (ABCD) – параллелограмм, (AN) и (BM) – биссектрисы углов (BAD) и (ABC) соответственно.
Так как сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна (180^
Так как (AN) и (BM) – биссектрисы, то (angle BAN + angle ABM = 0,5(angle DAB + angle ABC) = 0,5cdot 180^circ = 90^
3. Пусть (AN) и (CM) – биссектрисы углов параллелограмма (ABCD) .
Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то (angle 2 = 0,5cdotangle BAD = 0,5cdotangle BCD = angle 1) . Кроме того, углы (1) и (3) равны как накрест лежащие при параллельных прямых (AD) и (BC) и секущей (CM) , тогда (angle 2 = angle 3) , откуда следует, что (ANparallel CM) . Кроме того, (AMparallel CN) , тогда (ANCM) – параллелограмм, следовательно, (AN = CM) .
Четырёхугольники: параллелограмм (частные случаи), трапеция
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
На данном уроке мы рассмотрим различные четырехугольники, а именно частные случаи параллелограмма – прямоугольник, ромб и квадрат; трапецию и ее частные случаи. Кроме того, мы сформулируем теорему Фалеса и решим пример.
Тема: Повторение курса геометрии 8 класса
Урок: Четырехугольники: параллелограмм (частные случаи), трапеция
1. Прямоугольник и его свойства
Напомним, что параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны (см. Рис. 1).
Рассмотрим частные случаи параллелограмма:
1. Прямоугольник. Параллелограмм, один из углов которого равен 
(см. Рис. 2).
Поскольку один угол данного параллелограмма равен , можем сделать вывод, что все углы прямоугольника составляют .
Определение
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого хотя бы один угол равен
Итак, если хотя бы один угол параллелограмма равен , то это прямоугольник. Одного угла достаточно в силу свойств параллелограмма, согласно которым противоположные углы параллелограмма равны, а сумма углов при одной стороне составляет 
.
Все свойства параллелограмма присущи прямоугольникам:
– противоположные стороны равны;
– противоположные углы равны;
– диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам;
Собственные свойства прямоугольника:
– диагонали прямоугольника равны – АС = BD.
Если в параллелограмме диагонали равны, то данный параллелограмм является прямоугольником. Чтобы доказать данный факт, нужно доказать, что хотя бы один угол заданного параллелограмма прямой.
2. Ромб и его свойства
2. Ромб. Параллелограмм, у которого соседние стороны равны (см. Рис. 3).
Чтобы нарисовать ромб, нужно провести две взаимно перпендикулярных прямых, отложить на одной из них в обе стороны равные отрезки, на другой также отложить в обе стороны равные отрезки, и соединить полученные четыре точки.
Определение
Ромбом называется параллелограмм, у которого соседние стороны равны.
Ромбу, как и прямоугольнику, присущи все свойства параллелограмма:
– все стороны ромба равны по определению;
– диагонали ромба перпендикулярны и делят углы ромба пополам;
– противоположные углы ромба равны.
Докажем, что диагонали ромба перпендикулярны. Рассмотрим треугольник 
. Он равнобедренный, АВ = ВС, точка О – середина основания АС, т.к. диагонали ромба, как любого параллелограмма, точкой пересечения делятся пополам. Таким образом, ВО – медиана. Мы знаем, что в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой, таким образом, 
. Мы доказали, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов ромба.
Признак ромба
Если все стороны четырехугольника равны, то данный четырехугольник – ромб.
3. Квадрат и его свойства
3. Квадрат (см. Рис. 4)
ABCD – параллелограмм. Хотя бы один угол равен – 
. Хотя бы одна пара соседних сторон равна друг другу – АВ = ВС.
Если четырехугольник является квадратом, это означает, что у него все стороны равны (как у ромба), а все углы прямые (как у прямоугольника). Таким образом, квадрат – это частный случай ромба, у которого все углы прямые, и частный случай прямоугольника, у которого соседние стороны равны. Для квадрата справедливы все свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба.
4. Трапеция, виды трапеции
Рассмотрим еще один четырехугольник – трапецию.
Определение
Трапеция – это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие не параллельны (см. Рис. 5).
AD||BC, AB || CD.
Параллельные стороны трапеции называются основаниями, не параллельные – боковыми сторонами. Как и у любого четырехугольника, у трапеции есть диагонали АС и BD.
Частные случаи трапеции:
– Если боковые стороны трапеции равны друг другу, то она называется равнобедренной или равнобочной;
– Трапеция, у которой хотя бы один из углов прямой, называется прямоугольной.
Пусть заданы пересекающиеся прямые m и n (см. Рис. 6). Точка пересечения – О. Отложим на прямой m от точки О равные отрезки длиной а, получим точки А1, А2, А3 в одну сторону и А4, А5 в другую сторону. Через полученные точки проведем параллельные прямые. Получили точки пересечения построенных параллельных прямых с прямой n: B1, B2, B3,
B4, B5. Оказывается, что из равенства отрезков на прямой а вытекает равенство отрезков на прямой n – на другой стороне угла 
.
5. Теорема Фалеса, формулировка и пример
Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые так, чтобы они пересекли вторую сторону угла, то на второй стороне угла получатся также равные отрезки.
Пример: рассечь отрезок на три равные части (см. Рис. 7).
Задан отрезок АВ, требуется разделить его на три равные части.
Из точки А отложим на горизонтальной прямой три отрезка длиной а, получаем точку К. Соединим точки В и К. Через концы отложенных отрезков проводим прямые, параллельные ВК. По теореме Фалеса, мы получили равные отрезки длиной b на стороне АВ.
Итак, на данном уроке мы рассмотрели частные случаи параллелограмма, а именно ромб, прямоугольник и квадрат, и их свойства. Кроме того, мы рассмотрели трапецию и ее частные случаи, вспомнили теорему Фалеса и выполнили пример.
Список литературы
- Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
- Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
- Задание 1: диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О. Найдите углы треугольника
, если АВ = BD. - Задание 2: прямые, содержащие боковые стороны трапеции ABCD с основанием AD, пересекаются в точке М. Найдите угол
, если 
. - Задание 3: докажите, что если в параллелограмме ABCD углы
равны, то он является прямоугольником.
Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта. 
Источники:
http://budu5.com/manual/chapter/3470
http://shkolkovo.net/theory/61
http://interneturok.ru/lesson/geometry/8-klass/povtorenie-kursa-geometrii-8-go-klassa/chetyryohugolniki-parallelogramm-chastnye-sluchai-trapetsiya?konspekt
Загрузка...
